Galitskii-2 (1185112), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рассмотреть рассеяние медленных частиц в парцнальной волне с моментом ! ~ О в потенциале У(г) = -аб(г — д). Специально обсудить случай резонансного рассеяния в условиях существования в потенциале квазистационарного состояния с малой энергией Кд Е Л /пз)21, найти его ширину Гд. 2 Решение. Как и в предыдущей задаче, воепальзуемся разложением эффективного радиуса (Х18.15) Длина рассеянии о ткм 2глоЕ е! =— Е", ом (1) (2! — 1)р(2! + 1)и 2! + 1 — о ' Лт была вычислена в 13 39. Пока а не близко к 2! +1, рассеяние в!-й парииальн зй волне носит персзоиаксный карактер, нри этом для мсахеннык частиц а, ю 4к(21-Ь 1)о,й~ и доминирую~ни» являстсн г-рассеяние.
Если жс а близко к 2! + 1, то в потенциале имеется мелкий реальные (при о > 2! + 1) или кеазкдкскремныйм' (в случае и < 21+ 1) уровень. При этом рассеяние носит резонансный характер и существен члсн с эфФективным ршгиусом, равным. согласно 13 44. ды?г гг ю -4(2! — 3)1г(21+ 1)'! —. (2) 21 + 3 Энергетический спектр системы опрспсляется полюсами парииальиой гмнлитуды рас.
сеяния /(Е) = !/Л(сгббг — г). В полкке Е, имеем с!64(Е,) ь и с помощью разложения эффективного радиуса (ХП115) ллн мелкихь уровней пплучаем уравнение (д„= - — + - г,йл. тм 1 ! ! (3) а, 2 В случае ! > ! величина невой части этого уравнения мзлз по сравнению с каждым яз слагаемых е правой мсти уравнении, так что его можно решать посхсдовательными чьг Так как! > 1; з.уровень при о < 1 «аььстск кчрту мьчин В случаях б) и е) также можно было бы найги бе(Л) из точного решения у.
Ш. Однако более просто рассснние медленных частил может быть рассмптрено нв осипхз разложении эффективного радиуса (Х18.!5). При этом параметры низкоэнергегического рассеяния и, и гг могут быть получены с помощью решения у. Ш. лля энергии Е = О, см. !3.31 и 13 43 для з-рассеяния 6) Решение у Ш. при Е = О и 1 = О имеет внд Глава 13. Сглолкноделил чосглиц итерациями В *нулевом приближении, пренебрегая левое частью в уравнении (3), получаем Я'' (2! — 1)(21 1- 3)(21 + ! — а) Л ЕлГШ ГС2 4(21 4- 1) из В 2 (4) Так как г, < О (лля 1 ) 1), то в случае в, > О (т.е.
лри о > 21 + 1) имеем Ел < О, так что уровень отгючает связанному состоянию н б-яме (сравнить с 4.9). при рассеянии меллснных частиц в этом случае /, ы (Е сгб 6,) 2, а соотвстствуюшсе парциальисе сечение рассеяния л» й»' пг(Е) = 4»г(21 + 1)(/1( ю 4»г(21+ 1)— п»1г2 (Е+ (Ел))2' (5) Гл — йл (СглВ) —, йл = - /2тЕл. 2б гьн 2» 2 гп(гг( гпВ2 Л (6) Заметим, что зм»иси ность Гл от Ел опрелсляется энергетической записи чостью коэффициента прохожлен ия центробежного барьера ь (С+ 1/2)г 2 ) С С + 1/г ) Га ос Суг ехр -2/С вЂ” Е'„й ехр Г -(21 4-1) 1и 2 сг (йлВ)'" гл ) Еад (Ь = (1+ 1/2)/Ел — каазиклассическая точка поворота), сравнить с 9 30.
Теперь парциальиос сечение рассеяния о2(Е) в узкой области, шиРиной Гл, энеРгий, близких к Е„, описывается выражением (21+ П Г'„ ег (Е Ел)2 1 Гг/4' (!) Как видно, оно пелико, пг Е„ Ъ В, и значительно превышает сечение рассеяния -2 1 в з-волне (пэ яВ ), так что полисе сечение е ы оь Вне этой области энергий, при (Е— г Е„( » Гк, сечение описываетсн аналогичным (5) выражением, с заменой в нем (Е+ (Ел()2 на (Š— Ел)', соответственно привеленная выше оценка сечения рассеяния при аг > О переносится и на рассматриваемый случай а, < О. 13.47. На примера модельной задачи: потенциальная яма глубины (/с и радиу- са В, окруженная б-барьером О(г) = об(т — В) (рис. 12), обсудить особенности резонансного рассеяния медленных частиц в з-состоянии, связанные с пали~нем малопроницаемого барьера" >, пгоВ/йз >> 1.
Укогоние. Воспользоыться разложением эффективного рааиуса, обсупив влияние малопро- нипасмого барьера на значение эффективного ралиуса взаимолействих ге. Решение. Дггя решения зааачи восполюуемся разложением эфбмктивногоралиуса и вычислим параметры ннзкоэисргстичсского рассеяния ае и ге Волнохая функция тс = где(г) гия для физических прилсхиииа особенно ни»спасен случай, кегль такой барьер евюьн с кулонохскни »2) отталкиаанкеи зьпюкеиных частик Охнеко ввиау иеалснного убмвзних кулоновскаго потенциала зпп.
случая требует спспихльисгс рассмотрения,см.(1, 5 138). как видно, ш гк (йВ)н2 '1В2, т.е. в этом случае резонансное сечение в 1-я парциальной волне по порялку величины совпадает с нерезонансным сечение»2 в более низкой парпиальноя волне с моментом, равнмм с — 1. Поэтоиу. кроме случая ! = 1, оно вносит малые вклад в полное сечение рассеяния. В случае аг < О (т е. лля значения о < 21+ 1, С > 1) ситуация иная. Теперь, согласно (4), Ел > О и леван часть уравнения (3) яалнстсн мнимой Слепующая итерапия позволяет получить мнимую часть полюса амплитуяы, Ег = Ел — СГл/2, опрелслвюшую ширину рассматриваемого квазистационарного состояния, 189 б 3. Низкознергаглическое россвлпиа значений Е = О и ! = О имеет вид (/(г) 1 Сз!пног, г ( В, ио — — „- т/2щ(/о, Хо(г) = 1 — —, г>В. ао' Из условий сшивания рещения в точке г м В, см 2.6, получаем В В /В Сз(лЛ=1 — —, — +ЛСсозд=а~ — — 1), (!) ао' ао ( ас где Л = иоВ и о = 2таВ/Д~.
Отсюда находим длину рассеяния Рис. 12 ( ц+Лс!ОЛ) (2) При выполнении неравенства а » 1 имеем, вообще говоря, ао м В, что соответствует длине рассеяния на непроницаемой сфере радиуса В (физически естественный результат авилу молод проницаемости барьера). Существенное отличие от рассеяния на непроницаемой сфере возникает при такой глубине ямы Уо, котла Л близко к «я с и = 1,2,.... Записав е этом случае Л = па + 2, где )у( < 1, получаем [ о + ля/у ~ (3) Как видно, когда Т м "/о,„= -ая/о, длина рассеяния уже велика, (ао! » В, и обращается в бесконечность при у =./к„.
Такие значении параметров потенциала саотыгтпяует появлению о системе уровни с эиергнед Е = О (и-го по счету) нри углублении ямы. В случае (ао( » В рассеяние медленных частиц носит резонансный характер. Вычислнч эфФективный радиус го. Согласно (1) при ао = ао имеем С м (-1)"+го/пя и по формуле дяя эффективного радиуса го в момент возникновения з-уровня о го — — 2 / (1- Хо(г)) дг, Хо = 1 при г оо о (сравнить с 13.43 для случая ао = оо), находим го=В(2 — С)ю-СВщ — ( — ) В. т /о'1' 1,пя/ (4) Теперь, в отличие от случая о-рассеяния ямой без барьера (котла го - В и го > О, см 13.43), эффективный радиус в момент возникновение связанного состонния велик, )го! » В, и отрицателен, го ( О. Это приводит к тому, что слагаемое с эффективным радиусом в (К!1115) является существенным'тт при описании резонанснпго з-рассщння.
Ситуация аналогична имеющеп место при рассеянии с отличнмм от нуля орбитюн,ным иоментом частицы, а физичсскан причина этого связана с наличием мююпроницаечого б-барьера, играющего при 1 = О такую жс роль, как и центробежный барьер при 1 Ф О Амплитуда резонансного рассеяния 1 / /о= (5) + -' г„дт - тй ' т т как и сечение Рассеанна, а щ 4Я!/о(, имеет РсзкУю энеРгстическУю зависимость, хаРактеР которой зависит от соотношения между тремя малыми параметрами МВ 4 1, В/(ао! < 1, В/(то! (( 1. Ограни ~имея анализом двух случаев.
от!Заметим, что саатноьмнне )го! Ъ й нчеет место лиям а условиях сушестваылна мелкого уровнн в системе Глава 13 Столкнобенал часглац 1) Если (ае( »!гв(, то вя г (Н),, !г+ 1гт! ° (6) 12 т Й! гг(Е) м 4з'~ — ) с=- — >О, пзгв (Е + с) таете (7) Аналогичной формулой (но уже с с ш -Ел < 0) онисываетсн сечение и в случае пе < О, исключая узкую область значений энергии'т! (Š— Ел! Гл, в которой Г'„ '' ц -.>".~ 2йзйл 2(пяй)гйл «ф т) тагЯ (8) (9) Параметры Ел и Гл опрслеляют положение и ширину кввзидискрстного уровня, существуюшега в системе в рассматриваемом случае; значение ширины связано с проницвемостью б-барьера. сравнить с предыдущей залачей, а также с !3.48 В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос а полюсах ам пли тулы рассеяния (5) и о связи энергетической зависимости сечения рассеяния (6)-(8) с характером уровня (реальный, виртуальный нли кввзнстапионариый).
13.48. Найти парциальную амплитуду з-рассеяния в потенциале У(г) = об(г — Н). В случае малой проницаемости б-барьера определить положения Ед „и ширины Гд „ нижних квазидискретных з-уровней (с Ер„„й~/гпН1). Сравнить сечения рассеяния на б- и непроницаемой сферах. Каково значение ГЛа(Е) разности этих сечений при энергии частиц, близкой к энергии квазидискретного уровня? Решенье У.Ш и его решение двя з-волны имеют внп 2гпа ( Атшйг, г' < Н, Хл — об( — Н)Х+ й Л = О, Н = — Х(г) =- ( Й! ' '((Иве -е- ), «> Н.
Из услопий сшивания а ф в тачке г = Н, см. 2 6, нахолим ьг, -тгл аНипйНЙЙНсоьггН+тггНяпйЯ блюе' =с аЯ з!и йН + йЯ соз ЙН вЂ” тйЯ ел йЯ При пыполнении условий аН Ъ 1 н йЯ ! (точнее, йН « аН), нз (1) имеем, вообще говоря, бл ш е "'". т с бе ш -йН, что соответствует рассеянию на непронипаемай сфере (см. 13.45). Специального рвссмотренин требует при этом случай таких энергий частицы, лля которых ЙН ю пх с и = 1, 2,..., и в выражении (1) нельзя зал~снять дробный сомножитель на 1. Записав ЙЯ = «к+ 7, с (.г! ч. 1, имеем одмл ЙН+ЙНсшйН вЂ” !ЙНмпйЯ ш (-!)'(аН7+ па — тпя7)- ш (-1)"(аН вЂ” !пя)(ЙЯ вЂ” э!я + Л + тЛ ), чз! ! В которая мгпествлинвл часть знлчснлтсл» в выражения 15) близка к нулю. так что сечение рассеяния (почти) не зависит ат знака длины рассеяния.
При этом в области значений й « 1/(ге( слагаемое с эффективным радиусам, как и в обычном случае з-рассеянна, выст упает как нанрпвкя; оно начинает играть сушсшвенную ролыгри Й > 1Дгь( 2) В случае (ал) ч< (гв( рассеяние существенно зависит от знака элины рассеяния. При этом для значений ав > О имеем (в знаменателе выражения (5) можно пренебречь слагаемым -тй) 191 9 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
