Galitskii-2 (1185112), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Длн потеншгала же конечного 2 раануса г, формула (5) вримеиима лишь лая не слишком болыних частот и ~ гзг, цо пооолу этого ограничении см. ! ! 63 1 5. Нестоционарлые пиления и отомныш системох 10! 11.67. Оценить с точностью до предэкспоненциального множителя вероятность вырывания в единицу времени заряженной частицы, связанной центральным потенциалом (/(г) (при этом У(г) -т 0 при т -т со), слабым однородным электрическим полем.
Решение. Наиболее существенный, экспоненциапьный множитель в искочой вероятности определяется проницаемостью электростатического барьера Р = -елх и равен (ниже с = Д = т = 1) ь 1 в 1 ~ / 1 (' 2к»1 ы — 22 — ехр -2 )/нез — Згх йх) ш — ехр гг гь ( / ) гт ( Зв ! е Здесь Ь = не/2Л вЂ” правая точка повороте, левая точка поворота а г„где г, — радиус 1 потенциале, и положено «ег, « 1 (слабосвязанная частица, ее энергия Ее — — -н»1/2) и, наконец, ь/г, число ударов о барьер в единицу времени; сравнить с 9.30 и 9.28. Для уточнения этого результата заметим, что использованное в выражении (1) значение проницаемости барьера отвечает частице, движущейся строго вдоль поля (в направлении оси з) Для частицы, движущейся под углом д к полю, барьер менее прозрачен и это обстоятельство качественно можно учесть, считая, гто эффективное электрическое ноле для нее есть Ф созе ш Ф (1 — Вт/2) Прн этом для вероятности туннельной ионизация частицы из состояния с орбитальным моментом 1 и его проекцией гп на направление полн получаем уз! 1 / 1 еш ш —, / (21 (п)( 22(»увозе) йй ш —, ~ Щ ехр ~ — — '(1 м — / ~ йй м гз Гз (так как существенны лишь целые углы е « 1, то в шаровой функции достаточно ограничиться лишь сс гр"» сомножителем).
для короткодействуюшего потенциала эта формула правильно передает зависимость вероятности ионизацин от напряженности слабого электрического поля квк в экспонснциальном, так и в предэкспоненциальном сомножителях. 11.68. Найти вероятность выбрасывания К-электрона из атома при дипольном пе- реходе ядра из возбужденного состояния в результате прямого электростатического взаимодействия электрона с протонами ядра (блдтреллля конверсия в пРенебреже- нии запаздыванием). В качестве волновой функции начального состояния электрона испольэовать Ф-функцию К-электрона водородоподобного атома. Скорость вылета- ющего электрона считать много большего атомной. Решение. Гамнльгониан системы ядро -1- злекгронь имеет ьиа 1 й=им — -д,— ,'у О) 2 ' )г,-г! Здесь Й х — гамильтаннвн ядерной подсистемы е с.
ц. и, ядра (и всей системы в целом), суммирование проводится по всем протонам ядра. Записав 1 Ь' / 1 1~ Е (à — ~~ — = - — — 7 — — — ж - — ж р (г, — г„! г, ~-~ (,(г, — г„! г„/ г, (нвчгшо координат выбрано в центре масс). замечаем, что Р представляет собой часть взаимо- действия, эзггисяшую от состояния ядерной подсистемы и ответспмнную за рассматриваемый перехол (в приближении точечного ядра Р ш О). Его веронтность (в единицу времени) рассматривается по формуле йы„= 2я(р„„!» б(Е„- Е1ег) Иж (2) Я!стого тюря, е еыр»жение (2) следовало бы также высгн ыножптель (хегг)н+', учнтываюш»й уис»ьшсние вероятност» амлете част»си ю-зе центробежного барьере, среенить с Е 30 (Ф2 Глава 11.
Атомы и молвкулы при этом 222 г Из г Р. = — — [ — 4 /' Ит Ф, ' ~ (сна — 1)ФС' //Иу,е'Н "" 2»рзг«/ дз / » Здесь»южно разложить «ндерную» экспоненту н рид по степеням йг». Это соответствует разложению щгагаемых (г, — гг) гю малому параметру г /г, ЯВ /ае б 1 (однако оно менее удобно для дальнейших преобразований, чем используемый прием с переходом к фурьекомпонснтам) Разложнн экспоненту, получаем Фз" ~ (е ' — 1)Ф»" Итш [ Ф;"'( — »4~ г»)Ф»""Игщ — йбно (4) » где И,» обозначает матричный элечент дипольного момента идра.
Далее, проинтегрировав па координатам электрона, что даст Вгу ехр [з(й — й)г, — Яг,~ ИУ, = [аз+( й)г)2' приводим матричнмй элемент (3) к виду »Я гзгз / Изв Р' [Ез 4 (й - й) 2) ' Так квк скорость иылетаюшсго электрона много больазс атомной»»1, т.е. й лл Е (при этом энергия выиетаюшего электрона Е» = Дз/2 гс Еа»-Е,),то в интеграле (5) доминирующую роль играет область значений 4, для которых (4 — Ц ь л, и поэтому Б 42 [(аз+(, й)з)2 йз,/ [ез+(, д)г)2 Т дз (й = й, отсюда, кстати, следует неравенство йгм С 1, непосредственно подтверждающее возможность использованного выше разложения экспоненты).
Таким образом, ' /2 Е'зз (6) зтд2 Так как в формуле (2) И ю д'И)гйй = дИЕ» Ий, то, выполняя вней с учетом (6) интсгриро. ванне сначала по Е», а затем и по углам вылета электрона, находим 4лз (йи 12 1без Ию = — —" Ий, ю = — ~б„('. (7) гг аз ' Зй (5) м1 Ими«ззо е эгон елучсс е к»чсствс волныюя функции енлсг»юшсго электрона можно еыбр»ть плоскую пану (в ф. с»ободного щектроиа). Волнавыс фуикнии, ехаднщие в матричный элемент иоэмушения г'„„, имеют вид гбзх на где Ф»ш — в. ф. ялерной подсистемы, так что бззз Элес» Иг — произиедснис дифферснииалос псех независимых координат идра (включан и спиновые переменные). Дян иычисления матричного элемента воспоиьзуемся разложением кулоновского потенНиала и интеграл Фурье: 1 /Ид )㫠— ге. 2 яг,/ 42 0 5.
Нестоционорньге яВления В отомншх системах 103 Так как в атоме имеется даа К-электроне, то полная вероятность внутренней конверсии (в единицу врелшни) иа электРонах К-оболочки равна 32Я» 32т'ее Я»е» мк = 2»л = — (фе! =, — )4»р! ЗЛ ЗЛ' Ле (в последнем выражении мы перешли к обмчиой системе единиц).
С другой стороны, вероятность дипольного излучения фотона при ядерном переходе Ф» м, = — (4»е!», Зйс» см. (Х!Ч. !О), Лш = тр»72, так что коэффициент внутренней конверсии шк К ох г'2т Х'»» мри 2 ь, Лш / ' Лс !37 Как видно, он резка возрастает с увеличением 8 и с умсньшенмем частоты ш. (9) „=-гд!Е.!. 8»» 9 б заключение отметин, что из полученных формул видно, что доминирующую решь внутренняя конверсия играет мненно на электронак К-оболочки (так как ш»х )Ф(0)!», сравню ь с !4.!8 и !4 !9). 11.69. То же, что и в предыдущей задаче, ио в случае, когда начальное и конечное состояния ядра имеют равный нулю момент и одинаковую четиость (такие процессы называют конверсией при лгонополанолл или ЕО- переходе).
Решение. Зкшча решается аналогично предыдущем, причем начальная стадия решения обеих задач одинакоиа. Оливка теперь при вычислении ядерной части матричного элемента уже нсль»я воспользоиатьск фориулой (4), так как в условиях данной задачи й,р = О, беря следУюший член Разложениа экспоненты по степенЯм Чгр, полУчаем ЯдеРнУю часть матРичного элемента а виде — — / Ф»,) (Чгр)(цгр)ФО ет — / Ф» ~ ярэмфе !» ЛЧЧ»»кеб»= бЧ ~ре р р где С)е = / Ф"," (~ г х Фе" лг (2) (при этом прелполагаетси, что четности на'»ального и конечного состояний ядра одинаковме, в противном спучае »Зе = О), Соответственно матричный элемент воэмушения Равен ! У„„ш — »Ое / е'ШФ„'(г,)Фе(г,) 4'Ч лом 72я» и после интегрирования по Ч, прнволяшего к 4-функции б(г,), получаем ь„„= — »Ор Ф„'(О) Фе(0).
2к 3 (3) Теперь легко нахолим угловое распределение вылетающего электрона и полную вероятность сга вылета (и слимицу времени) 8' 4 — = — д(с),!'(Ф;(0)Ф,(0)!', = — Л!»2,!»!Ф„'(0)Ф,(0)(' лй 9 9 (4) (изотропнмй характер распределение йшгий очевиден заранее из соображений симметрии). С учетом наличия а атоме двух К-злак гранов вероятность рассматри пас мого ЕО-»»срехола равна шш = 2ы б частности, если вмлетаюший электрон является бмстрмм, Л 2» 8, то Ф„(0) ш (2»г)»»», и соответственно Глава 11.
Атомы и молекулы глс 1 В-! Й =--б 2 г, с г Н„= — — (ьл — —, 2 спи и г„' 1 ! Р= )г, — г„( В пренебрежении возмущением Р рассматриваемая система представляет аее независимые полсисгсмы: мюонную и электронную (с экранированным на саинипу варлаам ялра). Легка заметить, что расчет эффекта Ожс совершенно аналогичен расчету вероятности пнутрсиисп конверсии, см. 11 68, так как формально можно рассматривать мюанную пол- систему как и(гра. Более того, фармульс, описывающие липольный (нли Р-) эффект Ожс, получаются из формул зааачи 11,68 заменов е них В на 8 — ! и полстаноикол мюонных в, ф. начального и конечного состоянии вместо ядерных в ф.
Ф"сс. Вероятность его (в сдинику арсмсии) с учетом наличии лвух К-злсктронаа имеет аил 32 (К вЂ” !) с осте (2) 3 Ла Л' (сравнить с формулой (8) из $1.68), глс и — скорость вылетающего элсктрона, б,е — матричныл элемент липольнаго чомснта мюана В частности, лля мюонного перехода 2р -с 1з имеем (бсс! =,, и =-Вши (ЭссКтгпт) ' 4 с) а атомных елиинпах, т„= 207, и согласно (2) получаем ыг(2р (з) ш 4,6 $0п( — 1)'/л~ * ', сравнить с вероятностью излучения фотона ы„„м $,3 !Оп В~ с '.
В заключение отметим, что так как размер чюаннал орбитм ачс пт/Вш„, а размер орбиты К-элскгрона !/В, та условием принснссмости формулы (2) явлиетси неравенство п' « т„ы 200 (при этом вылетающий электрон яилистся быстрым). 18.71. То же, что и в предыдущей задаче, но для Ь( ж 0 (В-переходы Оже). Ограничиться случаем, когда орбитальный момент мюона в начальном и конечном состояниях равен нулю.
Рассмотреть, в частности, мюоиный переход 2з (з. Решение Если линольныл переход Ожс аналогичен пропсссу внугреннся конверсии при липольном переходе илра, см. 1! 68, то 8-переход Ожс а случае, когда мюон имеет орбитааьпыя момент ( = 0 и а начальном и в калечном состояниях, является аналогом конверсии при ЛО-псрсхолс в хллс, см. ! $.69. Точна так же, как решение прсдыаушсп задачи вубл провала рсспснис $1.68, решение ленная задачи лублирует 11 69.
11.70. найти вероятность выбрасывания К-электрона в результате эффекта Олсе в мезоатоме (при этом находящийся в возбужденном состоянии Р -мюон пврекодит на более низкий уровень, передавая энергию электрону). Ограничиться рассмотрением дипольного, ипи гак называемого Р-перехода Ожв, при котором изменение орбитального момента мюона ((3(( = 1. При проведении расчетов считать размеры мюоннод орбиты много меньшими электронных и электроны в конечном состоянии— свободными. Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2р -с 1з.
Решение Гамильтониан системы, состоишся из мюона и электрона (прслставлаюшега олин из злсктроноа К-оболочки), находящихся а кулаиоаско» поле ядра с зарялон Б, имеет вил г 1 К й=- — д„- — --(3,— — +— (1) 2пси " гл 2 ' г, (г, — г„) Так как размер мюонная арбитм много меньше электронной (гп„= 20(т„а ралиус Бара е„ст пт ), то этот гамильтониан естественно записать в виде й=й„+Й,е У, 105 б 5. Неся)оционарные лбленил 5 о)помньсл системах Вероятность рассл<атривасмого перехода (с учетом налячия дяух К-электронов) описывается выражениями лз(«<з «)3) = (Я 1) ь </в(, !<)е = / Ф„<еь(гл)гьеюю(гл)ы <ю (1) сравнить с формулами (5) и (2» из 1! 69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
