Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Так как каждый в пз ннх имеет момент, равный .—.—,, то суыл!ариы!! момент атома годорода в нормальном состоянии может быть равен 0 или !- !!, т, е. измеряется целым числом постоянных Планка. Рассмотрим теперь ансамбль из атомов водорода. !(оордииаты нротона lмго атома обозначим через Яь а координаты электрона й-го атома через $,. Тогда волновая функция, описывающая ансамбль, состоящий нз й! атомов водорода, будет иметь вид Ч =Ч (а й„..., д,, й,, ..., О,, й,, ..., Ь, ~, (). (ПО.З) Будем рассматривать каждый из атомов водорода как одну частицу (это можно сделать во всем том круге явлений, где можно игнорировать возможность возбуждения электрона атома водорода). Тогда обмен состояниями двух атомов водорода— й-го и /-го — означает одновременную перестановку в Ч" и координат ядер ()ы ф, и координат электронов 1„, ~э принадлежащих й-му и )-ыу атомам.
Но так как мы считаем протоны и электроны частицами Ферми, то волновая функция Ч' должна быть антиснмметрична относительно перестановки любой пары ядер (()„н Г)!). Равным образом она должна быть антисимметрична и при нересзаиовке любой пары электронов ($э и ~г).
Таким образом, ири перестановке гг-го и )тго протона Ч' меняет знак, при нсрестановке й-го и )-го электрона оиа также меняет знак. Следовательно, при перестановке атомов водорода, когда сразу персставляется и пара протонов, и пара электронов, Ч" не изменится вовсе, т. е. относительно перестановки атомов водорода Ч" симметрична, и атомы водорода, поскольку они рассматриваются как простые частицы, принадлежат к числу частиц Бозе. Подобным же образом можно провести рассуждения и для а-частицы, которая состоит из двух протонов и гвух нейтронов.
Исходя пз того, что волновая ф)нкция для системы сг-частиц должна быть антисимметричиа относительно перестановки протонов и относительно нсрссзановки нейтрснов, легко прийти к заключению, что отиос!пельпо перестановки ц-«ас! иц волновая функция должна быть симл!ечрична, т. е. а- !астицы должны относиться к числу частиц Бозс. Этот вывод соолвстствует тому, что суммарный механический момент !х- !ас!ицы должен быть целым числом Л!, так как оп должен составляться из четырех свинов, каждый из которых равен й!!2. В самом деле механический момент а-частицы равен О. Обратимся теперь к рассмотрению основной особенности частиц типа Ферми. Эта !))ундамситальпого значения особенность заключается в том, что частицы этого рода подчнцяются так иазывае- э цег частицы воза и члстггцы епми пгчшцип гьтхли 4ээ мому принципу Паул и, который еще задолго до разработки квантовой механики был сформулирован В.
Паули иа основании анализа эмпирических данных о спектрах сложных атомов. Принцип этот (в элементарной форме) утверждает, что в данкой системе а одном и пюм же квантовом состоянии не может находиться более одноео электрона, Г!оясггггм этот принцип примером. Кваггтовое сосгояппе электрона, движущегося в поле цеитральиых спл, характеризуется тремя кваитовымп числами и, 1, т, определяющими зисргшо электрона (и), его орбиталыгый момент (1) и одну проекц гю орбитального ыоы пта па какое-либо направление (и), а также четвертым квантовым числом (гп,=.+ !)2), определяющим проекции спина электрона з, па то же направление.
Таким образом, полностью кваптовос состояиие задается четырьмя числами и, 1, пг, т,. Приицпп Паули утверждает, что в таком состояшш либо вообще иет электрона, либо есть только один. Более же одного электрона там быть ие может. В состоянии с одними и теми же кваитовыми числами, относящимися к движению центра тшкестп электрона (и, 1, пг), можно пометить два электрона с противоположными направлениями спина и, — — г- 1)2.
Привсдеииая формулировка прпиципа Паули проста, ио стра. дает тем недостатком, что опа приблпжсппа. В самом деле, когда мы помещаем второи электрон в состояние с задаппымп числамп п, 1, пг, то все это сосгояпие в результате взаимодействия первого электропа со вторым измеияегся. Поэтому в элемеитариой формулировке ие вполне ясно, в какое пмеппо состояипе нельзя поместить более одного электрона.
Тем ие мсисе, ввиду того, что состояние электронов из-за их взаимодействия во многих случаях мепяется незначительно, уже элемеитарпая формулировка принципа Паули оказывается весьма плодотворной, Сформулируем принцип Паули так, чтобы освободиться от только что указанного затрудпеиия. Для этого заметим, что А< электрон (гглгг другая частица со спииом з ) есть частица, обладающая четырьмя степенями свободы: трп относятся к движению его центра тяжести, четвертая есть спиц.
Поэтому для указаиия сосгояппя отделыюго электрона, принадлежащего системе или однггокого, достаточно измерить четыре величины г'.„г.е. Ее, з, которые должны обладать следующими свойствами: а) все оии должны быть одновременно измеримы, б) первые три должны характеризовать дви>кеиие центра тяжести и быть независимыми, в) четвертая должна определять состояние спина электроиа. Совокупность четырех величии такого рода образует полный набор механических величии для электрона. Одновременное измереиие их является полным измерением, в результате которого возникает состояиие г(>ыс,<м (<)л), в котором заданы 'четыре системы из одиплковых мпкеоч«стиц ~гл, х~х величины Еп Е«, Е», з. Ради краткости мы обозначим определенное значение четверки таких величин одной буквой и, так что ф» (Ч») =»рыыг, (»)») (11о.4) Приведем примеры таких четверок.
Можно взять за три величины компоненты импульса р„, р„, р„а в качестве четвертой величины, определяющей спин электрона, — например, проекцию спина на направление импульса электрона з . Тогда Е,=. р„, Е»= р„, Е» = = р„з=зр, Подчеркнутая нами независимость трех величин Еп Е„Е» исключает, например, такой выбор Е, = р, Е« = — р„, Е« = = р,', так как в этом случае Е» есть функция Е,. Другой выбор величин может быть, например, таким: в качестве Е, возьмем энергию движения электронов в поле ядра Е„,„(Е,==Е„» ), за Е» возьмем момент импульса электрона (Е»=-М), за Е» — проекцию момента импульса на какое-либо направление (1,» =М.) и, наконец, для определения спинового состояния возьмем проекцию з«спина на ось 02. При первом выборе величин Е„Е«, Е„з после измерения получается состояние Фа («1») =»р»«»„»» (г(») (116.5) при втором выборе Фл (Ч») = »р»ь » (Ч») (116.5') Эти состояния, возникающие в результате измерения, не будут вообще стационарными состояниями, что явствует уже просто из того, что в системе электронов нн импульс отдельного электрона, ни энергия отдельного электрона не являются интегралами движения.
Для пас сейчас существенна другая сторона дела. Введя в рассмотрение состояния отдельного электрона ф„(о»), возникающие в результате измерения, произведенного на электроне системы, мы освободилнсь от употребления неясного термина «сосгояние электрона в системе», так как состояние системы характеризуется одной волновой функцией»р(дп ..., д», дм, г), н выделить там состояние одного электрона без изменения системы вообще невозможно. Если мы производим измерение величин, относящихся к отдельному электрону (Е„Е„Е„з), то по крайней мере в момент времени (=-О, в который было произведено измерение, состояние электрона будет ф. И»).
Таким образом, вместо «состояния отдельного электрона в системе» мы оперируем с состоянием отдельного электрона, возникающим в результате произведенного над ним полного измерения. Этп замечания позволяют нам формулировать принцип Паули в самой общей форме, не прибегая к неточным словам «квантовые состояния отдельного электрона». з им члстицы воза и частицы анями, пгинцип пхгли ын В этой общей форме принцип Паули гласит: в системе электронов в каждый момент времени при измерении любых четырех величин (.„Е„Е„з, характеризующих состояние отдельного электрона, каждое значение четверки ве,тичин 1.ь Ее, Е„з может быть получено только для одного электрона системы. Теперь мы докажем, что эмпирически установленный принцип Паули есть следствие принципа тождественности частиц в квантовой механике.
Именно, частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями (частицы Ферми), подчиняются принципу Паули. Сначала мы проведем доказательство, простоты ради, для ансамбля, состоящего только из двух частиц. Обобщение на любое число частиц будет уже совершенно просто. Допустим, что состояние частиц характеризуется антисимметричной функцией Ч'(в„д„Г) (а„а, означают, как и раньше, совокупность всех координат, включая спин первой и, соответственно, второй частицы). Допустим, что мы измеряем для первого электрона совокупность четырех величин, характеризующих полностью его состояние.
Их значения обозначим одной буквой и,. Значения тех же величин для второго электрона обозначим через пь Состояние первого электрона, когда измеряемые величины имеют значение п„ пусть описывается волновой функцией ф,,(а,), соответственное состояние второго электрона ф„ (в,). Так как речь идет об измерении механических величин, то функция ф,,(а,) является собственной функцией операторов этих величин, и следовательно, функции для разных значений и, образуют ортогональную систему функций ~ ф„* (у1) ф., (ц1) йц = б„„,. (116.6) То же самое, конечно, относится и к функции ф,,(в,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
