Galitskii-2 (1185112), страница 46
Текст из файла (страница 46)
!3.19 Значение чптсгралл е выражении (2) сн. а (33, с 206) Отметим также,что зля и > 2 барнаескос приближение неприменимо. 13.26. Показать, что при больших значениях энергии и момента, когда йЛ !» 1, борновское выражение (Хйй!2) для фазового сдвига переходит в квазиклассическое (ХВ1.14). Глава $3. Сталкнобення честим $66 лля функции бесселя, т.е. асимптотикой ,'см. (ЗЗ, с. 977)) .7„( — ) ш ~/ — соз ~игд/3 — /уи — -), н Ъ 1. т,соз/$) )г ее ад 4)' б, (й) ш— а нг / гУ(г) б (2) Л'й l /,:;т а Мы ограничились здесь аклалом е б, лишь второго из указанных аышс иитегралоя, тяк как а яклад пераого пренебрежимо маа.
Его малость саязана с тем, что при $ зз 1 функция .!„(х) быстро (экспоненциально) убыааст с умснынснисм х от значения * = ш Такое убыеание 2„(х) — прояеление обычного убыюнин кяазиклассической функции а глубь барьера (а данном случае — центробежного барьера; нспосрсдстаенно оно видно из аналогичной (1) асимптотики, но уже при х < и). По форме (2) соапедаст с изасстным каазиклассическим еыраженисм (Х11!.14) для фазоаого сдвига а случае (У(г)( « д (е то время как испол ьзоаанне борноаского приближения предпояагаст аыполнение более жесткого услояил (У(г)( « Ле/г, при этом (бэ( « 1).
Согласно (2) зависимость фазового сленга от ! и й (е наибоыс сушсстаснной области этих параметроа) апределяетсп выражением бг(й)= —, з= д(з) ! + 1/2 й ' й (3) где функция д(з) зависит от конкретного аида потенциала При этом а услоаиях применимости борноеского приближения па фориуле (Х11!.9), заменяи а ней суммирование по ! интегрироаанисм, приходим к изасстному результату е ог 1/8 при о оо (для короткодсйстауюшик потенциалоа). 5 3. Низкознергетическое рассеяние.
Резонансные явления лри рассеянии 13.27. Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния о(В) а поле, спадающем на больших расстояниях по закону У(г) ш а/г", г оо, 2 < н ь 3 при энергии частицы Е О. Решеное. Для потенцншюа с рассматриаасмым поаеденисм на боаьшнх расстоиниях борноаскан амплитула при значснипх д О расхолнтсх так как д = 2йзш(е/2), то прн д О пборноаском приближении булет расходиться н полное сечение рассеяния (при этом д О для всех углоп рассеяния). Расхолимость сечения рассеяния означает, что я залаче станоаятсп сушсстпенными большие расстонния, на которых еьчюлнены услоеия (Х111.7), так что использоиание борноаского приближсния лсйсгаительно опраядано При этом согласно (ХП! 12) имеем 2ша Г оп* /(д) — — — ) — „бх (1) Л'д-" ) хчн гл (ограиичиоаясь рассмотрением лишь расходящихся частей амплитуды и полного сечения рассеянии, аклы конечных расстояний г < 2$, иа которых потенциал не описыяаетса сесеи асимптотикой, нс обсуждаем).
При и < 3 а ныражснии (1) можно положить нижний прелел интегрировании д)$ = О и получить С„ /= —" (2) д егпп С,=, Л Г($ — 1) соз (яи/2) При этом и = ! + 1/2, а и/соз/$ = йг, так что и В $7 = й~/г~ — ге!. После замены быстро осциллируюшсго множителя соя !(.. ) под интегралом его средним значением, раанмм 1/2, получаем 1бу б 3. Нигкоэнергетическое рассеяние воспользовавшись значением интеграла з»п е шг г яп (ки/2) —, Вх = Г(2 — и) яп — --— е" ' 2 Г(» — 1) зш еи' а При этом полное сечение рассеяния (д» = 24»(1 — созВ)) 1 а=2»г/! / япВВВ ш 2яС„~ — ) 3! — ж — сс.
(3) л-е ~ 4п»Е/ / (! — з)» " Е» " е Для случая и = 3 заменять нижний предел интегрирования в (1) нулем нельзя из-за расходимости интеграла. Так как яп е м е при е О, то расходяшаяся часть интеграла равна 1п (1/ОН), так что 2гпо /= — »»пеН, (4) а полное сечение расасяния Г4 'о' 16 'о' е= //'Айш// —,»п'йНВП= — »и'ВН со д д (5) (при вычислении расходяшейся. »х Ь й, части сечения можно положить 1пеН м 1п ЕН; нсопрсдс.»енность в значении Н характеризует логарифмическую точность формул (4) и (5)).
13.28. Найти зависимость от й фазовых сдвигов 61(й) для медленных частиц и обсудить разложение эффективного радиуса в борновском приближении, При каких ограничениях на убывание потенциала на больших расстояниях справвдлиео разложение (Х1й.15), т.
е. можно ввести параметры иизкознергетического рассеяния — длину рассепния а» и эффективнь»й радиус взаимодействия 㻠— с моментом (? решение. При к О аргумент х = йг функции бесселя в выражении (ХП1.12) мал и, вообшс говоря, можно воспачьзоааться известным разложением .Цх) при е О. Оставляя лишь первые два члена разложения 1, получаем 6»в(д) яд м(А»+В,!г» 4...] сг !гп ', (1) здесь А» = с / 2»(»)г Аг, В, = - — ~ Г/(г)г Аг, с, =- иг» с» / вм :гт 2!+3 г 2»' " Г'(! + 3/2)й» вЂ” (2) а в Имен в виду разложение эффсктииного радиуса (Х!11!5) и учитывая чаашнь фазового сдвига в борновском приближении, находим а, =-Аи г, =-2ВА, а а -» (3) Олним из условий применимости полученных результатов является достаточна быстрос убывание потенциала на больших расстояниях, обеспечивающее сколимост интегралов в выра:кениях (2).
Г!ри экспонснциальном убывании потенциала не возникает никаких ограничений дян всех зипчсиийи' !. Длх потенциалои со степенным убыванием, (/ м о/г", ситуация имая. Длх значений 1 < (и — 5)/2 интсгрыгы в (2) сходятся на верхнем пределе и понятии длины рассеяния а, и эффективного рааиуса г, по-прежнему определены. »Г»Овчсмвсеммс преобразования справедливы я при фиксированном «оис»наи значении 3, на 1» (вд) . по но»валяет слс.»ать»включение о фззоььо сльигзх ллх больших зиьчсчи»т мамонта: б» и (Вй/!)»'+'.
»Е» прч этом мяисичасть б» м в»»ы спразсллиеа и вля сильных патсипиалаа, к которым бариавскае приближение применима Глава 13. Столкнабенал частиц В случае (и — 5)/2 ( 1 < (и - 3)/2 второй их интегралов (2) расходится Прн этом рыложенис эффективного радиуса (Х)П 15) уже несправедливо, однако понятие длины рассеяния и зависимость б, - -а,йк" дли мешгенных частнп сохраняются. Наконец, ллл значения ! ) (и — 3)/2 нарушастси и зависимость б, ы й™ при й О. Ннзкознсргетическос рассеяние с произвольным моментом 1 в потенциалах со степенным «хвостом рассмотрено в двух следующих задачах, см также 13.27. 13.29. Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, У а/г", и > 2, найти зависимость от й фазовых сдвигов для медленных частиц с различными значениями момента 1.
Рассмотреть приложения полученных результатов к потенциалам, имеющим на больших расстояниях внд У ш а/г~ н У ш а/г~ (лоллризпционный потенциал, см. 11.49). Решение Для значений 1 < (и — 3)/2. как обычно (1, 5132), б, = А,йз'+'. В борновском приближении коэффициент Аг в этол зависимости получен в предыдущей задаче. В случае ! ) (и - 3)/2 заменять в формуле (ХП112) функцию бесселя ук(х) се первым, ы а", членом разложения, приводящим к зависимости б, сг йг'+', нельзя изиду позникноаения расходнмости интеграла. Теперь, разбив область интегрирования а (Х1П.12) на дэе: от г = О до г = Д и от и = 71 до г = оо (значение )1 таково, что прн г > )1 дзя потенциала можно использовать его асимптотическое выражение), зпмечаем, что вклад первой из абластся, пропорпианальныл й™, менее существен, чем вклад второй области.
Таким образом находим б, ю — — й" /г — „, .7гьггз(з) бк. (1) ья При значениях 1 > (и — 3)/2 здесь можно заменить нижний предел интегрировании нулем и получить (интеграл см. в (33, с. 706) ггша Г(и — 1)Г(1+ (3 — г )/2), д б,ш— Ьг 2" 'Г'(и/2)Г(1+ (и+ 1)/2) й (2) В случае 1 = (и — 3)/2 интеграл а выражении (1) при й -г О расходится иа нижнем предела Воспользовавшись разложением /к(х) при и О, легко найти расхопяшуюся часть интеграла и значение фазового сдвига кгла б, ы 2згмГт(!+3/2) й 1пйД. (3) Сделаем даа заключитсльнык замечания.
1) Хата полученные результаты основаны на использовании варнавского приближения, агни на самом деле при и > 2 носят достаточна общий характер. Дедстаитспьно, в задаче сушесгиенны болыпис расстояния, на которык (У(г)( ч. й /гпг, так что потснпиал можно рассматривать «ак возмущение. 2) Ллл потенциала, прелста~икюшего суперпознцию сильного кораткодсдстауюшс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
