Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(Мг, ..., М.— 1, „Мт...., М.+1, ..., М... С)+ + -й ~~~ М~плМг~г(Ми+1)"*(Мл +1)гЧИт~л,лп Х Хс(М„,„, М вЂ” 1, ..., Мт,— 1, ..., Мп+1,, Мп,+1, ..., с). (118.!1) 5[2 ВТОРИЧНОЕ КВАР!ТОВАНИГ И КВЛНТОВАЯ СТЛТИСТИКА [ГЛ ХХ Это и есть искомое уравнение, в котором за независимые переменные взяты числа частиц в отдельных состояниях.
Это уравнение может быть записано в очень удобной форме, если ввести операторы а, и а,', которые действуют на функции от чисел У„ следующим образом: ал((У„У„. „, Ул, ..., Л'т, ...) = = (Ул+ !) ' 1«(УИ У« ° ° ° ~ Ул+ ! ° ° ° г Утю ° ° )г (! !8,!2) а.((У„У«, .„, У„..., У, ...) = =У,'~(У„УВ...., Ул — 1, ..., У, ...), (1!8.12') п„)(У„У„..., Ол, ..., У, ...) =О. (118.12«) Эти операторы, очевидно, обладают следующими свойствами: ала„=у„, а„а„"=у,+1, (118.13) (118.!4) Теперь нетрудно видеть, что с помощью этих операторов уравнение (118.11) может быть написано в виде !й ' ' "'' =Йс(У„У„..., !), (118.15) где Й= 7 а"„,Н лал+ — 7 7 а„",ат«Ю,лтч «лала«.
(1!8.16) т, т' л, л' т,л Оператор Н есть гамильтониан системы, выраженный через операторы ал и а,',. Его обычно называют втор ично к вантов а н н ы м. Это уравнение вполне эквивалентно исходному уравнению (!!8.!) для У частиц в конфигурационном пространстве. В сущности уравнение (118.15) есть уравнение (118.1) в «Улпредставлении, т. е. в представлении, в котором в качестве переменных взяты числа частиц У„У„..., Ут, ... в различных квантовых состояниях 1, 2, ..., п[, ...
Однако уравнение (1!8.15) в одном отношении общее уравнения (1!8.1); последнее написано для системы У частиц, в уравнении же (118.15) полное число частиц явным образом не входит. Оно является постоянной интегрирования. 'Действительно, оператор Й (1!8.16) в каждом члене содержит одинаковое число операторов а и операторов а*. Так как операторы ал увеличивают число частиц в каком-либо из состояний на 1, а операторы а уменьшают число частиц в каком-то из состояний на 1, то полное число частиц У = ~У под действием оператора Н не в на) втопичнос квантование меняется, так что (118. 17) Таким образом, И =- сопя!. Поэтому уравнение (118.15) справедливо для лчвбаго числа М одинаюмыл частиц Бозе. Гзмильтонизн (118.16) теории вторичного квантования моакно написать в другой форме, которая соответствует энергии некоторого волнового поля.
Пусть волнован функция одной частицы есть ф(а). Разложим эту функцию по собственным функциям фа(д) операторов Бм Бе, Ба, в: ф (7) =.'5', а,тр, (а) (!18.18) л Будем теперь рассматривать амплитуды а„не как числа, а как операторы со свойствами (118.14). Тогда сама функция ф будет оператором Ч' (а) =,У', а,ф„(в), (118.19) действУющим нз числа йГ„ М„ ..., М„о ... ПеРеход от (1!8.18) к (118.19) означает, что мы перешли от чисел к операторам, т. е. мы как бы перешли от классической теории к квантовой.
Но так как описание движения одной частицы с помощью волнового поля ф(а) уже само по себе является квантовым, то замену амплитуд а„на операторы а„называют в т о р и ч н ы м квантованием, а волновую функцшо Чс называют квзнтовинной волновой функцией').
Заметим, что переход от неквантованной волновой функции (1!8.18) к квантованной (1!8.!9) может быть сформулирован непосредственно без обращения к операторам а,. Действительно, из (118.14) и (1!8.19) следует Ч' (а) Ч"* (а') — Чс* (а') Ч' (а) = Я (а„аа — а' а„) тр„ (а) ф,„ (а') = «ч и =.'5' ,б .ф" Ю ф (г)) =,~ фй(г)') ф. (М, где сумма распространена по всем собственным функциям. Такая сумма, как можно доказать, равна б(в' — а). Поэтому квантование волновой функции можно записать в виде Ч' (а) 'Р* (в') — Ч" а (в') Ч" (а) = б (в' — а) (118.9()) 1) Следует не упускать иа виду, что волновой функцией в обычном понимании атой величины в теории вторичного квантования является функция с(Мь йя.....
Гт',„, ..., Г), а не Ф! 514 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ЩЛ, ХХ С помощью кваптованиой волновой функции Ч'(д)(118.19) гамильтонизн (118.!6) может быть написан в виде 2н ~ (д) (д) 7+ ~ (д) (д) (д) д+ + ~ ~ Чтв (д) Чг* (д') )Р" (д д') Чг (д) Чг (д') ддг!д' (118 21) Эквивалентность (1!8.21) н (118.16) очевидна, если учесть (1!8.19) н выражения для матричных элементов (118.6) и (118.7). В этой форме гамильтониан Н (!18.21) можно рассматривать как энергию некоторого волнового поля, которое «квантовано» в том смысле, что классическое поле тр(д) заменено на оператор Ч'(д).
действительно, будем понимать под ф(д) волновое поле де Бройля †Шрединге и предположим, что отдельные элементы этого поля взаимодействуют между собой так, что энергия взаимодействия двух элементов пропорциональна произведению плотностей )зр(д)(е!тр(д')!з. «Классическое» уравнение для такого поля будет ') й' — ;','~' = -'-,'- ~'ф(~)+и(~) ф(д)+ 1 зр (д) ~ )р (д, д') ! зр (д') !з с(д'. (118.22) Полная энергия такого поля будет равна') Н=,-''„- ~ !~ф(д) 1'дд+ ~ !ф(д) !'и(д) дд+ + —,' ~ ~ф(д)!'!ф(д') Р йг(д, д') дддд'. (П8.28) если теперь расположить здесь Чз и зР" надлежащим обоазом и заменить их операторы Ч" и Чг*, подчиняющиеся правилу перестановки (118.20), то мы получим в точности гамнльтоннан (1!8.21) теории вторичного квантования.
Отсюда видно, что теория вторичного квантования допускает следующий замечательный подход к теории систем одинаковых частиц: рассматривается некоторое классическое поле Чз. Для него находится вь!ражение энергии Н. В злом выражении классическое поле ф заменяезг!ся на оаератпор Ч'. Тогда мы приходим к гзмильтониану Н теории вторичного квантования и получаем право говорить о частицах, ') Это уравнение отличается от правильного уравнения Шредингера для одной частицы последним членом, который выражает допущенное изми само- воздействие зр.волн. ») Пользуясь уравнением (1!8.22), можно убедиться, что ВН/В!=0, т. е. Н есть интеграл движения. Так как второй член в (118.22) заведомо есть потенпизльная энергия во внешнем поле, то все выражение, поскольку Н=соп»1, следует рассматривать как полную энергию поля.
ВТО!'ИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ й нз! 515 свойственных данному полю ф! после квантования поле обнаруживает дискретную, коргтускулярнуго природу. Эта процедура носит назвзние «к в з н т о в а н и я п о л яж Сила ее закл!очается в том, что она применима к любому классическому полю'). В приведенном выше примере речь шлз о квантовании поля де Бройля — Шредингера для случая частиц Бозе. Совершенно таким же путем можно выполнить квантование для случая частиц Ферми.
Различие закл очнется лишь в свойствах операторов а, а'. Чтобы найти этн операторы, нужно выполнить заново преобразование уравнения (118.3) от переменных т,, т,, ..., тд к переменным У„У«, ..., У, ..., которое для частиц Ферми несколько более кропотливо ввиду того, что Прн ПЕрЕСтаНОВКЕ ЧаСтИц фуНКцИИ С(т,, тэ, ..., ть, 1) МЕНяЮт свой знак. А(злее, как уже отмечалось, числа У могут иметь лишь два значения: 1 и О. Выполняя сходные преобразования'), мы получим из (118.3) опять уравнение (!18.15) с гамильтоннаном (118.1б), но операторы а„, а'„' будут определены в этом случае иначе, именно, а ((Ун Уэ, ..., 0„..., У, ...)= =+-~(УО У„..., 1„, ..., У, ...), (118.24) а„'~(УИ Уз, ..., 1„, ..., Ухн ...)=О, (118.24') а,((УИ У„..., 0„, ..., У„„...)=О, (118.24") а,((У„Уз...., 1„, ..., Ум, ...) = )(У„У„..., Оа, ..., У, ...), (!18.24'") причем знак + или — берется, смотря по тому, четное или нечетное число занятых (Л = 1) состояннй предшествует состоянию и, если состояния расположить в порядке возрастания') и.
Из этих правил следует а„"'а„=Л'а(0 или 1), а,аа=! — У„, (118.23) (118.28) а.аа,+а„а„=б „. '! Обнгая теория этого квантования изложена в книге: Г, Вен тнель, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947. а! См., например, П. А. М. Гь н р а к, Прнннипы квантовой механики, Физматгиз, 1960, ь«65, илн оригинальную работу В. й.
Ф о к а, Хз. 1. Рйуз. 75, 622 (1932). э) Можно ввести вигнеровскую фупкнию т„, определяемую формулой м„=. П (! — 2йг,), а1 (« вместо знака вс в формулах (1!6,24) писать тя (та= «-!). 5!6 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА !ГЛ. ХХ 1(ак видно, правило перестановки для операторов а в случае частиц Ферми отличается знаком от правил перестановки для частиц Бозе, Пользуясь (118.18) и повторяя выкладки, ведущие к (118.20), получим Чг(д) ззг* (д') + Гзг* (д') Гзг(у) = б (д' — д). (118.27) л Все остальные формулы, в частности, выражение для Н (118.2!), остаются без изменения.
Таким образом, гамильтоннан Й совместно с правилом квантования (118.27) можно рассматривать как вторично квантованный гамильтониан для электронных волн, «классическое» уравнение для которых есть (118.23). Правило квантования для обоих случаев может быть записано в одной формуле причем знак + берется для частиц Ферми, а знак — для частиц Бозе. В современной физике приходится иметь дело с явлениями рождения н уничтожения частиц.
Эти явления, строго говоря, выходят за рамки квантовой механики. Однако метод вторичного квантования ввиду того, что в него не входит явным образом полное число частиц, допускает простое обобщение на случай переменного числа частиц и тем самым оказывается пригодным для описания явлений рождения и уничтожения част!щ. Действительно, если к гамнльтониану гт' (118.16) добавить член вида я = ~Ч',!)„а„+ ~;ща,'и (118.29) л п где ()и, ()й суть некоторые операторы, характеризующие взаимодействие частиц с какими-либо другимн частицами, способными поглощать или излучать первые„то полное число частиц й! уже не будет интегралом движения, так как 1(), У14:О. Прн этом члены, содержащие а", описывают рождение частиц, а члены, содержащие а, — нх уничтожение (см.
(118.12) и (118П2')). Если кванты света (об!цее — фотоны) рассматривать как частицы, то можно процессы испускания и поглощения света рассматривать как процсссы рождения и уничтожения фотонов. ОсноВанная на этой мысли квантовая теория излучения была раза!па Дираком' ). Подобным же путем можно изучить явления возникновения н уничтожения электронов н позитронов прн рл-рясна!ге, '! П. А М. Л и р а к, Пряникам квантовой исканнки, Физиатгиз, !960, гл.
!О; В. Г а й т л с р, Квантовая теория излучения, !ЛЛ, !956. а на! МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ Б)7 при рождении и уничтожении пар, явления образования н распада мезоиов и др. Все эти явления рассматриваются квантовой теорией полей '). Помимо квантовой теории поля, теория вторичного квантования находит также обширные приложения в области квантовой статистики. 9 119. Теория квантовых переходов и метод вторичного квантования Вычислим теперь вероятности перехода под влиянием возмущения пз одного квантового состояния в другое в ансамбле одинаковых частиц.
Для расчета воспользуемся методом вторичного квантования. Чтобы конкретизировать задачу, рассмотрим переходы под влиянием слабого взаимодействия между частицами. В этом случае целесообразно выбрать переменные Ь„ Т.„ Е„ з, описывающие состояние частиц таким образом, чтобы одна из ннх (скажем 1.«) равнялась энергии частицы 1., (ае) = Е (да).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
