Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 92
Текст из файла (страница 92)
й 115. Симметричные и антисимметричные состояния Пусть Ч" (а„..., аь ..., др ..., ан, 1) есть волновая функция, описывающая состояние системы из А! одинаковых частиц. Тогда, если мы обменяем состояниями, скажем, й-ю н )-ю частицы, то получим новое, как следует нз теоремы (1!4.7), возможное состояние системы, описываемое волновой функцией 1 (ч! " %т " ць ., Чн, Г).
Принцип тождественностя частиц утверждает, что это новое состояние неотличимо от прежнего, т. е. Ч' и Ч' описывают фактически одно и то же состояние системы, Волновые функции, описывающие одно и то же физическое состояние, могут отличаться друг от друга только постоянным множителем. Следовательно, из принципа тождественности 1гл. Х!х спстгмы из одинлковых микпочхстиц вытекает, что Чп(Чп " )д ." 9м °" )л !) = =ЛЧ (д„..., д„, ..., д,, ..., о„(), где Л вЂ” некоторый постоянный множитель. Это равенство с помощью оператора перестановки может быть написано в виде Р„'Р= ЛЧ.
(115.1) В уравнении (115.1) слева на функцию действует оператор Р„, а справа стоит эта же функция, умноженная па число Л. Следователщю, уравнение (115.1) есть уравнение для собствешсых функций Ч' и собственных значений Л операторов перестановки Рхп Мы можем поэтому сказать, что условие (115,1), накладываеемое принципом тождественности на возможные состояния системы, заключается в том, что волновые функции Ч', описывающие состояние системы, должны быть собственными функциями операторов Ргц (для любых /г, 1).
Нетрудно определить, каковы этп собственные функции и собственные значения Л. Для этого применим к (115.1) еще раз оператор перестановки ЄРИмеем (115.2) Два раза применяемый оператор перестановки Р„~ не меняет функции Ч". Поэтому в (115.2) слева стоит просто Ч" (..., д„,... д;, ...), а справа в силу (115.1) РЧ'(..., гь, ..., д;, ...), так что (115.2) переписывается в виде Ч' = ЛтЧ', т. е. (115.3) Отсюда получаем собственные значения оператора перестановки Л = +. 1, (115.
4) а соответствующие собственные функции обладают в силу (115.1) следующими свойствамп: Р„,Ч~=+Ч~, Л=+1, (115.5) или Р,Ч"= — Ч', Л=- — 1, (115.6) т. с. собственпымп функциямн оператора перестановки Рц~ являются функции, которые при перестановке координат й-й частицы (д„) и Рй частицы (д,) либо не меняются (115.5), либо меняют свой знак ца противоположный (115.6). Первые функции симмстРпчныс и пнп!с1ы>метР11'1нь!е состоим!151 495 $ пз! (115.5) мы будем называть с и м и с т р н ч н ы и и, а вторые (115.6) а н т н с и и м е т р и ч и ы м и относительно псрестпнозкп частиц с померамп й н 1. Таким образом, возможные состоя1шя спстелна пз Л' одинаковых частиц должны о!шсыпаться воиновыми фупкцннмп Ч'(,)! ..., Ол,, дп ..., Он, (), которые либо ыепшот свой знак прп перестановке любой пары частиц (>е, 1), либо остаются нспзмеппымн.
Из соображений равноправности всех частиц нетрудно предвидеть, что возможные функции Ч" таковы, что о1ш либо симметричны во всех парах одинаковых частиц, либо аптпспмметрнчпы во всех парах частиц, так что не .чожг>п быть функций, которые в части частиц симметрачнь1, а в другой— анан!симмстрп!ны1). Окончательно из принципа то>кдсствепностн частиц следует, что возможны только два класса состояний для одинаковых чаетиц: Ра>тг. = Ч', (й, 1 — любые) (115.7) — симметричные во всех частицах и Ра)Ч>„=: — Ч', ()г, / — любые) (115 л8) — антисимметричные во всех частицах. Мы сейчас покажем, что переходов между этими состояниями быть 'не может: если в какой-то момент времени система находится в симметричном (Ч",) или антисимметричном (Ч',) состоянии, то она всегда находится в симметричном или соответственно аптисимметричном состоянии.
Для доказательства этого важного положения достаточно воспользоваться уравнением Шредингера и тем обстоятельством, что гамильтониан обязательно симметричен относительно одинаковых частиц. Уравнение Шредингера дчг И- — =НУ (115.9) нам удобно переписать в форме й,ч' =-,,',- Й уйти, (115. 10) Если встречаютси перестановки и того .и другого рода, то Чг=о. Действительно, пусть Ч' сим>летрична при перестановкс >! и й ! и !', но антисимметричиа при псрестановке 1 и 11.
Тогда имеем Ч (" т " Ч ° " Ч>' ")= — т(" Чю" СЛ " Ч> ")= =-'Ч(, . чр ..")=- (,' ..;,...)= = — Ч'(". т ",Чм "., Чр ") Отсюда 2Ч'(..., д,,, Ча, ..., ЧР ...)=О, т. с, '!'( ... Чь ..., ч>„ ..., Ч, ...) =-О. Подобным же образом проводится доказательство в прсдположс. нин, что две перестановки антпснмйстричны, а третьи спмиютри и!а. системы из одинаковых»шкеочлстиц !гл. х~х где А будет означать приращение волновой функции за время Ж. Допустим, что в момент времени !=0 Ч' есть симметричная функция координат частиц (Ч'=- Ч",), Тогда в силу симметрии Й величина ЙЧ', будет также симметричной функцией координат частиц, а следовательно, и приращение функции А'1' будет симметричной функцией от координат частиц. С помощью оператора перестановки эти рассуждения могут быть записаны так: Р»у (Й 1 5) й (~ » ' 1 ) =" ЙЧ отсюда с помощью (1!5.10) следует Р»/(А 1,5) =А !5 (!15.11) для всех пар й, 1.
Наше доказательство, таким образом, утверждает, что функция, симметричная в какой-то момент времени (! = 0), остается симметричной и в соседние моменты времени как в прошлые, так и будущие, ибо доказательство одинаково применимо и к 5!5 ) 0 и 5!5'(О, Следовательно, симметрия функции остается неизменной для всех моментов времени от 1= — со до !=+со. Совершенно аналогичным образом проводится соответствующее доказательство для антисимметрнчных функций. Пусть в момент (=О функция Ч', описывающая состояние системы, антисимметрична (Ч'= Ч",). Тогда Р»,Ж, = — Ч",. Далее, Р„,(ЙР.) =И(Р„Ч„)= — йЧ., из (1!5.10) тогда следует Р»! (АЧ".) = — АЧ'.. (115,12) т, е. приращение антисимметричной функции Ч", само антисимметрично.
Поэтому, если система находится в состоянии, описываемом антисимметричной функцией Ч'„, то она всегда остается в таком состоянии. Доказанная теорема показывает, что деление состояний на два класса носит «абсолютный» характер: если какая-либо система в какой-либо момент времени обнаружена в состоянии того или иного класса (Ч", нлп Ч"„), то она никогда пе перейдет из одного класса в другой. Такой переход невозможен, как бы мы ни меняли внешнее поле, так как всякое поле одинаково действует на одинаковые частицы, и, следовательно, при любом изменении внешнего поля гамильтониан остается симметричным.
Нам надлежит теперь решить вопрос о том, в каких случаях какую из двух возможностей (Ч«=-Ч", или Ч"='15„) следует применять для описания состояния системы из одинаковых частиц. частицы возг, и частицы оцомн принцип паули 497 «пз! 9 116. Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули Как мы видели, квантовая механика на основе принципа тождественности одинаковых частиц ведет к двум классам состояний, абсолютно не смешиваюшимся между собой. Поэтому выбор того али иного класса состояний для какой-либо системы частиц может быть продиктован только природой часпшг(, образующих систему, а не характером внешнего поля или каким-либо подобным обстоятельством.
Опытным путем установлено, что в природе существуют частицы, принадлежашие обоим классам. При этом наблюдается следующее правило: частицы, обладагащие спинам, равным целому числу постоянных Планка: з=йт, т=О, 1, 2,... (116. 1) описываются сил~метрачными функннямн (Ч",). Мы будем называть такие частицы частицами Бозе, а совокупности таких частиц — ап с амбл я ми Бозе — Эй н штейн а, по имени физиков, разработавших статистику для таких частиц.
Напротив, частицы, имеюшие спин, равный полуцелому числу постоянных Планка: 1 3 5 в = йт, гп = -~-, описываются антисимметричными функциями (Ч',). Мы будем называть такие частицы ч асти цам и Ферми, а совокупность таких частиц а н с а м б л я м н Ф е р м и — Д и р а к а, по имени физиков, построивших статистику для частиц такого рода').
Все простейшие «элементарные» частицы обладают спинам О, !у2 или 1 (см. таблицу на стр. 22). Спинам !г2 обладают электроны, протоны, нейтроны, гипероны, р-мезон, нейтрино и их античастицы. Поэтому они все являются частицами Ферми («фермионами»). Спин О имеют и-мезоны и К-мазаны — они являются частицами Бозе («бозонами»). Единственная элементарная частица со спинам 1 есть фотон.
Он также подчиняется статистике Бозе. Принадлежность сложной системы, например атома и ядра, к тому или иному классу частиц будет определяться числом и классом более простых частиц, из которых образована сложная система. Рассмотрим для примера атом водорода. Атом водорода представляет собой систему из двух частиц Ферми: »1 Пользуясь теорией относительности, Паули показал, что это правило может быть обосновано теоретически. Однако мы не имеем возможности обсуждать здесь его аргументацию и отсылаеи читателя к оригиналу: В. П а ул и, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, !947. ьч!стылы !ы оди!!хконых мим'очхс!иц !Гл х!х протона и электрона. Суммарный механический момент атома водорода в нормальном состоянии складываются пз меха>шческого момента (спина) протона и нз спина электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
