Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(111.10) ') Зли пгостоты мы обозначаем все квантовые числа (и, й т) одной бук аой и. НЕУПРУГИЕ СТОЛК1ЮВСННЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ 479 Э 11М Если пучки разделены, то все интегралы равны нулю, кроме интеграла ~ !Ф„,,21(ХЖ'ог., ии равного единице в силу того, что Ф,„нормирована. Таким обра- зом, (1!! .20) Но ш есть как раз вероятность того, что энергия атома равна Е„, (так как атомы с различной энергией принадлежат различным пучкам). Поэтому рассмотренное нами определение энергии атома находится в полном согласии с интерпретацией величин ',си,' как вероятностей найти значение энергии атома Е„.
При этом измерительным аппаратом служил сам атом: внутренняя энергия Е, определялась по положению центра тяжести атома. Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. В (1 16 мы утверждали, что измерение всегда превращает чистый ансамбль в смешанныи. Легко убедиться, что в рассматриваемом случае это превращение иа самом деле имеет место. Определим вероятность найти электрон в окрестности точки х, у, г при заданном положении центра тяжести атома Х, 1', 2. Имеем П1(Х, д, г, Х, )', Е) = ! Ч'~' = У', ~Ч~ Слв,",,ф„ (Х, у, г) ир" (Х, у, г) Х л т ХФи(Х, 1', Е) Ф„'(Х, )', Е). (!11.2!) В области, где Ф„и Ф,„перекрываются, мы имеем интерференцию состояний ир,„ир и для определения и1 важны фазы с„, с,"„. В области, где Ф„и Ф ие перекрываются (измерение!), мы получаем (х, д .
Х, У, г) =~Ч ~ = = ~Ч~ ! си 12 ! фи (х, д, г) 12 , ,'Фи (Х, )', 2) )2, (!!! .21') т. с. фазы сл выпали. Вероятность ш образуется теперь пекогерентно из ф„как это характерно для смешанного ансамбля (сР. 9 !6). й 112. Неупругие столкновения электрона с атомом. Определение энергии стационарных состояний атомов методом столкновений Одним из простых приложений теории движения многих тел является расчет иеупругих столкновений с атомамн. С такого рода столкновениями л1ы встречаемся в опытах Франка и Герца 5 3). Однако наш расчет нельзя будет непосредственно приме- 480 пР!!мененпя теор!и! ДВ!!жен!!я мноп!х тел !Гл. хлп хе й (г!) †. — — р; + (у ( т), й! лэ Н (г,) =- — — ч!„', (!! 2.2) (1!2.3) Ф (г„ г,) = и (г,) + Здесь У (г,) означает потенциальную энергию атомного электрона в поле остова (ядра и остальных электронов атома), ',г,— г,1 есть кулоновская энергия взаимодействия атомного электрона с электроном, летящим извне, (l (ге) есть энергия этого последнего электрона в поле остова атома.
Остальпь!е члены имеют само собою понятное значение. Кинетическую энергию летящего извне электрона мы считаем столь большой, что все его взаимодействия с атомом )Р' будем рассматривать как возмущение. Тогда уравнение Шредингера для невозмущепного движения будет иметь вид Йе (г,, г,) туе(г„г,) = Етуе (г„ге). Оно имеет решение ч)!» р (Гт Гя) — т(т» (Гт) тРв (Г,) Е = Е;+ Р;-'-', (! 12.6) где тр„' — волновая функция стационарного состояния электрона в атоме, принадлежащая энергии Е„', а ч!р,— волна де Бройля, описывающая свободное движение летящего извне электрона с импульсом р,. Нас интересует вероятность перехода нашей системы из двух электронов в какое-нибудь другое состояние; тр" а (г„г,) = тр' (г,) тур (г,). Для вычисления этой вероятности применим теорию квантовых переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени !) движением атома в целом иы можем пренебречь ввиду большой всличины массы ядра по сравнению с массой электрона.
нить к этим опытам, так как мы будем предполагать, что сталкивающийся электрон имеет эперги!о, значительно превышающую энергию электрона в атоме (при этом условии можно будет прн. менить теорию возмущений). Оператор полной энергии двух электронов') имеет вид Н (гы га) = Н (г!) + Н (г ) + В' (гт, Ге) = Н" (гы г ) -1- ~' (г г ) (112.1) $ П2! НЕУПРУГПЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ чв! (112.9) р „(г1) = — ег(1,',", (г,) 2Р.' (г,).
Эту величину будем называть матричным элементом плотности заряда для перехода и -« П2 (очевидио, что р,„ есть среднее значение плотности в состоянии гр„'). Учитывая ортогональность функций ар,"„мы получаем !*2 еЬ!2Р,а (Г1) "г!'а (Г1) (() (гг) + ! ) = =(У(ге) 6 „— е ~," ',,' =- !т „(г,). (112,10) Последняя величина может рассматриваться как матричный элемент потенциальной энергии сталкивающегося электрона (2) в поле ядра и атомного электрона (!). Если !Л=-л, то столкновение будет упругим. )г„„совпадает с той энергией возмущения, которая встречалась в 9 79 в теории упругого рассеяния электронов. Подставляя Уе,„(ге) в (112.8) и имея в виду, что р,г, , рг, е г получим 1 .!р,— р)г, !Р„,р,,р,— — (апауг ~ е(ое)г „(ге)е " = (елли г,(К), (1!2.12) где через К обозначен вектор К = — '=на — й, Ра Р а (112.13) где ка и й — волновые вектоРы электРона до и после столкновения.
Для вычисления вероятности перехода в 1 сек из начального состояния Е„, р,', р„", р," в конечное Е, р, е((! (Е(2! — элемент телесного угла, в котором лежит направление импульса электрона р после столкновения) применяем формулу (85.3). Плотность состояний на интервал полной энергии системы, обозначен- (э 85). Таким возмущениел! является у нас энергия !р' (112.3). Вычислим сначала матричный элемент этого возмущения для перехода л, ра-а-т, р. Имеем еа Ю'~р,,р, — — ~ ~ ЕЬ1 сЬ2!Р,'„*р (г„г2) ((г' (! 2) + ~ „„,) !,,р, (г,„г,) (1! 2.8) (здесь ЕЬ„Т(Р2 означает интегрирование по координатам первого и соответственно второго электрона). Вычислим сначала интеграл по г(ВЕ. Введем пюгнснгнпя тсорпп дгижщпгн мпоп1х тел !гл.
хип пая' в (85.3) через р(Е), будет у нас такая же, как и для одной частицы (см. (81.23)), так как (Е= ('Е,о+ Р-,-,) .—— й(„"*,). Следовательно, р(Е)=-рр. Поэтому, согласно (85.3) и (112.12), имеем о„ Рар (т Р) о(О ) (2за)о ! Е'оо (К) ' РР Ю. (112.14) Чтобы вместо вероятности перехода в 1 сек получить эффективное сечение а(р„р, 0, ор) для перехода ро — ~р, оБ, нужно иначе нормировать функции падающего электрона.
Именно, их нужно нормировать так, чтобы поток через 1 смо в 1 сек равнялся единице. Для этого вместо (112.11) нужно взять реч о-— п фр, (го) = —, 1 ро (112.11') где оо — скорость падающего электрона: ~Ро' Ро во =— н и Функции (112.!1) и (112.!1') отличаются множителем (112.15) о„„(т, р) оИ= Р-( — "„) 1Е,.о(К)!' (О- (11218) ро ~2пяо При этом условии резонанса, совпадающее с законом сохранения энергии, в случае возмущения, не зависящего от времени, имеет впд (!12.!7) оРр — фр, (2пй) зм 1/ —" . Ро Так как в вероятность (112.14) начальная функция входит в квадрате, то, переходя от нормировки (112.11) к нормировке (112.11') (для падающих частиц), мы получим в (112.!4) множитель (2пй)' -!-. Вместе с тем вероятность Р„р,(т, р) примет размерность площади.
Так как принятая нами нормировка для падающей волны есть как раз та, которая принимается для расчета эффективного сечения (поток: одна частица в 1 сел через 1 сж'), то полученная вероятность соппадает с эффективным сечением. На основании сделанных замечапнй получаем эффективное сечение в виде 4 пн неупРуг!>е столкнове>п>я электрона с атомом 483 Для упругого рассеяния пт = а, р = р„и формула (112.16) в точности совпадает с выведенной в 2 78 методом стационарных состояний.
Для неупругого рассеяния вид атомного фактора Ем„ несколько иной (см. (!12.!2)). Кроме того, в а входит множитель Р/Рм смысл котоРого легко УЯснить. Ое(Я есть отношение потоков падающего и рассеянного в угол д(!. В это отношение потоков входит отношение скоростей, которое как раз равно р!ре и выпадает для упругого рассеяния. Обозначая р через р „, К через К „= = Р' „Р'"", часто пишут (1!2.!б) в форме пел(и> гр) >ТЕ4= — '"(~— "ае) !Г>ил(Кмл) ~ сИ. (112.18') Отсюда, интегрируя по всем возмохсным углам рассеяния ~И, мы получим эффективное сечение для любого столкновения, прп котором энергия электрона меняется на величину Е„,— Ел, а атом переходит из и состояния Ел в Е,: о„л=- ~ али,(0, ср) дй. (!12.18) ал Если Еа — нижнее нормальное состояние атома, то налетающий электрон может только возбуждать атом (Е„,) Е )Еа).
В этом случае а, „называют эффективным сечением для Рис, 84. Завися>аосте вффек. возбужден и я атома. На рис 84 таимого сеисиии о,» дю> воабу>хдеиии атомов ударами приведена типичная зависимость этоГо электронов от виват>а адсксечения от энергии электронов. На ос- тронов ~. повании закона сохранения (!12.!7) мы можем, измеряя изменение энергии падающих электронов 8- — — ", 2и 2И' определить разности Ем — Е, и тем самым установить энергетический спектр атома. Это и было впервые проделано в опытах Франка и Герца. Если, как это обычно делают, принять границу (тп=-Оо) мемеду дискретным и непрерывным спектрами атома за пуль прн отсчете энергии атомного электрона, то, определяя ту потерю энергии ре р7 первичных электронов — — — ", при которой начинается иони- 2р 2!> ' зация атома (появляются вторичные электроны), мы можем также измерить энергию состояния атома, в котором он находился до столкновения.
В самом деле, в этом случае из (112.17) имеем (1! 2.17') Таким образом, мы можем определить стационарное состояние атома. Отличие этого измерения от измерений отклонением 484 ПРир!енения теоРии движения мнОГих тел ьГл. хчиь атомов внешним полем заключается в том, что согяюяние а!пол!а после измерения меняется (например, происходит ионизация атома), в то время как в опытах по отклоненшо оно остается неизменным. Обратим внимание на то обстоятельство, что при измерении энергии атома методом столкновений требуется, как и в методе отклонения, некоторое минимальное врелья.
Лействителы!о, измерение основывается на законе сохранения энергии (112.17). Этот закон выражается наличием 6-функции в вероятности перехода (ср. 2 84 формулы (16), (16) и (17), при этом в них следует положить йи = О). На самом деле мы имеем дело не с б-функцией, а с приближенным се выражением (84.14) (и-ер) ь 5ьп 6'(Š— Ер) =— я Š— Ер которое лишь при ! — р. со переходит в 6 (Š— Е,). Функция 6' (Š— Е,) отличка от нуля заметным образом только для интервала разности Ь(Š— Е,), для которого Л (Š— Ер) ! пр и становится малой для Л (Š— Ер) !.:Р" (112.20) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
