Galitskii-2 (1185112), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Решение. а) В пренебрежении эфбюктивным радиусам взаимодействия получаем (сравнить с 13.20 и 4 !О, а также с 13 40) л' 2!гаь(1) здесь Р = гп /2 — приведенная масса рп-системы б) Твк как кулаиовскае взаималейстние на малых расстояниях примерно на даа поряпка слабаа ядерного, то, на первый взгляп, следовало ожилюь, что отлична параметрон низкоэнергетическога рассеяния для рр-системм ат параметров Рп-систамы булет в пРеделах нескольких прааентав.
Эта лейстаитвльно так в атношанин значений эффекгнаных ралиусоа взаимодействия. Длины рассеяния различаются существенна: в 3 раза. Эта, однако, не означает сильнага нарушения измапичсскоя инвариантнасти ядерного взанмолействнп нуклонав, так как может ! Виртуальный характер травнх и знак аь(!) < в слелуют нз факта атаутстьнх реальнага сахюннага сасю»ннх. с очами зффектнвнага аахиуса гв(!1 схглуат г,„м = 67 кэв. Глава 13. СтолкноВения частиц быть объяснеью кулоьювским взаимолействием в рр-системе.
Дело в том, что в рп-системс имеется мелкий виртуальный уровень и ллина рассеяния велика (примерно а 20 раэ бовьше радиуса взаимодействия!), а а таких условиях она является резкой функцией параметров потенциала, см. 13 31, и сильно изменяется уже при небольшом иэлюнении потенциала (вьючной звлаче — за счет кулоновского вэзнмолействил). Приведем простую оценку рассматриваемого эффекта — леренармироеки длины рассеянии.
Запишем потенциал рп-взаимодействия в виде У„„= Уе(г) +бУ(г), где Уе(г) отвечает моменту появления связанного состояния; при этом бУ(г) > О, так как уровень в рп-систелье виртуальный. Для рр-системы, считая притоны точечными, имеем У = Уе + бУ + ет/г. Воспользовавшись теперь рсзультатпм задачи 4 21 лля глубины заяешнйя мелкого з-уровня, находим х = - — ) (бУ(г) + — ) Хе( ) б . л') [, г е Здесь Хе(г) — волновая функция (Х = гЯ) в момент возникновения уровня, нормированная условием уе(г) = 1 вне области лействии потенциала. Веркний прелсл интегрирования д ае=лт/плреьш29 10 'э см (иа бблыиих расстояниях вклад кулоновского взаимодействия учитывается уже независимым образом и представлен в амплитуде кулоновского рассеяния протонов).
Интеграл бУ(г) в выражении (1) определяет значение хр„(в обеих системах х < О, так как уровни — виртуальные) Для оценки интеграла с кулоновским потенциалом положим в исм Хеа(г) = 1. При этом из-за возникновения расходимости на нижнем пределе введем лобрезание на расстоянии г, ш ГО 'э сч (парилка радиуса лььсрььпгп пэвимодействия) Учитывая, наконец, соотноьисння х„, = 1/агл(1) и х, = 1/а~~(1), соьласно (1) получаем (2) ае(1) ес (1) ав 'лШ) (здесь вместо г, мы подставили эффективный радиус взаимодействия ге; подчеркнем, что имеюшаися неопределенность в значениях параметров б н г„для которых б/г,,'» 1, в окончательном результате (2) «сглаживается» тем, что они входит пол лоьарифмом) Теперь нетрудно убедитьсл, что учет лслабого кудоноаскоьо взаимодействия протонов естественным образом объясняет существеннее разяичие длин рассеяния для рр- и рп-систем.
33ч43. Показать, что для эффективного радиуса взаимодействия ге, см. (Х111.15), справедливо выражение си го = 2~~(- +1) Хе(г)~ ь(г а гдв Хе(г) — Радиальная волновая функциЯ (Уе — — гДО] СОСтОянИя С! = 0 и Е = О, нормированная условием Уе(г) = (-г/па+ 1) при г оо (аа — длина рассеяния), Найти ге для непроницаемой сферы радиуса Я, а также для б-ямы, У(г) = -а б(г -Е), и прямоугольной ямы радиуса Д в момент возникновения а них связанных состояний, когда аа = со. Решение Обозначим через Хз и Х радиальные волновые функции для значений энергии Е = О н Е = йь«ь/2ьп Для них Хе-й()хешО Хи — [й() — «']ХшО; й= — „, У().
(1) Норльируем Хе(г) условием Хе(г) ш (1 - г/а,) двя г » В ( — радиус потенциала) Длл в ф Х(г) на расстояниях б « г « 1/!т имеем (сравнить с (1, $132)) у(г) = «сьвбе г[1+0(«г )] + [1+0(«г )], (» где 0(«ьгь) соответствует поправочныль членам в асильптотикс.
О 3. Нигкоэнергелгическае рассеяние !Об Умножая первое из уравнений (1) на Х, второе — на Хл, почленно вычитал одно из лругого и интегрируя а пределах ог О до значения г, длн которого справедливо разложение (2), получаем 1 ! 1 1 З; — (Ы„-Ь„')б =-- ей О(В П Л вЂ”, й —,Л! =В Г ( ) л()4. (3) луг 2 ал ' алз,! з' л а Здесь в левой части соотношения учтены указанные вылив аснмптотики волновых функаий, граничное условие Х(0) = 0 н разложение эффективного рааиуса (Х11115).
Интеграл справа преобразуем следующим образом. 1 1 3 /ХХлцг-/[Хе»( +1) ]ег=/[Хо ( +!) ] "г+ т „+г в л з (здесь использовано, что Х Хе, запись ж(-г!аз+1)' означает добавление и вычитание соответствующего слагаемого). В поалепнелл интеграле уже можно распространить интслрирование до бесконечности, после чего, оставлпя в выражении (3) лишь нс ывисяшие от г слагаемые, получаем ) ге = 2 / ~ (- — У 1) — Хв(г)] ф.
(4) 13А4. Показать, чта эффективный радиус взаимодействия г! в состоянии с ! ~ О, см. (ХВ1.15), в момент появления в потенциале связанного состояниям! равен 1 ! гл — — - 2 [(2! — 1)!!! где С! — нормировочный коэффициент в волновой функции с сл = О, прн этом Х!1~!(г) ш С, — при г -л ао и / (Х! (т)) йг ю 1. а Найти г! для б-ямы. !Этот случай наиболее интересен, твк кзк л атсттстлне а потеишлале мелкого трави» сллпммае с эффект»акын радиусам е (ХУИ 15) емстушет как мыля поправка. е для рассеяния иа непроницаемой сфере радиуса 2! имеем Хе = ! — гуВ при г > А и Хе = 0 при г < 3(; при этом длина рассеяния ае = 2! и согласно (4) находим эффективный радиус взаимолействия ге = '!3!. При ае —— сю из лыражения (4) следует известный резулыат для эффекгивного радиуса гл в момент возникновения з-уровня (1, й !33).
В частности, в этом случае для рассеяния на Л-яме имеем;Сл — — 1 при г > В и Хе = г!3! при г < 32, согласно (4) с ае = оа получаслл га = !'2! Для рассеяния на прямоугольной потенциальной яме г„= 2! — эффективный радиус одинаков в люмснт появления любого по счету связанного состояния (теперь при г < 2! в ф Хе ™ [» (", + 2) ~~], гле и, = 0,1,2,... в порядке палы!енин з-уровней при угяублсния ямы). Подчеркнем в заключение, что установленные для рассеяния на потснлиальных нмах сиойства зффектииного радиуса гл в момент возникновения связанного з-состояния: шличина гл 2! и знак ге > О являются достаточно общими зля потенаиалов притяжения лл(~ ) < 0; сравнить со случаем моментон ! ы 0 я 13.44, а также со случаем ! = 0 для лмы, окруженной потенциальным барьером, в 13 47 186 Глава 13. Стоякнобения частиц Решение.
Поступим как и при решении прелыду»цей мшачи, Учитывая, что теперь волновая »е! функция в момент возникновение уровня имеет иид Х» != С»г» при г » И, а также соотношение [ (2! — !)'!(2! +!)!! 1 й (сравнить, например, с 13.39), находим , С'Лпь Гдб ш»'21 Х Х»'б, 4< <— 1!»»ш 21 н й Отсюда, заменяя ввиду малости Л! а правой части Хн на Х! », распространяя интсгрироиание »л! яо бесконечности (в случае ! = 0 этого нельзя сделать аиилу расходимости интеграла на шрхнсм пределе) и используя соотношение ди»' с»вỠ— — г»в»/2 (так как с» = со в момент ноя»шенин связанного состояния), получаем » — 2!(2! !) 1»С, » ! > ! (1) !е! При этол»знз»синс С»олнознвчноонрслсяиетснуславнем нормировки ралиельнов в ф,Х1 иа».
Кзк вилно, теперь вотличие от случая з-рассеяния, эффективный рзпиус взаимояепствия отрицателен, г, ( 0 и па порялку величины )г,! Я~ т, где Я вЂ” рааиус потенциала (такого жс порядка и размер области локализации волновоп функции связанного состоянии с моментом ! ~ 0 и энср»ней Е = 0). 2(л* б-ямы в.ф. в момент возникновения связанного состояния с моментом ! имеет вид Сг', г>Я, »е! хг Из условия нормировки нахалим С»т и эффектианмл радиус взаимодействия 4(2! — 3)!!(2!+!)1! 21+ 3 В заклю ание аолчеркнем, что прп небольшом изченении потенциала эффективный радиус изменяется также незначительно. Поэтому значение г, в момент возникновения сиязаннаго состояния применимо и в случае, когпа уровень является мелким (реальным нли кеазнднскрег»»ым). 33АВ. Найти фазовый сдвиг бс(й) и сечение рассеяния медленных частиц: а) непроницаемой сферой радиуса Я; б) б-ямой, лу(г) = -а б(г — Я); д) прямоугольной ямой радиуса Я и глубины (Гс Воспользоваться разложением эффективного радиуса.
Решение и) У. !и. лля рвлнальноп функции х» = гЯ, в случае ! = О и его решение, ула»шегноряюшее»рани»ному условию х»(Я) м О, имеют вид х" +л'хе=о хе(г)=Аз 1л(г — Я)1. Отсюда фазе з-рассеяния бл(л) = -ЛЯ и сечение рассеяния медленных частиц, когда ЛЯ < 1, описывается вЫражением ими, е(л) = — нп блы4ЯЯ (1- -й Я ) 4»г !»г ! 1 3 -й! " (, 3 (напал»ним, что понранка к сечению, связанная с рассеянием в р-волне, гк й»; вклзл более нысокнх волн еше л»енес су»лествен) 187 8 3. Низкознергегпическае рассеяние Сшиванис решении в точке г = Е, см. 2.6, лает оД о, аз==, С=! —— о — 1 Я 2шаД а= —.
Л Если о не близко к 1, то (ае( < Я и лля медлсннык частиц а ш 4кезе (поправку порядка ЛтЕт к этому вырзжению можно найти, вычислив эффективный радиус ге согласно ! 3.43). Если же о близко к 1, тп (ве! » Д и сечение рассея ни» имеет резкую энергетическую зависимость, описываемую резонансной формулой (ХП1 16), при этом эффективный радиус в:анмодейстяия для 6-ямы в момент возникновения связанного з-состояния ге = 5Я, см. 13.43. Отвратим, что соотношение а ы 4вае! требует уточнения также при значениих параметра а, близких к 2! +! с ! > ! (когда е систеью появляется связанное состояние с орбитальным маме гтом !), ввиду резонансного характера рассеянии в 1-й парпиальной волне, см 13 46. е) Параметры низкознергетического рассеяния пз н гз лля прямоугольной потенпиальной ямы были найдены в 13 3! и 13 43. 13.46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
