Galitskii-2 (1185112), страница 49
Текст из файла (страница 49)
С . С д(г) ш — (з»/а )' + ~(з'/6) 'г, г со, Г(1 Ч- з) Г(1 — з) и так как при этом т м г — ае, то с учетом соотношения (4) приходим к искомому киазиклассическому выршкению для длины рассеяния; Г(1 — з) мп(т+хз/24-я/4)/ /2гла тт' аз (6) Г(1.ьз) жп(т — яз/2+х/4)», У Ьз ) Значения параметров потенциала, при которых длина рассеяния обращается в беско- нечность, соответствуют такой ситуации, когда при углублении потенциальной ямы в ней появляется новое по счету состояние дискретного спектра. Согласно формулам (6), (4) это имеет место «ри выполнении условия (! = О) — ) 3/-2 ГГ( ) дг = ( !у и.
— + — — —, (2) Ь) 3/ 4(2 — )3) 2(1 — 2) 4) ' з гас Ьг = 1,2, — порядковый номер гояиляюшегося связанного состояния; сравнить с 9.9. Для указанных в условии потенциалов инеем и = 4, з = 1/2, 2 = Д = 0 н по формуле (6) получас»5 б 3. Низкознергвтическов рпссеяние !27 Решение. Воспользуемся присном, описанным а 11.4.
Исходим из выражения для сдвига уровня обычной теории возмущений по потенв)алу Уз(г): /ЗЕм) = Уз(г) = / Уз(г)(Ф„, (г)( ИИ (1> Учитывая, что на сушестпеним к в интеграле малых расстояниях (в области локализации Уз(г)) для нев)юмущенной волновой функции справедливо разложение Ф„)„(г) = Вм)(г)У)м(а), Вм)(г) и Я„,)г при г О, !5) выразим инте)рвп в выражении (1) через юлину рассеяния с моментом 1 на потенциале Уз(г) в борновском приближении (см.
13.28) в я)н )м) ( е, = — г Уз() ) Дг. 2)мор)(! - 3/2)й) ./ е Заменял, наконец, е, на точную ллину рассеяния а, в короткодействующэь) потенпиве ио ле Уз(г) приходим к искомой формуле теории возмущений по длине рассеянии лля сдвига уровня; !5) — (2!ч-!) й - (,, !5) с,) (д) и (3) (см. (1, 8143>; подчеркнем, что наличие лальнодействуюшего потенциала может существенно изменить сечение реакций )шя исдленных частиц, см. слспущщую задачу) 3) Как отмечалось в 11.4, в случае момента ! = О при нарушении неравенстве (ее ! «гь !5) формула (2) неприменима При этом возможны большие сленги з-уровней и дальнодей- стеуюшсм потенциале — перестройка спектра, см. также 93.
В случае ! Ф О ситуация иная и больших сдвигов уровней не позпикает, что связано с наличием мщюпронинаемого центробежного барьера. Однако е случае большой длины рассеяния, (е! )( Ъ г)'+', когда в по- те)шпале Уз(г) имеетсн мелкий уровень с моментом 1, формула (2) требует модификации. /Ете выполнения се заметим, что решение у.
Ш. в потенциале Уз(г) дяя медленных частиц, багз «1, на расстояниях г, «г «Д ', гс имеет вид (1, 8 132> Вм щ С~с ч-В)(Д) —,,1, (4) где В '- дкы 1 г!" » ,)„(,>„й '188) (й). йэ СЗЕ„.) = — ((2!+1))!)'д„'ис,") (2) 2ке (здесь использовано, что 2'+'Г(1+ 3/2) =. Угс (21 + 1)"; заметим также, что для эсостояиий )2'„,ш» ф'(О)). Сделаем несколько замечаний в отношении формулы (2). 1) Так как, вообще говоря, е, сс г)зы', в ))м) сс гс)' ', то с увеличением ! сленги уровней быстро уменьшаются, сс (гз/гс))', что связано с уменьшением проницаемости центробежного барьера, разделяющего коротко- и дальнодействующие области потенциала.
2) Если с коротковейс)вующим взаимодействием связана возможность протекания неупругик процессов (как, наприыер, аннигилнция е пионы за счет лдерного взаимодействия ляя рр алронного атоь)а, см. также 1! 74), то у ллины рассеянна е! ) появляется мнимая часть. !5) Соответственно теперь ЬЕм) описывает не только сдвиг, но н уширенис уровня, который становится уже кваэистацнонарным с конечным нременем жизни Заметим, что возникающая ширина уровня Г,) = -2)щ гЗЕ„,) ск!п) е, !н чожет быть спязана с сечением неупругого рассеяния (с сечением реакций) и„, в парциальной м) волне с моментом ! эа счет коротксдействуюшего взаимодействия лля медаейных частиц, так как Глава 13. Столккобсния частиц 178 о, (5) в котороы, пообшс говоря, можно положить Е = Е( ) .
При этом дая значений ! ~ О нсзависн(э) мо от величины о, второе, сингуларнос слагаемое (х !/г'ь ) е выражении (4) при переходе ь область расстояний г - гь оказывается малым. что и требуется дая обоснования справедливости формул (2), (5) и соответствующей модификации выражения для сдвига уровня г (2Е„,= -[(2!+ !)!)] (7,( — „, —, Е„,) ! а, (6) 4) Существенность условия ! Р> О для справедливости выражения (6) в резонансном случае связана с большой величиной при этом эффективного радиуса, так как г,' сс гз " (см. (3.44), обеспечивающей малость сдвига уровня Указанная замена Е = Е(), в формулах (5), (6) не оправдана ли>пь в случае, котла Е5 (Е> (5) (0) (О и, (7) (э> физическая выделен ность которого определяется тем, что Ез( описы ласт уровсн ь с моментом 1, сушествуюп(ий в изолироваином потенчнале Уз(г).
Таким образом, в условияк выполнения соотношения (7) з системс имеются лш близких уровня, связаннмх как с дальнодсйствуюшим, так и короткодействуюшим потенциалами Нс делая в формуле (6) заменм Е иа д„. ! получаем уравнение для узЕч! = Š— Е „решение которого (э> й) 1 Уг) 2 ' ' ' ' [г!' '[ даст энергии этих уровней с учетом пх ээаимодсйствия. Как видно, оно носит характер каазилгРсссчелчЯ юеРмоэ, сРавнить с [1, $79[. В слУчае лз э ечл пеРвый из коРией (8) .(и (э) описыаает сь>ешсние вперх невозмущснного уровня еэ а потсиииале Уз(г) поа влиянием (э) ЛаЛЬНОДЕйетВУЮЩЕГО НОтеииназа Уз(>), а ВтОРОй — СМЕЩЕИИЕ УРОВНЯ Ечи аОЛ ВЛИПНИЕМ ° 2) и> короткодействуюшего венгра Уз(! ) (он смещен вниз) В случае Ез( > < Е(И,, наоборот, уже Е, отаечаег смещенному, причем вверх, уровню Е и (э! э'! Нчжс й = г» = !.
так что Е = Э>72. Заметлм. по выражение (4) можно рэсснэтриээть «эк еэос. образное граничное услоеис на иаэых расстояниях к у Ц) с пстснчиалоч Уь(г), связанное с включением карстколслстауюшсго погеччкала уз(г) сравнить с 1(4 Однако а случае 1 и О в нем нсвоэчожсн персхол к прсшлу ° - О из.за эозиикноэеикя рэсходкмссти корнчроэочиош нитсгрэлэ (так кэк он льет ф и (75 ', иа мшых расстояниях г < г, э ф сояпэдэсг с в ф я коротксасйствгюшэн потснииэ! ° \ ле) В случае же ! = О иредса г, = О эозможси и ссотаетствучт нолслироааиию коротколсяствуюшего >кпчнииэлэ потэнчяэлом нулевою рэлнусэ, сч 4 )О ° 2) Строго говоря, прч зточ зослронзвоэчтся лишь часта пчвипч сэягаииа» с зсасп>нем лотснпиала Уь( ° ) на больших, г 2 г„расстоянию. Влияние У( на малых расстокнччх иа сдвиг уровня е (э1 прояюястся в так называемой ргчэрм 55 к пэрачетроэ а,, г, .
так, сслк Ус(г) Уэ лля г < гз, (5) (5> то более ишно ымсичть Е э 4юрмузе (5) ча Š— Уэ Такая шмона соотштстауст чсренорнкроэкс ючны рассеяния, т.с, замене я на а,, причсч (/э! = ((а! +г, уэ. эф4икшвныи рэлиус лр» зто» Ш) (55> Шс> (5) (5> не псрскорнир>что», си также (3 42. Нерезонанснол(у случаю, когда л, < гз, отвечает замена Д ' с(86, на — !/а>, приво- (5> 2>г! г(,! РО (Н ллшая к формуле (2) для сленга уровня (при этом се формальное обоснование может быть получено, как и в ) ! 4 для момента ! = 0).
Обобщение этой формулм на резонансный случай с учетом разложения эффективного радиуса (Х1Н,!5) получается заменой а( множителем '> (5] эн 5 3. Ниэкоэнергетическое рассеяние Облупим вопрос о виле саяновых функций в условиях кшзнпсрсссчения уровней.
При не слишком близких значениях оз и Е, в случае Ет > Еы, первому нз уровней в (В) )а> (ю>, м со отвечает в.ф ш Фэ, локализованная на малых, г < гг, расстояниях, а второму — в. ф ш Фг и Гй (а> локализованная ивболывих, г>гх, расстояниях В случае Ет < Е, сопоставляемыс уровням (о> (т> волн овыс функ пни ( в существенной области лаках изаци и) меняются и сств ч и. В случае жс (т) р) точного резонанса, Е ' = Е„' ',, частица в обоих состояниях 1 и 2 с одинаковой веронтностью, равной 1/2, нахолнтся как в области локализации связанного состолния в пэтенциалс Уз(г) (при г < гт), так и а области г гт, В.ф.
соответствующих состоян«й, одинаковые при г < гт, отличаются знаком в области г Ъ г„что обсспсчинаст их ортогснальность Решение. Для решения данной задачи иожно воспользоваться приемом, аналогнчнмм исполюованномг в предыдущей: найти изменение Ьб~ фазы по теории возиуа(сний, выразить (5) сто через длину рассеяния на короткодсйствуюшсм потенциале в борновском приближении и затем заменить ее на точную ллнну рассеяния е, в *сильномь пагснаиале Ут(г].
(5) Формальное обоснование такого полкода может быть получено как и в ! !.4. ((яя определения сдвига ))сб> пол влнлнисм Уз(г) по теории возмущений запишем дпв (т) у Ш. дпя равиавьных волновых функций, Фть„= ХцУ, /г, непрсрывиога спектра (в>" Г, (((+ !) 2)п 3 (в> Г ) (((+ 1) 2ш Хи+ (Д вЂ” — — — (Уз(г) +Уз()))~Х» = О. г) Их решения, удоалетворяюшие граничному условию Х(О) = О, нл)еют следующие асимптотики на бол~ших расстояниях: — ип ~яг Я вЂ” 1п2вг — — (+б) г йо„ 2 г 14) (т)~ Хт, ш зш (йг ж — 1п 2яг — — (+ б + (зб Ляв 2 ' ) )' (г) причем для общности рассматривается случай, когда на больших расстояниях Ут м ФЯе~/г, ав = й'/пм'; см (1, $36) Умножая первое из уравнений (1) на Хы, второе — на Хи, почяснна вычитая и инта- Ю) грируя по г в пределах ат О яо оо, с учетом всимптатик (2) получаем йоп Ьб, = — — т / Ут(г)ли(г)ли (г) бг 2 / (и л' / ь (3) 13.37.
Потенциал представляет суперпозицию сильного короткодействующего потенциала Уз(г) радиуса гэ и дальиодейсгвующего Уь(г) радиуса гь,м гз, причем последний на расстояниях г < гз предполагается слабым: )Уа~ << й'/п)гзз. Считая известным решение уравнения Шредингера для потенциала Уь(г), найти изменение (3 б, фазового сдвига в этом потенциале под влиянием Уз а случае медленных (3> частиц, когда йгз « !. Выразить Ь б, через длину рассеяния о, е потенциале Уз. (5) (э> В каком случае фазовый сдвиг в поле У = Уз + Ув приближенно равен сумме фазовых сдвигов в потенциалах Уз и Ус в отдельности? Рассмотреть приложение полученного результата к дальнодействующему кулоновскому потенциалу.
)ВВ Глава 13. Сглоякнпбения часглиц Здесь можно заменить синус — сто аргументом, Хм — на Хы и. учитыиая коротксдспствур) юшид карактср потснцнала Уз, а такжс соотиошсннс Х, 1Зиг для г О, получить 1а1 ы| /Зб, м — — !Зи ~ г Уз(г) тв. 1г1 2т г / атз йзй в (4) Рассмотрим нскоторыс слсдствия формулы (5). 1) Заметим прежде ассго, что а случае Уь ш О имеем /яйг Хх = т/ — /мьц(йг) При этом !а 2 ((г!+1)1,]'* так что бьб1г! = -а1г1Ры (б) т с., как и следует, (б) совпапаст с фазой рассеяния б, на изолированном аотснциалс Уг(г). 1зг 2) Такая жс соотноцю лис, бьб) = б, и риал ижснно имеет место н в том случае, Ш) 1з! если даяьнодсдстнующия потснциал Ус(г) можно рассматривать как возмущение, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
