Galitskii-2 (1185112), страница 33
Текст из файла (страница 33)
следующую ишачу Заметилл, в заключение, по потенциал тензорных сил, не сохраняя вектор Б, все же сохраняет значение Б: лля асах рассмотренных потенинахов интегралами движения являются как полный момент 3 (и соответственно 3~), твк и четность системы 12.5. Показать, что волновая функция дейтрона, представляющая суперпозицию зЯ~ + 323,-волн, может быть записана в виде Фе = Ф( Я~) + Ф( 22л) = (згс(г) + 7з(г)Яа! Хгьи Глава ',2. Аглотное ядро !18 здесь 5ю = 6(оп)1-2оз, Б =. 1/2(о !+ ез) — оператор суммарного спина нуклоиов, у»., — произвольная спиноеая функция для спина'> 5 ы 1, Считая, что потенциал взаимодействия протона с нейтроном имеет вид 0 = Тгз(г) + (уг(г)К! (суперпозицня центрального и тензорного взаимодействий, сравнить с предыдущей задачей), получить систему уравнений длп радиальных функций /е з(г) дейтрона. Показать также, что потенциал тензорных сил, рассматриваемый как возмущение центрального потенциала, приводит к сдвигу 55-уровня лишь ео втором порядке теории возмущений.
Решение. 1) Сферичсски-симметрнчнач волновая функция Ф(»5,) = Яг>уз, описывает сосгоннис с Е = О; длп него 2 = 5, так что зта в. ф, соответствует '5,-волне Покажем, что в.ф. Ф(»Р!) = /»(г)5,»кз» описыыст»Р,-состояние. Запишем ее в вида Ф(»Р!) = /»(г)(бп,п» вЂ” 26,»)5,5»кз-ц (П Угловэя часть этой в ф., Т» = бп,я» — 26», яллкетси симметричным тснзором 2-го ранга С раиным иуды СлеДОМ, Т„= О, так что согласна 3.41 можно утнерждать, что волношя функции (1> описывает состояние с орбитальным моментом Ь = 2.
Далее, тэк как коммута- тор [5», 5,5»] = О, то имеем 51Ф(»Р,) = /,(г)(бп,п» вЂ” 26»)5,5»5~25-» = 2Ф(»Р»), ге. волноиэн функция Ф( Р,) описывает состонниесоолино»! 5 = 1 Аналогично, из условия коммутэю»вности оператора полного момента системы б, со скалярным оператором Яг)5!т следует б!Ф(»Р,) = /т(г)(бп,п» вЂ” 26»)5»5»б хз-! = 2Ф( Р~) (гак кэк сштнолан функция уз,, не зависит от углов, то лли исе б'у = И'2 = 22>.
Таким обр»»ж»»», н ф. Ф (» О) отвечает состоннию с 2 = 1 и действительно соответстнуш»Р, -во!»не. 2) Обсудим свойства оператора 5п = 6(Бп)! -25» Учитыван, что (бп)' = ($п) для спина 5 = 1, сравнить с 1.21, получаем" 51! — — -25ц + 451. (2) Лалсс, после»~ьзовавшись значснисч интеграла у' = 4к п,п» бП = — бц, 3 накопим (3) 5„4П=О, /' 5'14П= '" 5'. [, =, / Отсюда приходим к условию нормиро»кн лля волновой функции нейтрона в виде рассматриваемой супсрпозиции »5, и Р, волн: » (Ф„>Ф„> = ее~(>/ь(г)>1+6>/з(г>>!) 'бг =1, (4> ! пРи этом (2»чц >йз П = 1, э также к отмеченномУ в Условии зааачи РезУльтатУ сб отсУтствии сдвига »5,-уровня ЬЧ»! = (Ф(15>[ йг[ Ф(»5)) = О нод влинчнем тснзорного взанмолействия в пер»юм порядке тсприн воз»»у!ценна и Ов испол»зсььнин рами»нмт представлений дл» спн~»з 5 —.
1, сн 5 26. "! Тэк к»к «сзчьжнмс знэ минь 5 ранил~ С и 1, тс (Бь>5 —. 2(ба>, (51>! - 251 и састнсюснис (2> спрэьслпньс квк дэн значении Ю = 1, тэк н в сл! ~эс Я .—. О. т.с. лз» ессх сссюэний системы из дзу» нтк»юнов. 9 1. Оспобньге предсгпобленил о ядерных силок 1!9 Наконец, уравнение Шредингера Лпя дейтрана ( ) = й — — Сл-0 [Фа = Елфл 2т (пл — приведенная масса систелпл) с учеголг соотношения (2) сшшитсл к сисгече двух лифференциальных уравнений ллн радиальных функций уэ ! = гул !.
дз — Д + [Уг(г) — Ел[Л й(тг(~)/~ = О, 2 ил уг йт )д! (5) — — — + — .!. (Уэ(г) — 2Ут(г) — Ел~ Д и. (Уг(г) 1о = О 2т Огт гпг! Замегилг, имея в виду состоянии непрерывного спектра, что тензорное взаимодействие нлпл!ваег переходы межлу состояниями с раюнчными (ни одинаковой четности!) эна гениичп орбитального момента Ь лишь в триплетных но спину, Я = 1, состояниях. В синглетных состояниях. В = О, тензорные силы отсутствуют и орбитальный момент является интегрштом движения, сонпалал с 2 В заключение, в свнзи с рассмотренным вилам волновой функции дейтронв, укажем на соотношение (2) =Х ВХ сравнить с 5.2!. 12.6.
Для системы из двух нуклонов: 1) найти собственные функции и собственные значеннв изотопического спина (его величины Т и проекции Т!); 2) указать значение изоспина Т в состоянии эз гБ с определенными значениями суммарного спина Е и момента Ь относительного движения нуклаиов (сравнить с 10.9); 3) указать нзоспиноеую часть волновой функции дейтрона. Решение !) Ввиду аналогии свойств изоспина и обычного спина изоспиновме волновьш функции Фгт, лвухнуклаинай системы с определенными значениями суммарного изаспииа Т и его проекции Т, могут быть найдены как в 5 !О, см.
(ХП.!) и (ХП.2): (,) (,) ,(),(), "=-.(('),(), (),())=-[' ' Ф,, = ( ! ) ( ! ) ш Ф„(!)Ф„(2); лу2'(( ) ( ), (!), (0),! [ Подчеркнем, чта и састаянинх Фг г,ш каждый из иуклоноа не находится я определенном зарядовом состоинни, а с вероятностью !12 мажет находит~ел как в протонном, так и в нейтронноы состояниях. Поэтому взаимодействие, сохраняюшсс иэоспнн, носит ааобвле говоря, обменный характер. 2) Согласно изатопической симметрии протон и нсйтрон рассматриваются кзк различные зарядовые (нлн изотопические) состояния одной и тай же частицы — нуклана Так как нуклои является фермионом, та волновая функция системы нуклонав должна быть антисилгметричнай по отношению к перестановке всех переменных — координатных, спиноаых и изаспииовых — любых двух нуклонов (обобщенный принцип Паули) Так как гшя системы иэ двух нуклонов: а) перестановка координат эквивалентна инверсии относительна центра масс системы и поэтому симметрия координатной функции с данным значением орбитальглаго лгамснга Е совладав г с четностью (-!), 120 Глава 12.
Атомное ядро б) симлмтрнн спиновой функции лля состояний с сул>л>арным олином Ю относительно нересганонки сниноаых переменных онрелеляется л>ножителем (-1)з+', и) снмчстрнн нзоспинозой волновой функции, аналогично спинозой, дается множителсл> (-1)т "'. то еолноьаи функция Фсэг состояния с определенными эначенинчи кнантовых чисел Ь, Я и Т цри перестановке нуклонон умножается на (-1) 'э', при этом из условия антисимметричцостн и ф. слепует соотно>кение ( 1)г ( 1)с>5» (2) Так, е состонниях с 5 = 1 и четнымн значениями Ь вЂ” как, нппример у лейтрона, см 125, — >юоспин лпух нуклонов Т = О (при этом аналогичные состояния я системе иэ двух олкнакоаь>х нуклонов — лиух протонов или двух нейтронов, соотнстстзующие Т = 1, запрещены цринцицол> Паули.
см. 10.9). 3) Иэоспинован часть волновой Функции лейтрона, имеющего Т = О, описывается функцией 9>м >о выражений (1). 12.7. От каких свойств инвариаитности реальных ядерньж сил пришлось бы отказаться, если бы состояние дейтрона представляло супврпозицию 'Р + >Р, (а не эо>+ >Р„ как у реального дейтрона)? Указать возможный вид взаимодействия, которое могло бы привести к такому состоянию. Решение. В состояниях Р и Р протон-нейтроннан система имеет различные значения иэоспина, солгав> огненно Т = 1 и О, см.
прелылущую >влачу. Это означает, что вэаимолейстаие, цриволяюее к состгн>нию в пиле суперпоэиции Р, + Р,, нс сохранлет изоышн, т е. не нвлн> ется иэосквляром Так как в рассматриваемом состоянии суммарный спин (обычный) также не инсат определенного значении, то обсуждаемое взаимодействие не сохраиист и спин В качестве примера такого взаимодействии можно указать ТГ = У(т)(а,г>' + Этг11)1= - У(>)(др — о„)Т. 2 Заметим, что зто аэаимопействие нс только не является изотоп ически симметричным, но леже нс не>яетсн н эарялоио независимым, сравнить с 128. 12.8. Предположив, что взаимодействие двух нуклонов имеет следующую изотопи- -(О -12) ческую структуру: (>' = У> е У,т, тэ, где У> э — операторы, уже не зависящие от изоспиновых переменных (они — операторы е пространстве координат и спинов, симметричные по отношению к перестановке нуклонов), найти вид взаимодействия в системе нз а) двух протонов, 6) двух нейтронов и б) протона и нейтрона.
Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие с 1) нзотопической инвариантностью; 2) зарядовой симметрией ядерных силу Решение. Так как лап нотона и ней> рона гч = > 1/2 и тм = — 1/2, то лля рассметрипаемого йьэили>лснстинл н ряъшчных заряяовыт состоннинх нмеел> 1- — 1 (Глл = Г У> + У> ~~ — 1> 1> 4 " 4 1'анснюно О = О,„санлегельсгнует о зариповой нсэзннснчости рассматриваемо>о вюимоясис>анн.
Олцако оно нс облааает нэотоцичсской инкзрнантносгью, так как нрслстанлне> суперпоэнцию иэоскж>кра Р> и комнонсцть> тенэора У т> г,, сранннгьс 12 9 Потому юаимо- -и>-и> лейстенс и рп-ыютсме оп>нчтется от нэаилю!>сйстинн и систеио ил льух олиняконых нуклонон. 12.9. Для системы из двух нуклонов: 1) указать наиболее общий еид изотопически инвариантного оператора взаимодействия 0 и выразить его через операторы 02 нуклон-нуклонного взаимодействия в состопниях с определенным значением изотопического спина Т = О и 1; 2) указать изогопическую структуру оператора кулоновского взаимодействия нуклонов.
б 1. Оснобиые предстаВления о лдериьгж силах 121 Решение 1) Искомый оператор, являющийся скалярам в нзопространстве, может выражаться тштько через слелуюшие изоскалярные операторьс 1, т', т, т',Ртг,..., т,т„(т,Рт)т,. 3 1 (т,тз) = — — — (т,тт), !6 2 сравнить с 5.12. Соответственно, наиболее обшил аид искомого оперы ора в изопространстае есть У = Н+ Ут(т~тз), где Уь» — уже не зависящие от изоспина операторы и коорлинатном и спиноком пространствах, симметричные относительно перестановки нуклонов. 1 Твк как т,т, = (1/2)Т вЂ” 3/4, !де Т вЂ” оператор суммарного изоспина лвухнуклонной системь, то со асио соотю нег ию (!) Лли взаимодействии в состояникк с определенным значением Т получаем 3- !в У(Т = О) = Н вЂ” — Ум У(Т = 1) = У!+ — Ун 4 ' 4 (2) Отсюда можно выразить У, т через У(Т) и записать взаимодействие (1) э аиде й = — (Уе + 3У,) + (У, — Уе)т, т„ (3) где Уе, м У (Т = О, 1).
2) В двухнукхонной системе кулоновское взаимодействие отлично от нуля лишь в случае, когда оба иуклона находятся а протонном зарядовом состоянии. Так как оператор заряда нуклона е Ви = — (1+ 2г!), 2 то оператор кулонопского взаимодействии нуклонов иьгеет вид ет У.м = — (1+2т! 1) (1+21!в). 4)г~ — гт) (4) Отметим, что кулоновское шаичодсйствис нарушает как изотопическую инвариантносгь, так и зариловую независимость идерных сил, сравнить с предыдущими задачами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
