Galitskii-2 (1185112), страница 47
Текст из файла (страница 47)
го и слабого дальнодедствуюшего (со степенная асимптотикой) патенаиалаа, вообще говорим!, нх вклады а фазовый сдвиг адаитнвны, б, м б,, + б,, Прн этом для аномально малых й доминирующим будет аклвд аальнодедспгуюшсю потенциала, а длн не слишком малы к й — уже вклад карат кот ястеую шаго потенциала; ем. в связи с этим 13.37, а также 13,42. 13.30.
Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, У ш а/г", обсудить модификацию разложения эффективного радиуса (ХВБ!5) при орбитальном моменте частицы 1, удовлетворяющем условиям (и — 5)/2 ц 1 ( (и — 3)/2. 8 качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть з-рассеяние медленных частиц в потенциале, имеющем на больших расстояниях вид У гс а/гз. ]и Исключак скучая, катав а короткоыастауюшен патеиьиалс инсмся сссюкние с малая эксргиеа саван 369 9 3. Нигкознергетическое рассеяние Решение Имен ь зилу ре~вснии двух кредылущих задач.
нетрудно получить следующие разложения: зы ™ло „!' ! 1 в " '< « — 5 ь — 3 2~ ! б,+е,й ь м — — Л" // — </г,уз(е)- Лз л -1 < ' 2хыГз(1+ 3/2)) ' 2 Ае, — <1 < — (1) 2 В случае! = («-5)/2 в аналогичном (1) выражении нижний прслсл интегрирования равен ЛД и, вычисляя расходящуюся часть интеграла, находим б + а йвь' - — атом !п ЛД 2з'м(2! + 3)Гт(! + 3/2) (2) В частности, лля потенциала, имеющего иа больших расстояниях нид У щ а/г" (т. с. г = 4), при 1 = О, согласно формуле (!), получаем 2пьа з г ! Гнп в 1 2егпа 1 ба+пай — — Л / — < — — к Ае = — Л- Л е! е ) Зйз а При этом обобщение разложения эффективного радиуса (Х111.15) принимает вил ! 2хгла лс!Вба(л) ш — — л т т л.
аа 2Л'а', 13.31, Иайти длину рассеяния оа в потенциалах: (-Ус, г </2, ') У(')='(О, >Я, б) У(г) = -У Дб(г — Я)! б) У() = -Уое-'/": г) У(г) = -Уо < ! «- ( //2)') В) У(г) = Ус(Д/г)', Ув > О. Чем примечательны значения параметров потенциала, при которых дллна рассея- ния обращаетсл в бесконечность? Какова причина неаналитической зависимости ао(Ув) от параметра Уо при Ус О в случае г))7 Решение.
Для вычисления длины рассеянии оа следует найти ограниченное решение расиал ьного уравнения Шредингера с Д = О и 1 = О. Его асимптотикв за! оа ))л ь,л а - ! — — при г оз г апрелеллст значение аь. Решснил у. Ш, лля рассматриваемьш потснииалов обсужлахнсь а задачах главы 4, поэтом алесь ограничимся лнпгь некоторыми замсчвииамизз1, ниже у=где вл а и Л= 2глУадт/Л~.
и) Для прямоугольной потенциальной имы л Анп —, г<Д, х= Д г — аа* г>Д. З ! Таках асиматотика ьрслпслагаст более быстрое, чем и !/гз, убыюнис лстсиииала ив балывих Пасстоянинх зз! Используемое зля состояний Л с. граничное условие Ф!со) = О теперь, естественно, иг возникает. Глава 13. Столкнобання чосшцц 170 Из уи!опий непрерывности Х и Х а точке г = Н находим 1 а,= (1 !ВЛ)Д. А б) Длл б-сферического потенциала Сг, г<Д, Х= -(.', ао — г, г>Д. Сшиванис решения в точке г = Я, см. 4.В, даст Ат ао ю — — Я 1 — Лз (2) е) Для экспоненциального потенциала решение радиального уравнении Шредингера Х = уо(2Л)рго(а) — !Уо(2Л)Уо(е) гле а = 2Ле 'У'", уо н рте — фУнкции Бсссела и Неймана ПРи этом Учтено тРаничнос Условие Х(г = 0) = О, сравнить с 48 Тгк как при г со инеем я О, то, используя соотношения (7 = е С 1,7В1, б = 0,5772...
— настоянная Эйлера) хт 2 2б ,Уо(н) и 1 — —, Ого(а) ю †.Уе(а)(п — .!. — + — (1 — й)аз, )в( « 1, 4' я 2 к 2е по асимптотик» Х(г) накодим длину рассеяния зтД (2 ао = — ~- .Уо(2Л) (п "УЛ вЂ” йго(2Л)~, †,Уо(2Л) ° г) Для указанного потенциала решение у, Ш. имеет вид (сравнить с 4.25) уг дз / гА Фа=о,ые = Сз(1+ —, з!п ~(аю! — ~, ! где ( = т/1+ Л . По его асимптотикс находим у! ае =(До!В 1А- к().
'А2 (4) д) диалогично ре!пению зшшчи 4.25 находим волновую функцию ЛД) Фе оо о — Аехр(- г и длину рассеяния (5) 1 ао = (! — — Ш(Л))Д )Л( и описывает алину рассеяния иа потенциальном барьере В случае потенциала (У = а/го, а = (Уо)(г, зависимость ао от паРаме!Рг а (или (Го) Яеллетсе Уже невналитической, так как ао сс т/а. Такая нсаналитичность отражает су~цестяепно различный характер ш!пиния потенциала па частицу при палых значениях а > 0 и а < О, проявляющийся е возникновении Перехолп к обсужлснию получеппык рюультатов, прсжлс всего отметим су!нес!венное отличие карактера зависимости длины расселине ао от параметра Л ш чгйо цри (Уо 0 в случае д) по сравнению с другими случаями а)-г).
Согласно (1)-(4) а, при малых Л разлагается а рид по степеням Л н являетсн аналитической функцией параметра (Уо. При этом в записнмости от знака (Уо эти вмражсния определяют длину рассеяния либо а потенциале притижения (Уе > О, либо в потенциале отталкивания — при (Уо < О. Так, формула (1) при (Уо < 0 принимает еид $ 3. //изкаэкераетическае рассеяние ° падении на центр» и случае!»1 а < О. При зтоьл формула (5) несправедлива, так как использованное при ее выводе граничное условие Ф(0) = 0 уже не может бглть реализовано и требует модификации, сравнить с 9 14. Далее, формулы (1)-(4) отражают общий характер зависимости !шины рассеяния ае от параметров Г/е и 22 лля а, знакопостоплнюго (как функции г) регулярного потенциала вида ГГ(г) = -(/э/(и/Д), где /((з() > 0 (ллритяжение— при (/в > О, и отталкивание — при (Ге < 0) Качественный ее характер изображен на рис.
11. Здесь проваляются следующие закономерности, )) При )Л)' «1 (« слабый потснциая) алина рассеяния (/,22 также мела, так как !ае( (Л(зД и, Д. Записав ае = -ЕЛ~Я соглпсно (1) — (4) находим знлченна параметра Р, равные соответстиенно 1/3, 1, 2, »г/4 Зти результаты могут быть получе. нм непосредственно по формуле Варнавского приближения Рис,!1 ае = -/'(Е = 0) = —, / ГГ(г) ЫУ, при этом знак длины рассеяния совпадает со энакоь! потенциала. 2) При увеличении !Л!з величина длины рассеяния также возрастает.
При этом зависимость аэ от (Ге является чонотоиной, кроме исключимаеьлых значений Л„параметра Л в случае притяжения, при которых длина рассеяния ае обращается в бесконечность. Такис значения Л„отвечают условию возникновения в потенциале попого свяэалл»лого состоянии с моментом ! = 0 по мере углубления ямы !!1. Действительно, асим итоги ка волновой функции при г со в момент появления связанного состояния имеет вид Фл е сс 1/г (а не С, + С,/г, как а общем случае, сравнить с 4 25), что и соответствует длине рассеяния аь = со.
Покажем монотонность изменения аь с изменением (Ге в случае згакопостояннот потенциала. Запишем два уравнения Шредингера; г' и Л х" = --Г (ге/( — ) хм х" = — — (Г/е+ б(г)/( — ) х 'хд/ при зиа'»синях Е = О и ! = О. Граничные условия имеют вид Хе(0) = Х(0) =- О, а асиыптотика решений при и со соответственно хв = ае — г и х = а — г, причеч а = аз+ бае (бае определяет изменение !шины з-рассеяния при изменении лотенцизла на -б(/э/). Умножая первое из уравнений на Х, второе — на Хе, почленио вычитан их друг иэ друга и интелрирул по и в пределак от 0 до со, получаем бае (ХХе ХэХ)(е — зб(ге/ /(д/Ха(г)бг.
» В интеграле положено, Х Хь, что имеет место авилу прелполагаемой малости б(уе 0 и условия аа Р со; лри этом бае также мало, причем бас/б(/е < О, ч"о и показывает монотонность зависимости а~((/е). 3) Наряду со значениями Л, близкими к Л„, для которых длина рассеяния аномально велика (резонансное рассеяние), существуют и такие значения Л„параметра Л, при которых, наоборот, аэ = О. Так, в случае прямоугольной ямы согласно (1) зто имеет место при условии 3 !В Л„= Л„.
Для таких значений Л„параметров потенциала сечение рассеяния а = 4яае частиц с энергией Е = 0 обращается в нуль. Соответственно при значениях Л, близких к Л„, сечение рассеяния мсллснных частиц, ЛД « 1. может быть аномально малым, что и проявляется в эффекюе Рамзлуэра — Таукггнда. Подчеркнем, что отмеченная малость сечения рассеяния, мг Сравнить с эиыюгичиым сеойстэоч фаз рассеяния бл в случае потенциала лритллеиия и = -!а(/г, з следующим из формулы (1) з»лечи !3!9, «огла лри 2ю1а(/Л! = (!+1/2) возникает падение ив центр ластииы с моментом 1. ЗИ В случае б-хмы лри ее углублении лоха»летая только олна связанное еостолиш. с моментом ! = О ири значении параметре Л > Лз = 1, сн. (2) Глава 13.
Слголкнобения чосшиц 1?2 13,32. Найти длину рассеяния н сечение рассеяния медленных частиц непроницаемым эллипсоидом, т.е. в потенциале 2+„2 2 +сэ ~! 62 эд +уз в2 О, 2 ф — >!. 62 Е/(г) = с>Ь Специально обсудить предельные случаи с ш Ь и с » Ь. Решение. Зава га сводится к решению уравнения Шредингера с энея~ней В = О, принимаюшего вид йф(г) = О, с граничным условием Ф(гв) = О на поверхности эллипсоида н аснмптотнкой решения Ф ю 1 — ое/т на больших расстояниях, определяюшсй азину рассеяния з'! ае = -/(Я = О). 22яя функции р(г) = 1 — Ф уравнение, граничное и асимптотическое условия принимают вид 23!я = О, ы(ге) = 1, о ш — при т оо. ее (!) Согласно соотгюшениям (!) функциюр(г) можнорассматриватькакэлектростатический потенциал заряженного эллипсоида врашения (ось врашення — ось х), принимающий на его поверхности значение ре — — 1, при эгон е = аз — заряд эллипсоида.
Так как е = Срз, где С— емкость проводника, то длина рассеяния частиц на непроницаеном эллипсоиде численно равна электростатической емкости проводника такой же формы н'. Решение электростатической задачи (1) для аьнянутого эллнпсоила крашения известно и имеет вил (при с > Ь) е х + 4с~ — ЬУ+ [[е ч- ~/с~ — 62) + вз ь у~] ы(г) = !п 2~/д -ь з т/к~ — 624- [[з-43-ь') +в'+у [г! (2) (оно может быть получено методом иэображений.' потенциал такого проводяшего эллнпсоида арашения совпадает с потенциалом равномерно заряженного отрезка, концы которого находятся н фокусах эллипсонда с координатами в = у = О, х = жз/с - 662) Определяя с зь!Зтч узкнс пвлзст» ншючзют н точки л„кзк вчанс чз (1) ч (3), алх быстро спаааюмчх потенциалов Л„и Л свлнжаютсч при п сс; ввх степенного всмнцчзлз — см. (4) — это замечание нссправеатчео.
зг! Подчеркнем, что в пределе нулевой энергии рассеяние частиц яваястся иютропнын лаже в случае нечентральнсгс корсткалеясгвуюшсгс езвимсасастянх Зтз Соотношенве ае = С справедлив лля непроннцаенсго тела произвольной форнм В частнсстч прч рассеяньи истчц на непраницаемон лиске раечгса Я сечение рассеяния я(е = о) = (16/я)Я (емкость лиска С .= 2Я/ь) я < яЯЛ, ыешннных частиц в сильноы короткодсйствуюшсм потенциале радиуса Я может возникать тшшко е том случае, если ои имеет притягиваюший характер. Наконец, отметин слелуюшую закочомерность для длины рассеяния в случае очень сильного потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
