Galitskii-2 (1185112), страница 44
Текст из файла (страница 44)
'«1 Сравнять с рвссшннеи кя помнчквле нулевого рвану«в. Рассмотрснныч е 13 20 Г«1 В связи с ленная зааэчея см. мкжс 13 24 199 9 2. Фпзобпл теория рассеяния 5 2, Фазовая теория рассеяния 13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов непосредственно из разложения по парциальным волнам амплитуды рассеяния в центральном потенциале в борноеском приближении. Решение. Воспользуемся разложением з — - — хз )!з„.( ни ) ! е кОторое следует из жеореиы сложение Лпя цилиндрических функций, если заметить.
что (мп х)/з = ч/и/2л.Е,гз(х) Полставин его в формулу (Х1!1 8), получаем борнопсктю амплитуду в виде ряда и /в = ~ (21+ 1)(- —,/ ту(г)[ум,тз(йг)] гбг) Р,(созВ). (9 ге с Српвнипвя с разложением (Х1 П.9) амплитуды рассеяния по пврцивльным волнам, заключаем, что борновское приближение соответствует случаю малых фвз рассеяниям!, )64з)( < 1, когда пзбг ! б,(й) /=) (21+1) Р!(совВ) шч! (21+ !) — Р~(сохВ). (2) 2г!г й Из сопоставления (!) и (2) следует известное выражение (ХП1,!2) для фазовых сдвигов е борноеском приближении, представляющее первый, линейный по потенциалу член разложения В,(й) (срспиить с звлвчсй к 9 !26 из (1]).
13.19. Найти фазовые сдвиги в поле (г(г) = а/г', а > О. Выполнить суммирование ряда (Хййй) разложенип амплитуды по парциальным волнам в случаях: а) гпо/Л <(! при произвольном угле рассеяния; б) гпа/Лз > 1 при достаточно малоы угле рассеяния; д) тца/Лз » ! при рассеянии частиц назад (В = к).
Найти в указанных случаях дифференциальное сечение рассеяния и сравнить его с результатами расчетов в борнавском приближении и согласно классической механике. Решение. 3ппнспв в.ф. еьы = цы(г)2; /чгг, имеем дпя функции ин(г) уравнение (сравнить с (1Ч.6)) изт Ь нм !" Д 1+ + ии — О Рещение его, удовлетворяющее граничному условию и(0) = О, есть цц — — Сз (йг), где 2„— функция Бесселе с индексом По всимптотикс решения при г оо иы ш С (/ — з!и !Вг — — + -~ в С)/ — яп ]дг — — + б] т/хйг ~ 2 4~ (/плг ] 2 '! Малость всех фвзовых сдвнго» нвлестсл необходимым (но не дссппочным') условием прнисннмостн борцовского приближение! именно оив обсспсчнввст вещественность емплнтулы рвссслннн е зюн прналнжсннн. Глава 13 Столкнодвнил частиц 160 находим фазовые сдвиги кто бг ш- ири этом (бг( к 1, (2! + 1)й (2) и, разлагая енл в выражении (хи!.9), пш!учасн и! кто ета /(Е,В) ш — ! ~ бт(созВ) =— й й, уйзй згп (В/2) (3) что совпадает с результатом Варнавского приближения, см.
13.!г). При этом угловая зависи- мость дифференциального сечения ба т к тоз — = (/(' = бй ай'Е з!п з(В/2) (4) имеет мало общего с результатом классической механики [2б) И.= к~а (гг — В) ВП) м ЕВз(2к — В)з жп В (5) б) й случае та/й' > 1 выполнить суммирование ряда по парциальным волнам при произвольном угле рвсссянип нс удастся. Легко, однако, заметить, что для достаточно малых углов рассеяния сохраняют силу выражения (3) и (4). Это связано с неограниченным возрастанием аиплитуды рассеяния при В 0 Так как каждый член ряда (ХП1.9) ограничен, то такая расхадимость амплитуды означает, что н сумме существенно много слагаемых с большими значениями ! (тем ббльшими, чем меньше угол рассеянна). Но при достаточно больших ! по- прежнему спрансдлияо соотношение (2), из которого и вытекают формулы (3), (4).
То обстоятельство, что при маеых углах рассеяния борновсксе приближение применимо независимо ат величины параметра та/Л'. вполне естественно, в условиях ланной зааачи при этом существенны большие расстонния (ввиву расходнмости амплитуды), на которых 2/ = и/гз < йе/г и потенциал можно рассматривать как возмущение. е) рассмотрим рассеяние частиц назад. Так как (21 + !)Р,(соз В) = 4б(1 — соз В), 1е = а/г зависимость де/дй и Е ' как е «весснческой, так и в квантовой нз соображений размерности.
рхаа нспольэавеие праизаолхшев функанв палниамав Лежеилра (с з = сазе ззг Для потенциала !Г исхвиике легка получить ззГДлх суммирование и в=1): 1 =7 *'Р!( ). з/! — 2ег.ь ез Так как б, не зависит от й, та согласно формуле (ХП19) анплитуда рассеяния имеет вид /(й, В) = Р(В)/й, а дифференциальное сечение рассеяния ба/бй а й з а Е ~ Такая же зависимость ат энергии ! (но нс от угла рассеяния!) характерна и для дифференциального сечения расселина в классической механикс, см.(5). Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удаетси (приближенно) выполнить суммирование ряда (Х1П,9) с фазовыми сдвигами (1).
и) б случае та/йз ~ 1 согласно (1) имееи 6 2. Оэозобол глеория рассеянна 161 т. е такая сумма при В ю 0 раина нулю (см. (1, 9 124)) и РД-1) = (-1)', то рял [х)И.9) принимает еид ( Г 1Х 2гло /(В,В = ) = — ~,(г!+ !)ехр 4-!к ~~+ -) + — ). 2й 2) йз ) г е В сяучае пга/й' Ъ 1 в этой сумме основную роль играют слагаемые с большими значенияни нг 1 < (гло/йт)г!ч. При этом соседние слагаемые мало отличаютсв друг от друга и суммирование ножно заменить иитегрированием, !(Е,гг) ш — ( 1ехр -нтч/ ~.!. — 4!. (7) ч'2шп ( /2гпа ( /(Л, к) = -г — схр -ья (/ —, яйй ( т/ й' (8) При этом дифференциальное сечение рассеяния лля О = к совладаете результатом (5) классической механики.
Это замечание справедливо и для области углоа рассеяния (расширяющейся с увеличением а), примыкаюших к В = я, см, по этому поводу (1, 6127) Заметим е заключение, что е случае потенциала притнжения, и < О, фазопыс сдвиги (1) могут стать комплексными. Формально зто сгютветствуст появлению поглошенияз в системе. Причина появления неустойчивости спяэана с возникновением падения на центры см. в связи с этим 9.14.
Что жс касается рассеяния под малыми углами, то оно описывастсл формулами (3), (4) независимо от знака о з3.20. Найти волновую функцию ф„+,(г), амплитуду рассеяния и се~ение рассеяния частицы на потенциале нулевого радйуса (см. 4.10). Каково значение эффективного радиуса тот Решение. Твк как потенциал нулевого радиуса оказывает действие на частицу только с моментом 1 = О, то отлична от нуля лишь фаза з-рассеянна бв(й), а амплитуда рассеяния не зависит от угла В.
При этом асимптогическая форма волновой функшги Еь (г) = е' ' + — е' ' /(8) и. (!) определяет факти ~секи точное решение у Ш. для всех г > 0 Сраянишя при г О разложение в.ф. Огь" ш — Е (1 Ч- гйз) г с граничным условием, задающим потенциал нулевого радиуса, см. 4.10, находим бке' /(Е) ю —, а =4я!/! = — „(ш/(Е) = (2) 1 4 !Оао ' !г ! !.О!аз здесь ае = 1/оь! при этом /(О) = -аз, так по аз яш~яется миной рассеяния на п. н. р. Наконец, исполыуя равенство е™ вЂ” ! ю 2з/(сфб — т), получаем для фазы з-рассеяния на п. н.
р соотношение 1 Ос!Обе(!г) = --. аз Сравнение его с разложением эффективного ршиуса (Х! П. !5) показывает, что дли рассеяния на п. н. р. эффективный рааиус взаимодействия гь = О. ы! Прн ббльшнх значениях 1 сляшсмме суммы (б! начинают быстро оскиллнравзть и в рюультвте взаимной кампеисзиии их вклзяое соотвстствуюшзя часть суммы ошзышется малая. Ззиепгм, что Лля вычисления ряха (б), квк и прелшсетвуюшсй суммы ллх б-Оуиккии «ри В и О, а также и интеграла (7! слелуст кеес гп обрсзвюшнй множитель типа г т~ с 7 > 0 и затем в окончательном рсзультюс полонить т = О.
бт, эм 162 Глава 13. Столянобения частиц (2) (4) 13.22. Получить выражение для фазовых сдвигов в борновском приближении в случае обменного потенциала (см. 13.3]. Решение. Так как действие оператора Уны на волновую функцию состояния с опрелслснным значением ! номснта сводится к умножению се на (-1] У(г), то ныражснис лля фазового слани бее„,(й) лишь множителем ( — 1)' отличается от бериевскою выражения (Х1!1.12) длн обычного потенциале У(«). 13.21. Восстановить потенциал взаимодействия У(г) по фазе з-рассеяния бо(й), считая ее известной при всех энергиях частицы и предполагая, что (бо(й)( < 1.
Для иллюстрации полученного результата рассмотреть зависимости вида: ай о) бо(й) =солт!; 6) бо()с) = —. 1+ ))йт ' Решеииш Твк как но условию ]бе(й)) < 1 при всех энергиях. то потенциал можно рассматривать как аозмушеиис и воспользоваться выражением (х!! 1.12) лля фазового сдвига з-волны: 2т Г, гп ! бь(й) = — — / У( ) пп йгбг = — — / У(г)(1-сов 2йг) дп йтй йтй (!) ь з Умножим обе части равенства (1) на ( — й~й/2т), а затем продиффсрснцируем по й; и результата получим ! й б Г, т ! -т ь — — — [йбь(й)[ =у! гУ(г)з]п2йгбгш — у! гУ(!г()е ''бг 2т бй,/ гl ь (здесь использовано четное продолжение потенциала, У(-)г)) ш У(]г]), на область отрицательных значений г). Формула (2) определяет фурье-компоненту потснпиала (точнсс, функции гУ(]г( )) и позволнст найти сзм потенциал с помошью обрзтною преобразовании Фурье: гУ((г]) = — ! еьь' — [йбе(й]) бй.
(3) чт,т бй Так как согласно (1) бь(й) следует рассматривать квк нечетную функцию переменной й и соответственно бь(!с) — как четную функцию, то выражение (3) принимает вил 2йт г У(г) = — — / зш (2йг) — [йбь(й)[ дй. еглг бй Рассмотрим приложения этой форчулы. е) В случае бс(й) = сопз1 = с (прн й > О) согласно (4) получаем 2йзС ! у У(г) = — — / ни2йгей = — — ш— (5) ет3 етг ь (лля вычислении интеграла слслует ввести чобрсзаюнзий* множитель е " с А > 0 и а окончательном результате положить А = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
