Galitskii-2 (1185112), страница 34
Текст из файла (страница 34)
12.10. Найти среднее значение энергии кулоновского взаимодействия протонов в ядре 'Не и оценить размеры зеркальных ядер трития зН и гелия зНс исходя из того, что в Д-распаде зН зНе + с + У максимальная кинетическая энергия электрона ев = 17 кэВ. Замечение. У рассматриваемых клер нет аозбужленных состояний. Напомним, что (т„-тр) х с'-2,5ш,стш1,3 Мэй. Решение. Если бы нзотопическея силгметрия была строгим законом природы, то свойства клер трития и гелия Не (как и любой пары зеркальных ядер) — их массы, энсргетическис уровни и их киантоеые числа — были бы олииакоиыми и 13-распаа был бы запрещен законом сохранения энергии (фактически в ленной заааче речь илет о белес низкой форме симметрии взаимолсйстаии нуклонов — зарядовой неювисимости ядерных сил).
Нарушение мрялоаой иезваисилгости ядерных сил, проявляющееся и в рамгичии масс ядер Н и Нс, в соответственно и в энергиях покоя Мой ллер, сиязано с электромагнитным здесь тгд — (изовекторные) операторы изоспина отдельных нуклонов Однако из всех этик операторов независимымн являются только два 1 и т,т,. Дейсгвительно, операторы т', = тт =- 3/4, т. е кратны единичному оператору, а степени оператора т,т, линейно вмражаются через 1 и т, тг, так как 122 Глава 12.
Атомное ядро взаимодействием. Это различие аарсдс.<нстся, в аснапиол< л, авумя факторами разнипсй масс пла„прагана и нейтрона, а также энергией кУланавскага взаимаасйстви» протонов в вдрс 'Нс; при этом г сл [М( Н) -М( Нс)]с = (т„-тр)с - [ — )4<(~ дт< глс Ф вЂ” в. ф. ялра 'Нс, а г = г, — г, — расстоянис между протонами. Отсюда, с учетом соотношении <п,с'+ сл = [М('Н) — М('Нс)]с', нэхалим / т< 7/хи = ~ — ) = (т„— т,— т,)с — гл 1,5т,с -0,77 МэВ, чта позволяет получить оценку среднего расстояния между нуктонами и Размера д рассматр<имсмых ялер: г/12 Я (г) 1 — )] м1,9 1О '<си (напомнил«, га ст/ав м 27 эВ, а„м 0,53 ° 10<а см).
12.11. Как известно, размеры ядер определяются соотношением 72 = твА'/л, где А— число нуклонов в ядре. Оценить значение гв изданных о /7+-распаде ядра, содержащего (2+1) протонов и В нейтронов, так что А = 23+ 1, выразив его через максимальное значение энергии св позитронов распада. Считать, что распадающееся ядро и ядро — продукт распада, являющиеся зеркальными ядрами, находются в одинаковых состояниях (т.е. имеют одинаковые квантовые числа, за искгючением значений Тз-компонент изоспина). Энергию кулоновского взаимодействия протонов в ядре считать равной электростатической энергии равномерно заряженного шара, имеющего такие же заряд и радиус, как и ядро.
Получить числовую оценку ге из распада '«8« - '<А1+ е++ и, для которого ев = 3,48 МзВ. Решение. Имен в вилу соображения о Разнести масс зеркальных ядер, высквзвнныс в лрсдылушсй зялачс, и учитывая значение 7/хг„= з(Вс)г/5л электростатической энергии равномерна зарижсннага шара с зарядом Яс и радиусам 72, находим < З(2В ш 1)с' 5(2В ь 1)'глгл глс послслнсс слагаемое прсдставлнст разность электростатических энергия дкя лвух шараа радиуса 22 = <<А гл с зарядами (Я + 1)с и Вс соатвстстаснна, при этом А = 2Я + 1 Отсюда З(2Я+ 1) с' 5(2Я + 1)'гл (сл + ь) глс Ь = (т„- т,)сг м 1,29 МэВ, и из данных, основанных на Р-распаде ндрв т'В<, палучясл< гл м 1,6-10 о см.
$ 2. Модель оболочек 12.12. Считал, что самосогласованное поле, действующее на нуклон в ядре, можно аппроксимировать потенциалом (/(г) = -(/е+ тытгз/2 (т — масса нуклона), найти одночастичные энергетические уровни. лл прп эю» ярсисбрсгэсгсх кэк взэнмадсяствкси мэгннгнмх иамснгаэ нухюиаэ я карс (ана инам иснлшс кулаковского ылииаэсвствнх), тэк к элнхннсн элсктваиагннгнага н<лниадсясгвн» нспасв<д. сгвснна иэ «лсрнмя патснчнлх 82. Модель оБолочек 123 Решение.
Задача определенип олночастичных энергетических уровней н соотаетствуюших им собственных функпий нз уравнении Шредингера [ д 2 т т — — гз — ()а + — пты г ] ф» = М»ф» 2пг 2 фактически была решена ранее, см. 4.4. Прн зтоы 3'т Е» = (тампы(М-1--), М=2п,+1=0,1,2,... 2)' Каждому уровню с данным значением М отвечают оаночастичные состояния Ф г с орбитальными моментами ! = М,М вЂ” 2,...,1(0); кратность вырождения уровня о(М) = (М + 1)(М+ 2)/2 (без учета снипа нуклона). На рис. 5 изображен спектр олноча- М 0(М) стичных уранией для рассматриваемого потенииала.
Справа указаны слеауюшис чи- б бз,ба(,2д,(г 56 168 ела: П(М) — кРатность вырождения уров- Зр,2(,1)з 42 112 ня; п(М) = 2б(М) — максимальное число пуклонов каждого зарядового саатоя- Зз,)г(,18 15 ния (т.е. как протонов, так и нейтронов), которые могут находиться на соотвстстаую2р, 1!' !О шем уровне (удвоение значении б(М) спя- 2з, !г( б !2 20 вано со спинам нуклона); М(М) — максимальное число нукяоиов каждого заряда- б 8 ваго состояния, коюрыс могут быть размеюены по всем уровням, начиная с нижнего и кончая рассматрнпаечым, при этом М(М+ 1) = М(М) (М+1).
' Найденные числа М(М), равные 2,8,20,40,70,..., представляют значения магических чисел Лля рассматриваемой модели. Специфической особенностью осяилляторного потенпиала является случайное вырождение уровней. Если слегка изменить иа б(Г(г) потенпиал, то случайнОе вырождение снимется, что приведет к расшеплению каждого уровня на столько падуропней, сколько различных значений ! сму отгючаст'а! Это обстоятельство нллюстрнрустси на рис 6, на котором схематически изображена картина расщепления уровней с М = 3 н 4 п(М) М(М) 28 2! 30 70 20 40 1р 3 !г 1 Рис.
5 М=3 2р,!г' М=4 Ь,2»,1 Зэ — 1( 2р р .б Предсказания значений оолньж моментов (апиноа) .! ялер в рассматриваемой молсли носит весьма неопрелеленный характер (исключая легчайшие и дважды магические ядра) авилу большой кратности вырождения уровней по з Однако предсказания четностей основных сасгоиннй ядер — вполне опрелеленные, что слизано с одинаковой четностью, равной Р = (-1)' = (-1)» всех олночастичных состояний, отвечаюших уровню с ленным значением М, 'а) Пархлак рзапалажаиня паауравпан па! зависит ат каикрстиага вила вазнумаииа бо(г) Зэматпн также, па харакмрнае ялх аапнллхтарнага аатсипивла случайное пыражаснхс к лархаак слалатання уравися с Различными эиачеиихмн! в кавзихлааапчсакан приплаканна спраылливы х дхя лаамтачна произвольных патапаиэлав, с». правила кынтаваних из 9.2.
К каким значениям мог»пес»ил чисел приводит такая модель самосогласованного потенциала? Каковы предсказания модели а отношении моментов н четиостей основных состояний ядер? Оценить значение параметра Ьы модели, основываясь на данных о размерах ядер. Глава 12. Алюмное ядро 124 н с тем обстоятельстпоч, что чстность являетсп мультипликативным квантопым чисзюм Тяк, для оснопного состопнии ядра ь С модель предсказывает отрицательную четность, для 71 ядра т Π— положительную и т д. 17 Оценку значения параметра Лчг длн ивер с А» 28 Ъ 1 можно получить, отождествив разьгер ядра е = 7.еА'/', гле гь = 1,2 10 " см, с рваиусом» /2(дг „) квазиклассической орбиты иуклана нв верхнем из заполненнык уропнсд, опрелеляемым из соотношения ты Н (/ты,) = Лы(277/ „+ 3), Отсюда, учитыван оценку гч„м = (34/2), следующую из условия 7/7 А = ~ 46(77/)» ~ 2дг» - Лтч псь, чч» (сумму мОжно заменить интегралом), находим 7 Лм, бОА МэВ.
гл/„„л шгт Ат/7 12.13. В условиях предыдущей задачи обсудить изменения энергетического спектра однонуклонных состояний, возникающее при введении спин-орбитального взаимодействия вида (/17 ы — а! в. Для а = лы/!О нарисовать картину нижних одночастичных уровней'". В рамках рассматриваемой модели найти моменты (спины) и четности основных состояний следующих ядер енс 4(.1 'ЕВ, 'Зс, 'Зс, 777)7( 'Чс, '40, '70, Зтд) 4еса. Решение.
Энергетические уровни частицы со олином в центральном потенциале не зависят ог ее си и нового состояния и определ лютея лишь квантовыми числами п„! (но не !„з,). При наличии спин-орбитального взаиьюделствия уровень частицы со спином з = 1/2 с данным значением ! рпсшепляется на даа подуровня, отвечающие значениям 3 = ! ж 1/2 полного момента (эа исключением з-уровней). В этом случае «хорошимиь квантовыми числами пвляются; полный момент 3, его проекция 7, и четность Р = (-1)' (хотя вектор 1 не сохраняется, его квадрат цо-прежнему являстсн интегралом движения.
оператор 1 конмутируст с гамильгонианом). Соответственно собственные функции гамильтониана мо7уг быть выбраны в ниде Фв(г) = /(г)фии(п), где спин-орбитальные функции Фнн обсуждались а 3.24 (впрочем, их явные вид ллп дальнейшего нс сушсствен) Так как оператор 1У»~! -Т~ — 3/4 в состояниях частицы с определенными значениями квантовых чисел 3 и ! также имеет опрелеленное значение а состоянии с 3 = 1+ —, г' 1 в состоянии с 3 = ! — —, 2' то рассматршпемое спин-орбиталыюе взаимодепствне приводит к расщеплению и сдвигу на 1 2' о(!+ 1), 3 = ! — —, 73Е77» 1 -ог, 3=!+- 2 Нг параметр а > о, тек как согласно зкспсрннснтзльнмн ленчмч зпоынь с у = 1+!/2 лежит чиже уровни с Г = 1 — 1/2. 0 2, Модель оболочек 125 нееозмушенного уровня Е, независимо от конкретного вида центрального потенциала (Г(г). Соотаетсгеецно энергетические уровни для рассматриваемой модели описываются выраже- ниеьг 3'! Е„,,ж-(ге+а (2п,.,! -)+ЬЕ<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
