Galitskii-2 (1185112), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ес мнимую часгь согласно (1) легко найти в общем случае, сели заметить, что 1«п г яд(к ЙО) г 1 хг — Й -«с э (сравнить с 13.11). Записав й~х = хин~ей/2 и интегрируя сначала по хг, а затем по углам (выбрав полярную ось вдоль вектора Й+ Йе), находим 1т / = ( — /! /) хб(к — Й ) ехр» -к Н + - м(Й+ Йэ)Н ] йх «?П = р| /тУэН«1 Г/ г г ( г г) г =(, а* ) ././' 2 «гго«У«Н 2Й |в+ Й«! = ', У' Н зй ( | |Й + Й,(ЙН«) с " " (3) (заметим, что (1«+ Йз! = (4Й~ — дг) Г ).
Прн больших энергиях, ЙН 'Ф 1, и малых углах рассеянии, когда дН;ь 1, амплитуда второго порндка опрсделнется в основном мнимой частью (3), как зто следует из 13 |4 (формула (2) при дН < 1 неприменима) При больших жс изменениях импульса, наоборот, доминирующей является яешестненная часть амплн«уды /1'|, Более того, так как Кс/|«| с»с г 1, а /11=/ а У(д) о« е « то прн достаточно больших значениях дн будет ! ке/|г|! ъ |/а|, что указыист на неприменимость борнонскот прнбянжения независимо от величины параметра Уэ, характеризующего силу взаимодействия'»> Подчеркнем, что отмеченные закономерности характерны для потснцналоя с экспонснцнальным убыванием фурье-компоненты У(д)и скр(-ад") с и > 1 при д со (сравнить с 8.29, а также со случаем степенного убывания У(д), рассмотренным а прсдыдушев заааче).
'«| Зто относится к большим значениям дй (вклэд которых е полисе сечение Рассеяна» мал), 156 Глава 13. СтолкноВения частиц В заключение отметим, что с номошью формулы (3) и оптической тео1юмы (Х111.11) можно найти сечение рассеяния в борновском приближении; результат, естественно, совпадает с вычислением его по формуле ее = /(Гв)зйй (см. )3 1е). Оэ 3 — Д ~ / У(р,л) г(л~ схр(-(йзР) И р 4яд~й Й -Оэ (гь — радиус потенциала). Применить полученный результат к потенциалу У(г) = -" д' Уее ' /д и сравнить с 13.13.
Решение. Во втором порядке теории возчушсний амплитуда рассеяния описывается выражением гэг т / У(1г - н)У(н - 1эс) э Вэггйэ,/ кэ — йзз - ы (см. 13.10) При большой энергии, ЙВ Ъ 1, и малом угле рассенния, когда 8/2 < 1, как видно из (э), вектор и, как и 8, близок» к ве. Запишем эти векторы в виде й = йе ь й = йваь + йэ, и = кээаь + мэ, гас пз = ме/йс, а п„жэ А п,. при этом )вэ( ш д и йэ = де + йэ, Вэ м -8'/2де, сравнить с 13.2. После подстановки явных выражений для фурьс-компонент потенциала (через У(г)) интеграл в (1) принимает вид У(рэ, зэ)У(рэ, лз) ехр (-1(кээ(зэ — эз) + мз(Рэ — Рэ) + ЧэРэ) ) э э э й~г, й~еэ йк11 еэмэ (2) 2йснэ .Э. (ну) .Э- нэ — эс Здесь кээ — — кэЭ - йз и В ПОказателе Экспоненты опущено спагасыое -161зэ, так как )йэзэ( ж 8'д/йе ~ 1.
Заметим, что члены ряда теории возмущений для амплитуды рассеяния. см. формулу (2) из 13.1б, наглядно можно интерпретировать как описывающие ээоследаштельность опнократных столкновений частипы с внешним полем, в каждом из каторых происходит соответствуюшее изменение импульса частицы.
В этом смысле рвлиусяектор г, в приведенном интеграле соствстствуст точке первого столкновения, после которого импульс частицы йз стаиовитсн равным и (послс второгО стОлкнОвсния он принимает конечное значение 8). Замыканием контура е верхнюю пэзэуплоскость комплексной переменной кэ~ в случае з, ) *,, и в нижнюю полуплоскость прн з, < з, в выражении (2) можно выполнить интегрирование по кв. эя пгэ 1 ээ э "с (3) Показатели возникающих экспонсециальных сомножителей элссь имеют сушестеенно различныс значения. Так как )йззьэ) дед Зг 1, то в случае з, > зэ экспонента в (3) налястся быстро оспиллируюиэсй функцией.
Зто означает, что при послсдуюшем интегрировании иэ Зта область переданнм» импульсов вносит аомнинрующна вклад а полное сечение рассеяния. При этом 1вь)м е, глс е* — нсрпенднкуллрнся первоначальному импульсу Ьз (нзпрзаленному хасль асн «), састзвляююв» е. Ззэмтнм, что нэ еирахснн» лля /гтЭ согласно оптической теореме следует результат борнозского прнбаээхснээя лли сечен ил рассел них, сравнить с Э 3 2 н 13 1Э, 13. еэ4. Показать, что амплитуда рассеяния второго приближения теории возмущений при больших энергиях, кгь яэ 1, и передаваемых импульсах'" ВВ < 1 описывается выражением О 1.
Борнобсхое приближение по х, з в выражении (2) вклад таких хьз будет малым и им можно пренебречь. Соответствен- но выражение (3) ыожно считать равнылз /х ( и (х, — хз) ) — О(хз — х,)ехР ! » Лс ( 2йв (4) / ( / (г(р,хл)дх, ( у(р,хз) Ехт~ с ч' д р, Наконец, замсняи здесь нижний предел интегрирОвания по хт на -со и вводя при этом кОэффициент 1/2, приходим х приведенному в условии хшвчи выражению. Отметим. что для центрального потенциала оно является чисто мнимым (вещественная часть ам плиту Зы /! ! мнОгО меньше мнимой и в рассматриваемом приближении не возникает, сравнить с 13.12 и 13.13).
Применительно к потенциалу У = !/в ехр (-гз/Вз) получаем т з т Ш . хил (/е -т'в'1т Ой'й что совпадает с формулой (3) из 13.13 для значений ОЯ < 1. В заключение заметим, что, положив д = О в формуле для /!з! и воспользовавшись оптической теоремой (ХШ 11), получаем выражение, опрсаслнюшее в борновском приближении полное сечение рассеяния и совпадающее с результатом 13.2. 13.15. Нэ решения уравнения Липпмана — Швингера (см. 13.10) найти амплитуду рассеяния частицы в случае сепарабепьного потенциала, ядро которого имеет внд (/(П г') = ЛХ(г)Х'(г').
Каково угловое распределение и полное сечение рассеяниИ Решение, Уравнение Липпмана-Швингера ((!) из !3.10) остается справедливым для до- стхтОчнО произвольного азаимОдействия О, если заменить фурьс-компоненту потенциа- ла дг(д — К) иа ядро 0(й, к) оператора !/ в импульсном предсташлении.
Для свпарабсяьного потенциала У(а,й') шля(й)я'(Д'), я(й)= ~е 'их(г)ЕЯ и уравнение Липпмана — Швингера принимает аид /(д кс) = — — я(д) ~я'(де) + /' Лш Г, / д'(н)/(м,кэ) дзи1 2хй» 2хз(хз — йт — !с) Обозначив флнУРиРУюший здесь интслРэл чеРез Р(ле), имеем /(й, К,) = — , я(Л)(я'(Де) + Р(Д4 2хй' и после подстановки этого выражения в указанный интеграл находим Р(лс) и амплитуду рассепния (й = дх): Лпл дз(й) у(к ке) = /(й) = - — з 2 .йз !+К(Д)' 'тз напомним, что э!х) = ! хлх х > О и ч(х) О лхя х < О где О(х) — ступенчатал функция из, а так как характерные значения х, з ц Л и к, я Л ', то экспоненту вообще можно заменить на 1 Появление в выражении (4) ступенчатой функции вопускает наглндное обьяснение: для быстрьш частиц кахшое последующее лстолкновениел происходит при все ббльших знвчениих х (нет рассснния назад). Теперь в выршкении (2) легко вмполнястся интегрирование по ж„ а возникающая при этом б-функция О(р, - р!) позволяет проинтегрировать и по рз.
В результате получаем Глава 13. Сгполннобения частиц где к(ь) = —, / Лт / (д(к)(т к~к 4язйз,г нт — йз — ве Одним из характерных свойств ес является независимость от угла рассеяния из, так что угловое распределение рассеянных частиц оказывается изотропным и полное сечение рассеяние а(Е) = 4я~/1~ (поучительно убедиться в совпадении сто с результатом вычисления согласно оптической теореме).
Отметим также предельный случай больших энергий; а(Е) сх (д(Д)(' при Е сю. 13.1ое. Сравнить при Е = О значения точной и борновской амплитуд рассеяния в потенциале (у(г) в случаях: о) потенциала отталкивания ьу(г) > О; б) потенциала притяжения, в котором, однако, нет связанных состояний (т.
е, по- тенциальная вма достаточно «мелкаяэ). Показатьь что борновское приближение в случае ау дает завышенное, а в случае б), наоборот, заниженное зна~ение сечения рассеяния. Решение. При Е = 0 имеем )э(О) = — — „, / (7( ) Пг, У, (О) = — —,,/(7( )Фс( ) ду, где в. ф. Фе(г) уловлстворяет уравнению (ХП1.4) Фэ(г) = 1 — — з / Гг(г) — Фе(г) дд. (2) г.д',) !г — К( Если в потенциале Гг(г) нет связанных состояний частицы, то волновая функция при Е = 0 не ииеет нулей, и так как Фс(оо) = 1, то Фэ(г) > О. При этом, как следует из урав- нения (2), для потенциала отталкивания 0 < Фе(г) < 1 и согласно (1) имеем неравенство (7~(0)( > )Е (0)1, т.с борновсксе приближенно дает завышенное значение сечения рассе- янна, Аналогично в случае потенциала притяжения, Гу(г) < О, получаем (/в(0)( < (/ч„(0)), твк что борновскос приближение дает заниженное значение сечения рассеяния (в отсутствие а потенциале связанных состояний).
Подчеркнем, что установленные соотношения между сеченинми не предполагают малости потенциала, требуемой длн прииенимости варнавского приближения. В связи с данной звлачей см. также 13.69 н ! 3.70. 13.1'тт. В борновском приближении получить выражение для амплитуды рассеяния заряженной частицы магнитным полем РЕ(г). Убедиться в калибровочной инвариант- ности полученного результата'с'.
Решение. В первом порндке по магнитному полю взаимодействие имеет вил Е = — — (РА+Ар). 2глс Подстввллн зто выражение в формулу (Х111 5) вместо (Г(г) и заменяя в ф ФМ«плоской волной, получаем амплитуду рассеяния 7(а,ье) = —, е ' (РА+АР)симе г = — (к+К«)А(Р), 4ггйтс 3 4хйс где А(е) = /с '"А(г) др — ФуРье-компонента векторного потенциала, при калибровочном преобразовании А(г) изменяется на туд(г), при этом к А(Е) добавляется слагаемое щу(Е). Однако так как Е(Ь+ К,) = О, то значение 7, как и величина Дифференциального сечсниЯ рассеянна, нс изменяются в согласии с калибровочной инвариантностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
