Galitskii-2 (1185112), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В частности, лля системы центров а1,! ш «,Ь, + п,Ь<+ я,Ь| с и„= О, 1,...,Дгл — 1 имеем !<гк(0)[ =~~ ехр(-!еа<„1)~ = — 2,6(к — ье-2|гз'), 1' (2я)'1У <1 ь,ь,ь, (4) где ЛГ = Д«3У<Л<з — общее число рассеивающих центров, т = |,а, +||а|+гав|, з, = О,ж1,..., 1 ! 1 а, = — [Ьт,ьз[, а| = — [Ьз,ь<[, а| = — [Ь<,Ь<) <Ь = (Ьн[ьз,Ь<)) (при этол< а,Ь< — — а|Ь< = а|Ьз = 1) Фигурирующие в выражении (4) 6-функционные слагаемые опрслсляют направление, К = Ье 2ят, упругого рассеяния частицы в кристаллах (уоюенс Вулмлл-брага).
13.9. В борновском приближении найти амплитуду рассеяния для столкновения двух лротяженкысс частиц, взаимодействующих друг с другом электростатическим образом. Частицы считаются протяженными в том смысле, что они характеризуются некоторым распределением заряда р, |(т), предполагающимся сферически симметричным относительно центра масс соответствующей частицы'я и не изменяющимся в процессе столкновения. Выразить амплитуду рассеяния через форжфокторы л<, |(О) зарядовых плотностей р, |(т). Решение.
В условиях заддчи потенциал взаимодействия частиц определяется известной формулой электростатики „, И (П) (»„„ [г+|| г» где г = г, — г|, а г, | — рааиусы-векторы центров масс сталкивающихся частиц. Имея в виду соотношение с '"йи 4|г [ +г, — г|[ 0' согласно формуле (Х!П.б) получаем в 2п| У (О) = — | | Р<(4)Рз(4) (|и — приведенная масса частиц), Здесь Рл(0) = / е нр, |(г) йьг 13.10.
Получить выражение члена и-го порядка ряда теории возмущений для ампли- туды рассеяния частицы в потенциале У(г). '|| Прн ыом использовано соотношение | Ц Э(ЕЬ| — 2к|,) = — б(Š— 1лт). ь,ь,ь, 11егочсчнасть распрсылсннх заряда указывает не составной характер сталкиююшнхсл час<нц (сраенигь, например, с 134), '!ак как, однако, изменением и» внутренних состояний а процессе столкновения нрснсбрсшстсн, |о задача сзаэн|ск к абы <ной залачс расселина льух тсг 8 салли с ленной завачсп сн также 13.80 являются формфакторами соотвстстнуюших распределений электростатического заряда При 0 = 0 имеем р< |(0) = еы — заряды частин. Рял свойств формфакторав составных частиц рассмотрен в задачак 13,80 и 13,84 102 Глава 13. СтолкноВения чостоц Укеэекие Предварительно получить согласно (Х1П.5, 4) интегральное уравнение алп амплитуды рассеяния (уряеяечие э!планоке-Утеикгере).
Решение. Подставив в формулу (ХГП 5) выражение (ХП1.4) и воспользовавшись импульсным представлением лля функции Грина свободной частицы еьна " 1 г" е'"и "' 3 !г - г'! 2яз,)»з - йат — ас (с > О. с 0), орихолии к уравнению диппманв-Швингера г у(и — «)у(»,и,), 1 г(И "а) = г (У(И вЂ” Иа)+/ В н~.
2яй' ~ / 2вЧ»'-й'-Ы) Гп!(3А)=У (й)=- — тУ(й), У(й)=~с-'еУ(г)е1; ( ) ( ( (2) У (И, )= - —,) /...,'У(И-~.,) 1„! т 1" / /' У(»„,-» з)ел„ы У(»г — Ие)ел, 2яйг,) .7 .) 2кз(кз,-йз — тс) 2в'(к,' — йаз-ы) (о приложениях полу генных результатов см. 13.15 и !3.50). 13.11. В борновском приближении амплитуда рассеяния вперед (на угол Р = 0) является вещественной величиной и поэтому не удовлетворвет оптической теореме (Хй).11). Почему это обстоятельство не противоречит успешному описанию дифференциального и полного сечений рассеяния в рамках борновского приближения в условиях его применимости? Написать выражение для амплитуды рассеяния во втором порядке теории возмущений, Найти 1п! )!71(Е,В = 0) и обьяснить полученный результат.
Решение Борнопсксс приближение является первым,линейным членоч разложения амплитуЛы рассеянна е рял по степеням кратности взанмопсйствня (точнее, по олному из параметров. приведенных в (ХП1.7)). Подобнос разложение вля сечения рассеяния начинается с членов второго порвдка малости, твк как гг х 7! Поэтому в соотношении 4я1ш У(Е,О) = йе(Е) я левой части, как и в правой, нс должно быть линейного по потенциалу слагаемого. Отсюда с необходимостью следует, что 1гп 7 "(Р = О) = О. Во егором порядке теории возмущений амплитуда рассеяния описывается выражением (2) иэ ггрелыдуц~ей зааачн. В частности, лпя рассеяния вперед (Е = О, И = 1га) оно дает Г" (Иы И,) = —.
~' гпз 7 )У(» — Иа)( вя'Л' и' — йа — м (здесь учтено, что У(в) = У'(-в)). Отсюда следует т' Уо'О,~) =- —,, / ', (У(» — ЦН'В" йкчйг ! (кз 1,7)' г (2) Подчеркнем, что ддя реального упругого рассеяния йз = йаз = 2тЕ/Л . Уравнение жс (1) 1 связывает амплнтувы и при значениях й' Ф йа (как говорят в таких случаях.
вне энергетической поверхности; выход с энергетической поверхности осуществляется согласно формуле (ХП! 5)). С помощью уравнения (1) легко установить 1»куррснтнпс соотношение для членов ра»гожсния, 7(И, Иа) = 2; 7!"', амплитудм по степеням кратности юаимодсйствия и получить дпя них явные выражения (а = И вЂ” Иа): О ! Борнобское приближение 153 13.12. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния на потен- циале Юкавы (Г(т) ш с е '/л.
Сравнить /1'! и /(г! для различных значений энергии и угла рассеяние. Решение. Для потенциала Юкавы /щ(О)ш/ (О)= г бй й "е пг в 2глаЯ' Л (! + 9 Я ) и согласно формуле (2) из 13 !О во втором порядке теории возмущений имеем яд' ./ [!+В(й — «)г)[1+Яг(й — «)г)[мг-йг — и)' Восмользонасшись здесь соотношением (й' = йе) » (2) 1 1 / »ГГ йс - «г 1 + Яг й — и г,/ 1ЕЯ'( ) ( ), (14-й Я +к В 2Яг«[йе/+(1 -()й!)' а вмражении (2) легко выполнить интегрирование по углам (»Ггм = м' Ем Ей) и получить 4нг'а'В» Г Г к! с -м (3) где К = [(1+ йгяг ем~яг) -4«гя»[1»г -((1-()~г)) (4) и, с учстоы четности подыитегральной функции, интегрирование по переменной к распро- странено на асю ось. Выражение (4) для К удобно преобразовать к виду К= 1 (м — а, )(«Я — аг)(«Я — аг)(«Я — см) ' Эта функции, рассматриваемая как функции комплексного персменнегс м, налястся (как и по- дыитеграль ное выражение в формуле (3) в целом) мсроморфноб и имеет только простые пол юсы в точкак к„= а„/Я, при зточ — =/мм-»и-ю '+'~Ф с -огм (так как О < ( < ! и О' < 4й', то оба радикала здесь вещественны н положительны) и а, а', аг = -а, а» = -а', Теперь в выражении (3) легко вмполнить интегрирование по м с поьющью вычетов, заммкан контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексного переменного м.
'ггдеастсятсльио, зта функция отличае ст нуля лишь при (Щ <»Гс О, а интеграл от нсе ь бсскомечнмх ля»яссах расеи слимицс, кск н трсбустсл лся С-функции. Замечая, что'зг с/гг(я» + сг) = б(а) (при бесконечно малом с > О), и записав « = мп, д'м = -['м ем~ егг„, выражение (2) легко преобразовать к виду !ш/1"(йс,йс)= —,, Ц[й( -йе)! О[м' — йс)дм'аа„= пг'й = — » / [У(йоп — !»О)! Ой„ш — У !/в(й- йс)! ИЯ„, !блгй' 4к,/ или гш /1'г(е, е = О) = йеа(е)/см, что выражает оптическую теорему во втором порядке теории возмущений. Глава 13. Столкновения частиц 154 Расположение полюсое показано на рис 10. Вклад в интеграл выражения (3) от полюса в точке и = д -и 1с составляет йгд 1 + 4дгКз Ч- 4дздгК'((1 — () Эта часть инте~рада — чисто мнимая.
Суммарный же вклад полюсов, расположенных в точках х = а,/72 и и = аг/А, 3 т является вещестпениым н равен Рнс. 1О я /3(()- ттз7Я~Р=б1'+ ' '1'+г 'г('-гв1 Наконец, выполняя интегрирование по переменной ( в формуле 4тгазК' Г /т(" й) = У1 (() ((и ггй» е приходим к окончательному выражению для амплитуды рассеяния на потенциале Юкавы ео втором порядке теории возмущений: уп'(й, ц) = ' .' ' )' г 2тзаг/(з )' 2 агсгб (ду?/2ч/Ъ(д, д) ) г х/Ь(д, д) + ддКз '( й' ). дн,ггй(д,д) дктГГЕ(д,д),Г'й(д,д) - лдкг С' + 1п ' , (5) где Ь(Д, д) = 1+ Д'К'(4 щ д'К').
Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Прежде всего отметим, что, вычислив мнимую часть амплитуды второго порядка теории возмущений при В = 0 (при этом также и д = О) и воспользовавшись оптической теоремой (ХИ( 11), можно найти полное сечение рассеяния в борновском приближении. Получающийся результат совпадает, естественно, с вычислением сечения по Формуле ев = /(/е)з ВР, см. 13.1а). Интересно сравнить 1т /ггз и Ке /гтз друг с другом и с амплитудой первого приближения при Различных Значениях энергии и угла Рассеянии.
О случае медленных частиц, когда ЙК ~ 1, согласно выражениям (5) и (1) получасы (щ /гз1 /гл тоЯ вЂ” щ2Й/2~1, — ю —. Кс /Пз /1'1 й» имея э нилу оптическую теорему, можно заключить, что малость отношения 1т/гзг/ ке/ггг (при д/2 < 1) является общим результатом для достаточно произвольных корсткодействуюших потенциалов. малость же отношения /1 '//г 1 предполагает выполнен не условия тай/йз щ 1, обеспечивающего применимость борновского приближения, см. (ХГП 7) (для потенциала Юкаяы (Ге а/К).
Приведенные оценки сохраняются и для частиц умеренной» энергии, д/2 1; теперь 1т/гп и ке / и являются величинами одного порядка при произвольном угле рассеяния. Рассмтрим случай быстрых частнгг, ДЯ > 1. При малых углах рассеяния, коша дК Я 1 (эта область вносит доминирующий вклад в полное сечение рассеяния), находим /гз> 1/'п1 та - Й72 Ъ 1, Кс /Цг дзд Малость Ке/1'1 по сравнению с 1щ /гзг явлветсв общим результатом (см. 13.14) а условие 1/1 '//1 1( К 1, как и слсаовало ожилать, предполагает выполнение условия применимости борновского приближения для быстрых частиц — второго из условий (ХР1.7). Приведенные оценки сохраняются и при увеличении значения дЯ (при этом прсявляЮтся хэрхккрныс для юкавского потенциала, как потенциала со степенным убыванием (Г(д) при д со, закономерности; сравнить с результатом следующей зааачи).
э |, бориса<кое приближение 13.»«3. Найти во втором порядке теории возмущений амплитуду рассеяния в потенг дг циале У(г) = Уае '/" при больших передаваемых импульсах, дВ Л |. Сравнить вещественную и мнимую части /|г| друг с другом и с борновской амплитудой. ре«ление. Фурье-компонента потенш«ала г| У(д)=31 Усехр]-«йг — — ~«?и=к УэВс иг « -«'л«г» Н') и согласно формуле (2) из 13ПО амплитуда рассеяния ао втором поРядке теории возмушсний описышстся вмраженисм тг У(Й вЂ” м)У(м — Йэ) 8«»д» / кг-Й) «г т Усй „г«д«П / схр ( г Н ]м г(в+Йс)] ) г 8«гй»,/ х' — Й', - «с доминирующую роль а ннтсграте играет область значений м, в которой (и — (Й+ Йе)/2(В < ! (енс этой области подынтсгральиая функция экспоненцнально мала). При высоких энсргилх, ЙН Ъ |, и больших пеРеданных импульсах, дН ы, в этой области знаменатель подынтегральной функции э выражении (1) изменяется ««езначнтельно и его мо;кно вынести за знак интеграла в точке м = Й+ Йс/2 После этого простое интегрирование дает (Йг = Йэг): (2) В этом приближении амплитуда /«'1 — вещественная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
