Galitskii-2 (1185112), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В модели оболочек с самосогласованным однонуклонным потенциалом осцилляторного вида, см. !2.12, получить на основе квазиклассических соображений выражение для радиальной плотности нуклонов в ядре с А лг !. При решении задачи пренебречь кулоиовским взаимодействием протонов и рассматривать ядра с одинаковым числом протонов н нейтронов. Согласуется ли полученный результат с экспериментальными данными для тяжелых ядер? Рещение. Основному состоянию ядра соответствует распределение нуклоиов по нижним одночастичным уровням с учетом принципа Паули.
В пренебрежении кулоновским взаимодействием уровни зля протоиа и нсйтронаОдинаковы При этомдяя ядра с А = 28 в основном состоянии будут занятыми одни и тс же пдночастичные протонные и нейтронные уровни. Обозначив через ег максимаяьиую энергию занятых состояний (см. Рис.а, постоянная -(ул в потснцизпе опущена), замечаем, что (Г(г) обьем фазового пространства, соответстауюцгий занятым састолниям в обьеме гПг, равен г 4ггр„4к г г ггг АГ = — ИУ = — (2тгг — гп ы г ) ЕУ. 3 3 Разделив его на (2яд)г, получим число занятых орбитальных состояний.
В кажлом из них находится по четыре нукяона (в различных зарядовых нли сливовых состояниях), тзк что общее число иуклонов в объеме ИУ составляет О Я Рнс.б 2 АР! = — (пгый)'~! - — ) АУ, г < Л = )/ — ', -3 д (, яг) Соответственгго плотность иуклоиов в ядре описывается выражением 2 гг л ггг п(г) = — 3 (тыд) ~! — — ), г < В -3 д ~ яг) (при этом п, ж п„ми/2; лля г > Л очевидно, ища) (2) Рещение. В приближении, е котором центр масс ядра совпадает с центром масс системы нуклонов замкнутых оболочек, квадрупольиый момент ядра в условиях данной эалачи равен нулю (сравнить с !2.23). Уукоеодстеуясь указанием к условию ээдачн, замечаем, что центр сферического распределения ззряла нуклонав заполненных оболочек, совпадающий с их центром масс, находится в точке О 3.
Изотоличеслол ондарнонтность !ЗЗ Условие нормировки выражений (1), (2) на полное число нукчогюв приводит к соотношению — глый = (12А)'1 л между параметрами и и Д рассматриваемое модели ялрв и позволяет записать выражение (2) в виде п(г) ш — ~1 — — ), г < Д тдт ~ дт) (3) 12.28. То же, что и в предыдущей задаче, для самосогласованного потенциала вида '=(, -(/о, г < 22, (/(г) = Выбрав в соответствии с экспериментальными данными параметр Л модели равным радиусу ядра Л = гвА'/з, гв = 1,2 ! О "см, найти граничный импульс нуклонов в ядре и максимальную их скорость.
Решение. Залача решается аналогично предьщущсв. Теперь, однако, граничный импульс внутри ядра постоянен, р = т/2тсг, так что вместо формулы (2) предыдушеа задачи получаем п(г) = — =сОпЯ, 1 С 22. 2ртг Зятбт (!) Нормировка на полное число нукчонов А даст (ргд)т = 9яАЛ'/8, нли рг = — (9е) б (2) 2 гь с учетом выражение лля Тс Соответствующая такому импульсу рг максимапьная скорость нуклонов в ядре (рассматриваемом в условиях зааачн как идеальный ферми-шз) састаеллег р, 1,1зт, аа й с сг= — = -(9г) ' — — — ш— гп 2 гп ге т,ав 4 (где пт/т, ш 1840, ав ш 0,53 10 т см, с„= Л/гл,ев = с/137, с — скоРость света), а максимальная кинетическая энергия ег ш 30 Мэб ~ лтст ш 940 ЫзВ, твк что нукеоны в ядре еше можнО рассматривать как нереллтивистскис $ 3.
Изотоиицеская инвариантность 12.29. Заряды (в единицах заряда протона е) различных частиц, входящих в один и тот же изотопический иультиплет, в общем случае следующим образом выражаются через значение компоненты изоспина Тз, соответствующее данной частице: 9 = (!/2) У и- Тз, где У вЂ” так называемый еиледзарлт) (так, для нуклона Ун — — 1, для пиона У = О, и т.д.). Показать, что сохранение изотопического спина во взаимодействиях частиц влечет за собой и сохранение гиперзаряда. Решение, Будем нумеровать индексами т и / частины в начальном и конечном состоннинх, так что тч, = — У,, 4 Т, , 2 (нориировочныв интеграл вычисляется подстановкой г/В = зю и).
Заметим, что лля тлжелмх ядер выражение (3), основанное на осцнлляторном само- согласованном потенпиале, противоречит экспериментальным паиным, согласно кОтОрмн дчя таких ядер плотность нуклонов почти постоянна, за исключением узкой области вблизи гранины, срвнинть с 12.28. 134 Глава 12. Ятомиое ядра 12.30. Найти наиболее общий вид изогопически инвариантного оператора взаимодействия пиона с нуклоном. Как операторы яб(-взаимодействия в состояниях с определенным значением изоспина (/ (Т ю 1/2, 3/2) связаны с найденным оператором О? Выразить (/ через операторы У(Т).
Решение. Искомый оператор в нзопространстве должен выражаться через следуюшиег единичный 1, опереюры компонент изоспина нуклона К и пионе !ь и быть нзотопическим скаляром. Так как операторы У, ! яахякгся изовскторными операторами, то иэ ннх можно построить только слслуюшие иэоскалярныс операторы: т, г, (92), а также раэличныс комбинапни этих операторов.
Олнако все онн линейно выражаются через двв оператора: 1 и у!, сравнить с 12тл действительно, операторы т = 3/4 и 1 = 2 кратны единичному, а для т ! справедливо соотношение (т !) э = (1 — т !)/2. Оно следует, наприиер, из 1.21, если заметить, что оператор 92= Тт/2 — !1/б имеет лишь дав различных с з., равных -1 и +!/2 (в состояниях с суммарным значением изоспина еК-системы Т = 1/2 и 3/2, соответственно).
Таким образом, искомый оператор имеет вид й = к + Рг(т !), (В где Р, г — операторы в конфигуранионнои пространстве, не завивал!не от изоспнна. Отсюда находим вид оператороа (г(Т) ен-езаимодействия в состояниях с опреаеленным значением Т = 1/2 н 3/2 суммарного изоспина' 2г(Т=-)-3,-Рт, 2/~(Т=-~)= у+-ум (2) а также связь 0 с этими операторами 3~ (2) + < 2)~ 3~ (2) 2у(2)~92 (3) 12.31. Уо жв, что и в предыдущей задаче, для системы нз двух пионов.
Выразить оператор (/ через операторы кя-взаимодействия в состояниях с определенным значением изоспина. Решение Задача решается аналогично предыдущей Различие проявляется в том, что теперь оператор 1,!г = 3Т вЂ” 2 имшт три разеичных с.э., равных -2, — 1, +1, соответстшнно значениям О, 1, 2 суммарного изоспина пионов.
Поэтому независимыми изоскэлярными операторами являются 1, 1!г н (1!!) (при этом (2 !!) = 2+(г,гз)-2(2 !г) ),а изстопическн инввриантнОе ея-взаимодействие имеет еив У„= Р~ + Рз(!Д) + Рг(!др) . (В Операторы взаимодействия пионов в состояниях с определенными значениями иэоспина. !/„(т = 0) К вЂ” 2Рт + 4Рз! 0„1т = 1) = Р, — Р~ + 1б 0„(т = 2) = э", + Рг + Рэ. 12.32.
Для двухпионной системы указать иэотопическую структуру оператора куло- новского взаимодействия пионов. ~П Фвктнчсскн достаточно сохране пни линь Тг -«оппоненты и эсоп хна. Из закона сохранении аврала следует 2 1, = 2.'уг, в из сохранени» иэоснинвпг имеем 2 'Тх, = 2,'Тг,г. Отсюда получаем Я У, = Я Уг, что и означает сохранение гнпсрзарлда. Заметим, что так как среднее значение Т, ллн частим ванного нзомульги плата раино нулю, то гилерзарга равен удвосннОму среднему Электрическому заряду частил в иэомультиплете. 135 1 3.
Иэотопическол пндорпантность Решенвв Так как оператор заряда пиона связан с оператором его гэ-компоненты нзоспина соотношением 9, = е1, (сравнить с 12 29, е > 0), то оператор кулоновского взэимолействия двух пионов имеет вид е' )г~ — гт) 12.33. То же, что и в предыдущей задаче, для кулоновского взаимодействия в яМ-системе, Ответ Оператор кулоновского яМ-вззимолействия э У.м ш (1+2тз)гз, 2)г, — гн) сравнить с 12.9 и 12.32.
12,34. Каковы возможные значения изотопичвского спина двухпнонной системы в состояниях с определенным значением Ь орбитального момента относительного движения? Решение Изотопическая ннвариантность предполагает, что раэвичные честицы, относявэиеся к опному и тому же изомультиплсту, следует рассыатривать как тождсствснныс частицы, нвхоляшиес» в различных зарядовых состолниях. При этом квантовомеханнчсский принцип неразличимости тождественных частиц распростраияетсв и на различные частицы одного и того же изомультиплета В частности, при взаимноя перестановке двух пионов, являющихся бесспиновыми боэонами, волновая функция системы должна оставаться иеизыенной (быть симметричной).
Для Лвухпнонной системы перестановка просграистаеннмх переменных пивнов эквивалентна отражению координат относительно центра масс, так что симметрия коорлинатной в. ф. совпаавст с чстностью (-1)х. Симметрия жс изоспиновой части в. ф. определяется множитслен ( — 1)г, гле Т вЂ” суммарный изоспин системы, как зто следует из резулшатв 3.30 с учетом аналогии свойств момента и изоспина (и значения Тг = 1).
Отсюда, ввиду симметричности волновой функции двукпионной системы, следует (-1) + = 1, так что возможные значения Е н Т вЂ” одинаковой четности: в состояниях с четным Ь вЂ” лишь Т = 0 и 2, с нечетнмч Ъ— лишь Т = 1. 12.3$. Для системы, состоящей иэ двух яв-мезонов, найти вероятности ш(Т) различных значений суммарного иэотопнческого спина системы и среднее значение Тз. Решенее Для пиона Т, = 1, Тз(яэ) = О.
Ввиду аналогии свойств момента и иэоспнна, решение данной звлачи дублирует решение 3.32. Приведем отвес 2 1 ы(Т = 2) = —, ш(Т = 1) = О, ш(Т О) = —, Тт = 4. 3' 3' 12,36. Найти вероятности различных значений суммарного изотопического спина пион-нуклонной системы и среднее значение Т' в следующих зарядовых состояниях: я+р, я'и, тгвр.
яеп, я р, я п. Решение. В рассматриваемых зарядовых состояниях ям-системы гэ-компонентм изоспнна нуклона и пиона имеют определснныс значениям!, Поэтому, учитывав аналогию свойств момента и изоспнна, решение ханной задачи может быть получено аналогично 3.29 Приведем окончательные результаты длх Тэ и вероятностей ш(Т) значений суммарного изоспина ям-системы Т = 1/2 и 3/2 в рассматриваемых изотопнческих состояниях: 1) для ячр и я и-систсм ги(3/2) = 1, Тт = 15/4; 2) лля тг'и и я р-систем Т' = 7/4, ш(!/2) = 2/3, ш(3/2) = 1/3; 3) лля явр и ггвп-систем Тт = 11/4, ш(1/2) ш 1/3, ш(3/2) = 2/3. и! Нэпомнггм, что эхк пиона Т ! и Тт(вь! = Е1, Тэ(вг) О.
136 Глава 12. Атомное ядро 12.37. Нейтральная частица /о с изотопическим олином Т = О распадается на два пиона: /а -о 2е. Возможные каналы распада: /о -о к+и и /о -> 2ко. Найти соотношение между вероятностями распада по этим каналам. (2) о вг о(2я ) = в>;(Т = О) = —, 3' (4) где использовано значение вероятности суммарного изоспнна Т = 0 в системе из 2яо, полученное в )2.35. Указанный способ решения основан на возможности вычисления е ряде случаев коэффициентов Клебша- Гордвна (точнее, их квадратов) с помощью соотношения (3). 12.38. Показать.
что изоспиновая часть волновой функции системы из трех пионов в состоянии с суммарным нзотопическим спином системы Т(3к) = 0 имеет определенную симметрию по отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух пионов, и выяснить характер этой симметрии. На основании полученного результата показать, что нейтральная частица шо с изотопическим спином Т = 0 не может распадаться иа три яо-меэона, т.е. распад шо 3яе запрещен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
