Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 88
Текст из файла (страница 88)
(2а,рхФп+Ь .Ф„), (!10.9') й 474 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ !ГЛ. ХЧ!Н можем пренебречь величинами а, и Ь „в (110.9') и тогда получим тйф = —,!' Ч-,б„+(Р (Х, У, г)+Е„(Х, У, г))ф„. (1!0.11) Это есть уравнение для движения центра тяжести системы в потенциальном поле с потешцгальиой энергией, равной и„=р(Л, У, 2)+Е.(Х, У, г), (110.12) при условии, что внутреннее состояние системы есть л-е квантовое состояние.
Уравнение (110.11) таково же, как рравнение для движения материальной точки. 9 111. Определение энергии стационарных состояний атомов методом отклонения во внешнем поле В этом параграфе мы рассмотрим теорию опытов, в которых определяют энергию стационарных состояний атома, подвергая пучок атомов отклонению внешним полем; важнейший пз них— опыт Штерна — Герлаха.
Обычно его рассматривают как опыт по определению магнитного момента атома. Будучи рассматриваем более непосредственно, он является опытом по определению энергии атома во внешнем магнитном поле. Из теории движения атомного электрона при наличии магнитного поля (з 62) следует, что, поскольку пренебрегают высшими степенями магнитного поля, постольку действие магнитного поля можно выразить через добавочную потенциальную энергию (62.7), равную энергии магнитного диполя (орбитального и спннового) в магнитном поле.
Поэтому мы можем применить к интересующему нас случаю теорию предыдущего параграфа. Из расчетов 6 62 следует, что в указанном приближении волновые функции электрона т(г„! Не зависят от магнитного поля, а собственные значения энергии равны (62,!3) (11 1.1) При этом мы считали поле Х однородным. Если оно достаточно плавно (для макроскоппческих полей нужная плавность всегда обеспечена), то его можно рассматривать как функцию координат центра атома Х, 1', Е без того, чтобы нарушалась справедливость ') (111.!). ') Лля этого достаточно, чтобы поле оэт~ мало менялось а пределах раэ.
мероэ отомо о, т. с. должно соблюдаться услоанс З РП! ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ 47Р Таким образом, мы можем написать Е„гт(Х, )г, г) =Е„"г+ — -(и +-1)чхх (Х, У, У). (11!.2) Волновые функции ф„г от Х, У', 2 зависеть не будут, так как они не зависят от поля Ж. Стало быть, мы имеем дело со случаем, когда вместо общих уравнений (!10.9') для волновых функций Ф, описывающих движение центра тяжести, можно написать уравнения (110.11). Эти уравнения в нашем случае будут д! 2М хгх'х)Ррнрр+ Ехг~ ( ( ! ~) Ф'» Так как масса атома М велика, а внешнее поле Р- всегда плавно меняется от точки к точке, то мы имеем налицо как раз те условия, при которых применимо приближение классической механики.
Положив рЭ„,.(Х, 1', ~, 0= -1~Р.,„(х, 1. г. РР„Р(-р-х„,.(х, 1, г: /), (пРх) где Вт, — функция действия, а р„, — плотность атомов в пространстве, мы получим для Втг и р„, в первом приближении классические уравнения (см. 9 35 (35.8) и (35.!3)) д!Ат = 2М(ЮОпгт)'+Ехгт(Х, 1', 2), (11!.5) д рх Г(!~ (Рхгт7 ррргт) 0 д! (1!! .6) Первое уравнение есть уравнение Гамильтона — Якоби; оно утверждает, что частица будет двигаться по классическим траектох риям.
Второе уравнение есть т уравнение непрерывности; оно ут- Р верждает, что рой частиц будет двигаться так, чтобы поток частиц, проходящий через любое сечение трубки, образованной траекториями, был постоянен. =тт Обратимся теперь к чертежу (рис. 83). Пусть на протяжении от )9 до Р действует магнитное — Х ~'=д поле, направленное по оси 02. р„с, аз. к теории Опытов ШтгрВ 0 СдЕЛаяа дИафраГМа, ЧЕРЕЗ иа — Герлгхг.
которую поступают атомы. Ширина щели в диафрагме равна ЛЯт Пучок атомов, входящий в Р, будет расщепляться. Те из атомов, которые окажутся в состо- 4?6 пРименши1я теоРп11 лш1жеипя ьу!огпх тел 1гл хеп! !!!2 М вЂ”,, = дп 'и д!л дЕ„1т дХ дЕа~щ дУ (111.7) длл1 л дЛ Будем считать, что магнитное поле Ф' зависит лишь от г (по крайней мере на большей части отрезка ОР). Тогда из (111.7) получаем Х=п!+Хм (111.8) (111,8') ( 1 1 1.8") У=УР, 2 = — - — !+го ддл1т 2 т 2Л! дг О где о — скорость атомов (мы предполагаем, что опи первоначально движутся параллельно ОХ, и, кроме того, градиент поля — „' и -.?у ' в пределах области движения атомов считаем почти постоянным).
Обозначая длину РР через ! и пользуясь (111.2), мы получим отклонение 2 Я еий (и! ~ !) аг ел' ! сЬ дЯ" ?л (! 1 1.9) Произведенный нами расчет лишь приближенный. В действительности атомы, проходящие диафрагму, не будут двигаться по классическим траекториям: пучок будет расползаться. Чтобы учесть это явление, следует сделать еще один шаг в приближенном решении уравнения (111.3), учтя члены в Я„лл и рл„л, содержащие первые ступени д (см.
9е 35). Ми пе будем этого делать, а ограничимся лишь оценками. янин с мапштиым моментом 93!т = О, будут двигаться без действия спл. Из уравнений (11!.5) и (111.6) мы получ!Ем проходящий без отклонения пучок. Атомы, находящиеся в каком-либо другом состоянии с И вЂ”.,'- О, образуют отклоненные пучки (на рпс. 83 привсдепы два таких пучка). Существенно, что магнитный момент Я„меняется от состояния к состоянию скачкообразно.
Благодаря этому пучки, вообще говоря, разделяются так, что по месту падения а!омов на экран (илп фотопластинку) Р мы можем решить, в каком из возможных состояний !р находятся атомы, т. е. определить их стационарные состояния. Траектории, принадлежащие пучкам, легко вычислить нз уравнений (111.5), (111.6), учитывая расположение диафрагмы О, ее форму и начальное распределение скоростей атомов. Можно и прямо воспользоваться уравнениями Ньютона: а пц опесделснш: энсггни стхцпсплгных состоянии лтсмов 4тт Пусть ишрпиа пучка в направлении Ог есть Лг,. Тогда скорости атомов в направлении Ог в силу соотношения неопределенности лг,лро~ ", (1!1.10) не могут равняться нулю (как это допускалось в классическом расчете).
Если среднее значение р,=0, то из (11!.!О) следует, что Лго Мп~ ~ 2, т А о'-'2М аг' (111. 10') 2м аг, При прохождении через иоле в течение времени (, благодаря наличию РазбРоса в скоРостЯх по, шиРина пУчка Лг возРастает и будет равна лг — ~,(: (1 1 !.1 1) 2м аЛо Лля того чтобы мы были еще в состоянии решить, к какому из состояний Е„, или Е„, относится атом, падающий на экран Р, необходимо, чтобы ~ г — г,„!.ъЛгь т. е, на основании (11!.8") 2М ~ дЛ дЕ ~ 2М ЛЛ (11!.!2) или (!!1.13) Но так как в силу слабой зависимости Е»м, и Е„о от г )Е»ь, — Е»ь,))~ дд Лго — дд Лго~~ то последнее неравенство можно записать также в виде 1 Е»~»г — Е»ь» ! ( ) " (1 ! 1.!4) а К этому обстоятельству мы еще вернемся в 5 1!2. В заключение теории опытов по определению стационарноях состояний атомов методом отклонения пучка атомов во внешнем поле рассмотрим более сложный случай, когда первоначальная волновая функция представляет состояние с неопределенным значением энергии.
(!!1,!5) т, е. для того, чтобы различать стационарные состояния атома (Еы или Е„, ), измерение должно производиться в течение достаточно большого времени Е 473 ПРИМГНЕННЯ ТЕОРНН ДВНЖЕННЯ МНОГНХ ТЕЛ !ГЛ. ХШН По общей теории вероятность получить прн измерении в таком состоянии значение энергии Е„равна ', с„~а, где с„— амплитуда в разложении ар по собственным функциям оператора энергии'), Покажем, как относится это общее утгержденне к определению энерпш методом отклонения пучков, Если система находится во внутреннем состоянии тр„(х, р, г), то полная волновая функция, с учетом движения центра тяуксстн, будет равна Ч" (Х, 1', Е, х, у, г) =-Ф„(Х, У, Е)фа(х, (7, г), (1!!.18) причем Ф, определяется пз уравнения (1! 1.3) (пли вообще (110.11)). Если состояние ф есть суперпоз|щпя т(1„, то в силу линейности уравнений квантовой механики общая функция имеет вид Ч" (Х, У, Я, х, д, г) = ~',слФл(Х, У, 2)тра(х, у, г).
(!11.!7) л Непосредственно на опыте мы измеряем не внутреннюю энергию атома, которая нас интересует, а положение атома Х, У, х,. Определим вероятность того, что атом находится в области Х, Х+с(Х, У, У+Л', г„2+с(2. Эта вероятность равна ш(Х, 1', Я) с(Хс(Ус(Я= с(Х Л'с(Я ~ , 'Ч'!адх с(ус!г= = ~~~ , 'с„," , 'Фл,а с(Х с(У с(2. (! 11.18) Измерение энергии атома Е„заключается в том, что мы решаем, к какому нз пучков (см. рнс, 78) относится атом. Каждый пучок описывается своей функцией Фл(Х, У, 2).
Для того чтобы наш опыт был действительно опытом по измерению энергии атома, нужно, чтобы различные пучки были разделены друг от друга, иными словами, функции Ф„(Х, 1', г) должны быть отличны от нуля в различных областях пространства (для этого должно быть обязательно выполнено условие (111.15)), Найдем теперь, какова вероятность нт того, что атом принадлежит пучку сп. Для этого нужно проинтегрировать (111,18) по обьему этого пучка. й(ы ооозначим этот обьем через У: ш = ~ вд (Х, У, Е) с(Х т(У сЕ = Рм ~;Р ~ ~Ф„а (ХЛ И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
