Galitskii-2 (1185112), страница 48
Текст из файла (страница 48)
когда (л) » 1. если потенциал иыеет резко выра:кенный радиус Я как для прямоугольной илн б-пмы (или соотаетствуюших барьероя), то нри этом ае ш Я, исключая лишь очень узкие области значений Л вблизи точекзь' Л„, см, выражения (1), (2). Подобна» ситуаяия сохраняется и в случае резко — эксноненцнально — спадаюших потенциалов из формулы (3) при !пэл » 1 имеем ес ш Я ьь ш 2Я !и эл, исключая близкие к нулям функции Бесселя /е(2Л) значения Л. отвечающие появлению новых связанных состояний. Отличие от предыдушего случая состоит лишь в слабой, логарифмической эаписимости Яюя от л.
которая ыожст быть получена из соотношения (ЩЯ„< )! = 62/пзЯ,зв. Для потенциалов со степенным убыванием, как видно из формулы (4), ситуация иная. Теперь ае(Л) является живой» функцией Л во всем интервале между точками Л„н Л4ы н выполажнванин зависимости ае(Л) не происхолит. б 3. Низкознергегличеснае рассеяние 573 из условия р(ге) = ! (лля чего удобно пыбрать точку эллнпсоида, лежащую на гюи врашен ля * = у =О, г = с) находим длину рассеяния — с+ з/с! — 6~1 ао — - е = 2т/сз - Ьз 1п с — чгс1 — ЬТ ~ (3) Отсюда в случае с = Ь имеем ае — — с и н = 4яс — известный результат аля рассепния медленных частиц непроницаемоа сферой радиуса Л = с Для сильно вытянугопг эллипсоида, с » Ь, формула (3) даст с 4ксз аз а(Е= О) ю (4) 1п (2с/Ь)' (1п (2с/6))з Зпметим, что обобщение на случая сплюснутого эллипсоиаа вращения, 6 > с, может быть получено с помощью внавитического продолжения длины рассеяния (3). Для этого, записав т/су — Ьт =1~/Р— с! ш нб воспользуемся соотношением 1 з г ° е 1п(сжив) = - Рз(с + ь ) ж(ашзб— 2 с Отсюда 2г агсгб — = 2т агссоз -, с Ь' с+!в о 1и — = 2г аюта - = с — ге с и для юлины рассеяния получаем (Ь > с) Ь вЂ” с (5) агссоз(с/6)' Положив здесь с = 0 и 6 = Я, приходим к длине рассешгня аэ = 2Д/к на непроницаемом диске рааиуса Л.
Решение. На конечных расстояниях каазиклассическое решение уравнения (1зб5) лля функ- ции « = тд(г) при значениях Е = 0 и 1 = 0 следует выбрать в виде С 1 1 «„„( ) = — ехрс-„- /1 !р) Н ~, Ф = Лг2шУ(г). Здесь оставпена лишь затухающая к началу координат кпюиклвссическал в ф. Пренебрежение возрастающей частью решения сооггктстнует учету граничного условия «(0) = О. Однако на больших расстояниях. прн г ш оо, имеем )р(г)! ш 1/гз 0 и чвазиклассика неприменима. Поэтому решение (Ц на больших расстояниях, где уже У ю а/г~, слелуст сшить с точным решением у Ш, аснмптотика коюрого «(г) м аь — г опршеляет двину рассеяния.
Такое точное решение имеет вид (см. 4.25). (аз г! Н) Г2та «шг[ — зб — — сь-~ нг ас — г, дш)/ —, г г~ — Л (2) згг Бслн О(г) — огрвннченныа потенциал, то в этом случае «м(0) хатх и отлично с г аулн, но экспоненинально мало. Такое нарушение граничного гелавнх прнвсент лишь к зкспоненанально малым погрешносшм в значениях н других величин. более сушестьснны поправки, свьзвннмс с отююнсннем аатенанава от его зснмптотнчссхого ьмражсння на больших расстохиннх, см. слевуюшую ззлачу 53.33. В квазиклассическом приближении найти длину рассеянмя ао для отталкиаательного потенциала, имеющего асимптотическое поведение У сз е/тч на больших расстояниях, Для иллюстрации полученного кваэиклассического результата применить его к потенциалам а! у = а(Лз + гз) з и б) у = а(П + г) 4, где Л > О, и сравнить с точным.
Глава 13. Сглолкнобенил частиц 124 /2та й (3) Этот результат вля потенциала, илгеюшего аид У = а/г' ао всем пространстве, совпадает с точпыьг Дпя указанных в услоаии потснцишюв точимо значении юлины рассеяния (см. 13.31г); с = 3/2та/йтдт = И/Л) /1 / а) аа = ВЯт — 1 сгь ~- кх/(т — 1 ), б) ор = Щ ( сгь ( — -) . (4) Квк и следовало ожидать, они при ( оо перехолят в (3). Олнако и дяя значений ( > 1 кяазнклассический результат не сильно отличается от точного. Для иллюстрацми привспеи таблицу, в которой представлено отношеггие г1 = ае „,/ар лл» ряля (.
Меньшая точность в случае б) связана с более сущестаеггной ролью каазиклвссическнк поправок. обусяоплснных отличием потенциала У(г') на больших расстояниях от его асимптотичсского иыражения а/г; см. по этому поводу следующую задачу. 13.34. В условиях предыдущей задачи найти квазиклассическую поправку к длине рассеяния, связанную с учетом следующего члена в разложении потенциала на больших расстояниях: У = аг '(1+ Ь/и+...). Решеное. Если потенциал У(г) отличается от а/г лишь на конечных расстояниях г < Я, то лла ( = 1//2шп/й дт » 1 отличие ав от кназикяассичеекого значения )/2гпп/й эксноненциальио мапо и находится за пределами точности «аазиклассического приближения. Если жс разность У(г) — и/г' отлична от нуля и прн г > В, то возникают степенные поправки по паралгегру 1/4 сх й.
Для определения первой такой поправки а случае, котла У(г') = (а/г~)(1 Ь Ь/г) при г со, иапо найти такое решение у Ш, на больших расстояниях, точность которого обеспечивает корректный у мт поправочного члена а асимптотике потенциала Это легко сделать, занятна, что с рассматриваемой точностью У = и/(г — Ь/4)", а вля такого потенциала уравнения Шрздингера допускает точное решение Оно очевидным образоьг (заьгсноя г на г — ь/4) ьюжет быть получено из формулы (2) прсаыдушей задачи и имеет вил т = — (г — -) екр (- ). При этом сразу опушено второе незаеисимгю решение у. Ш, экспоненциально растущее с уменыпсннем г, как этого требует огни евине (1) с кпвэикаассическим решением на конечных расстояниях.
По асимптотикс выражения (1) при г со получаем '-= ~Т(.,";.) Аналогичным обршом лля потенциала с асимптотикой а/ Ь, Ьз У(г) = -114- — + — +.. ) гт(, г гг (2) Си~иванне решений (1) и (2) может быть выполнено лишь в случае, сели а (2), как и а (1). на конечных расстояниях отсутствует Экспонеициально возрастающее к началу координат слагаемое. Отсюда находим значение длины рассеяния и каазиклассическоы приближении: 376 О 3.
Ниэкоэнергеглическое рассеяние еь, „= 22 [1п ( — э) + 26], (5) где 4 = 0,5772... — настоянная Эдггера. 13.3$. Для потенциала притюкения, У(г) <м О, имеющего степенное убывание У -а/и" с и > 3 набольших расстояниях, найти длину рассеяния пв в кввзнкласснческом приближении. Прн этом считать, что на малых расстояниях т -г О потенциал У а г Р и 0 < Д < 2. Чем примечательны значения параметров потенциала, при которых ео обращается в бесконечность7 Рассмо~реть приложения полученного результата к потенциалам и/У =: — а(г 1 Я) ' и б) У = -а(гэ + Нэ) ' и сравнить с точным решением.
Решение. На конечных растоггниях квазиклассическос решение у. Ш. (1У.5) лля Е = 0 и! = 0 ичсет вид (сравнить с 9.9) С /1 / Хм = гй(г) = — э1п [ — [ Р(г) дг и- 7), Р = — 2тУ(г), /р(г) (,Л / где значение параметра 7 зависит ог нида потенциала на малых расстолнинх; в случае У м -А/гл при г 0 имеен я/3 7= 4(2 — г3) На больших расстояниях р(г) 0 и кввзиклассика неприиенима Злесь, однако, учитывая внл потенциала У ы -а/г", можно получить точное рецгенне уравнении Шредингера. т = т/э [С Х (2зч а г 'г ') + Сгу,( 2г й г 'гн)], (2) где з и 1/(и — 2), а а = 2пта/Дэ Нв расстояниях г, для которых аргумент функции Бесселя велик, уже прниенимо кеазиклассическое приближение и наряду с вырвжсниг ы (2) справедливо и (1).
При этом, воспользоеаяшись асиь~птотикол фуикцил Бесселя 2„(з) при х оо, может быть найдена и следующая квазнклассичсская поправка х формуле (2), если заметить, что с рассматриваемая точностью его можно записать в ниде а 5 э ! У= гле Ьм — — Ьч Е = — Ь, — -Ьт. [(гч Ь)тл/2т]т' 4 ' 16 ' 2 Для такого потенциала решение у Ш. с Е = 0 может быть получено как в 4 25, после чего легко найти уточнение формулы (2): еь..
= ]/ — т [ 1 + + [86т - 56!) )- /2гла / ЛЬ, Дт (3) Л [, чг32ша 64гпа Учет кваэиклассических поправок сушсствснно увеличивает точность полтченного результата. Так, согласно формуле (3) вместо чисел, припаленных в таблице предмдушед задачи, теперь пояаляютсл соответственно. 0,786, 1,002, 1,0005. 1,0001 в случае а) и О, 0,931, 0,999, 0,99998 в случае 6). В заключение приьелем квазнклассическне выражения лля длины рассеянна еь а случае потенциалов отталкивания с другим асимптотическим поведением лри г со.
В случае степенной асимптотики У = (а/г )(1+ ь/г + .. ) с и > 3 можно получить Г[(н — 3)Дгг — 2)] / 2пта 1'Г!" 1 Ь Г[((и — 1)/(и — 2))] т,(и — 2)'Лт,l г ' где Г(г) — гамма-функция. При и 3 имеем ее „, оэ, что отражает то обстоятельство. что в потенциале У = а/гз сечение рассеяния частиц при Е г 0 обрашаетсл в бесконечность. Для потенциала с зкспонснциальным убыванием, У ы Уее Нл: 826 Глава 13. сглолкнобения иасглиц решение (2) можно преобразовать к виду /язй ( Г! 'Г Г! Г ез У == ~( — ~С, ип ~- ) Р 4 — — 9 -) + Ст юп ( - ) Ря»+ — + -) ~, (3) ')(р(г) ~ ' (,Ь) 2 ' 4) (,Ь) 2 4) ' (5) а) а1е 1„, = д6 с!8( 6) ее „, — — л( сгв ( 5,2 /' (8) где ( = йа/д.
Точное значение длины рассеяния равно, соответственно з! Г /(»+1'т а) ае м Д(( С!8( — 1), б) ае = ЯЬ/(1+ 1 Сгй ~Л вЂ” /1. 2 (9) Как видно, при ( со квазиклзссическос и тощее выражении для длины рассеяния совпадают. Их различие - 1/6 при конечных значениях ( связано с квазиклассичсскими поправками Вычисление таких поправок теперь более трудоемко, сравнить с 13.34, так как нсобхолимо учитывать следующее по Ь слагаемое в фазе волновой функции на конечных расстояниях (т е в области «иа»иклзссичиасти), см формулу (4611) в (1). Зтат запрос преапа~астся читателю Ллл самостоятельного исследования 13.36. Получить формулу теории Возмущений ло длине рассеяния для сдвига уровня с произвольным моментом ! а потенциале у/6(г) под влиянием короткодейстеующего потенциала (Гз(т) радиуса тз (обобщение результата 11.4 для ! ш 0).
Предполагается, что на малых расстояниях и < гз взаимодействие Г/6 является слабым. )Г/6)»к ь~/пттз~, тз м, тг и дгя рассматриваемых уровней Ьз м! ° Тачи ос решение ура еисми» Ш рьлгьи паз может бить па»учено с помощью лодстз иове к, аналогичны» испальзое»иньвг з 4 25 В), «! где р(г ) ж,/2та/г", и из условия совпааения иыражений (3) и (1) получить С, ап (т + яз/2+ я/4) 1 Г Г т = — ) 1/ — ЪтУ(т)4 +7, Сг зш (т — лз/2+ гг/4)' Ь ) е Далее, воспользовавшись разложением Гь,(з) при з 0 находим асимптотику реше- нил (2) на больших расстоиниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
