Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Для частиц Бозе мы имеем другое разложение волновой функции системы частиц Ч" по произведениям функций отдельных частиц: ф,,(д~) 1,,(д.,)...ф„„(д~) "ф,г(д,) "ф, (4х). Переставляя з гп! ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ФЕРМИ И БОЗЕ-ЧАСТИЦ 507 в разложении волновой функции системы Ч" (г)! ° °, г) °" г)г, г7 ' !) = ~ ° ° ° ~пс(пг ° пп !)~ л, лхг х р.,(д)...фл,(г(,)...гр.,(г!!)...гр. (г) ) (117.О) координаты й-й и !Чй частиц и замечая, что функция Чг для частиц Бозе при этом не должна измениться, мы, сравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях, найдем, что с(пг, ..., ггм ..., пл ..., пА, !) = =+с(п„..., п7, ..., пы ..., пп !) (11710) Для двух частиц будем поэтому иметь Чг (г!г, г)!) = ~, с (гг! пг) (Чгп, (г)г) г)гл, (Чэ) +г(гп,(г)г) г(гл, (г)п)) (! 17.! 1) п,>л, Если взаимодействие между частицами слабо, то приближенное выражение для волновой функции состояния двух частиц, близкого к состоянию ггевзаимодействуюгцих частиц, в котором одна из частиц находится в состоянии п„а другая в пз имеет вид Чго ф (, )фл ( ) ! „1 ( )г)г ( ) (11712) В случае гу' частиц на основании сходной аргументации получим Ч"=.,~,Рфп,(г)г) "гР,М(г!и) "г(гл.(г)г)...Чгл,~(г)п), (117.13) где ~ означает сумму по всем гу! перестановкам координат частиц г!г, г! г)А' Глава ХХ ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТ И КА ф 118.
Вторичное квантование Ансамбли одинаковых частиц могут быть рассмотрены особым методом, носящим название вторичного квантования. Сущность этого метода заключается в том, что в качестве независимых переменных для описания ансамбля вместо полного набора механических вели пш, характеризующих индивидуальные состояния отдельных частиц, берут числа час/ниц в этих состояниях. Каждое из этих состояний будем характеризовать тремя переменными: Лы (.,„ /.„относящимися к движению центра тяжести частицы и спинозой переменной з, если частицы имеют спин.
Ради упрощения математического аппарата будем считать, что эти переменные имеют дискретный спектр, так что все состояния можно перенумеровать числом и так же, как это делалось в 2 1!6 (под и разумеется совокупность значений четырех величин: Л1 /-з са в) Обычно гамильтониан дается в координатном представлении, поэтому мы выполним сначала преобразование от координатного представления к «Еа-представлению, которое будем считать дискретным '). Если в координатном представлении волновая функция системы Ат одинаковых частиц будет чр(ды с/з, ..., дл, () то т) В теории вторичного квантования часто берут импульсное представление (сс=Рл /з=рз (з=рт).
Однако импульсное представление непрерывно. Поэтому прибегают к искусственному приему, полагая Р„=2пал„/1, ра— - 2пала/1 Р,=2лйн,/1, где пю нч, п,-нелые числа, а 1 — некоторая большая длина (ср. 4 120). Тогда импунльсйое представление становится дискретным. В окончательном результате переходят к 1 — ьсо и тем самым освобон<даются от этого искусственного допущения. Исчерпывающая теория вторичного квантования. применимая так>не и к случаю непрерывной последовательности состояний, была разработана В. Л. Фоком (Ъ'. /(.
Р о с )с, Рйуз. Яз. б. 5оч. ()п! оп 6, 425 (1054)). втотшное квлнтовлние э !и! уравнение Шредингера для этой системы имеет вид а2 где Й(дь)= — —, тгь" +у(д~) есть оператор энергии й-й частицы, Н(о„) — потенциальная энергия й-й частицы во внешнем поле, а )Р'(ды ~у,) — энергия взаимодействия л-й и 1-й частиц, Разложим теперь волновую функцию ф по собственным функциям ф„ь(дд) операторов ~„Л„(.„з ~очно таким же путем, как это делалось в 3 116.
Тогда получим т(Ч! Чм '' ~ чп !) =.'~~ ~ ".У,'с (по и., ", пн, () фл, ((,) фл, (),)...фл„(~п). (118.2) и и лп с(п,, и„..., пк, !) есть, очевидно, волновая функция нашей системы в «Гл-представлении. !с(п,, и„..., ап, !) ~' есть вероятность того, что первая частица находится в состоянии и, (имеет четверку ~н !... Еа, э, обозначенную одной буквой и,), вторая частица в состоянии аэ (имеет четверку (.и (.;, (.„', з', обозначенную через и,) и т. д. Подставляя (118.2) в (1!8.!), умножая уравнения слева иа ф„; (д,) ф* (д,)... ф,'пп (оп) и интегрируя по оо д„..., дп, получим Ф !й-, с(то тэ, ..., ть, ..., тл ..., тп, !)= = 'У', ) Н,; „„с(т„т„..., пы ..., т,, ..., тм, !)+ Ф=! ла и + ~ ~,У,'1Г, „тел лс(т,, п1м ..., пы ., пу, ..., тль !). (118.3) ь)) йь Здесь Н „,„„ и В' „„, ,„,.
суть матричные элементы Нв„, ль — — ()Ф,ь (Ь) Й (Ча) "Ьд (Чи) Й)ы (118 4) е~,вУ пьл~ =-()М„Иь) ф;,, (ду) Ф'(дь д) (ь„(уд фл,(ц) ск), гй1,. (! 18.5) Уравнение (1!8.3) есть уравнение (1!8.1) в ~ч.»-представлении, В силу одинаковости частиц матричные элементы (1!8.4), (118.5) зависят лишь от значения квантовых чисел т„, т,, пм пл а не от номера частиц К у. Обозначая какое-нибудь значение т„через т, пь через и, подобным образом т, через т', пз через и', координаты А-й частицы через д, а / — через о', мы можем написать ЩО ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАЕПОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ, ХХ (118.4) н (118.5) в виде *л г ~ „: „= — - „~ М (~) У' ф. (~) ~~+ ~ ф"л ( ) (7 (~) ф ( ) ~~ = = в ~ Уф„,()) Тф.())ад+ ~ М(7)(7())ф.())й|=-Ц„„, (!!8.8) Ж'»~ ~л ° л.= АГ'А = ~ лйлл (Ч) фль (Ч') ~' (Ч~ Ч') фл (Ч) фл (~)') гй) г(~)' = Кпа, лл" (118.7) Амплитуды с(ьчи гп„..., тпн, !) (волновые функции в «Б»- представлении) суть симметричные функции квантовых чисел ти т,, ..., Рпл для частиц Бозе и антиснмметрнчные функции для .частиц Ферми (см.
~ 116). Поэтому значения этих амплитуд зависят лишь от того, сколько аргументов нз нх полного чйсла У(пгы п~, ..., тм) равно и, сколько равно т', п1", ... и т. д.. а не от того, какие именно из этих аргументов равны гп, гп', я", ..., т. е. эти амплитуды являются функциями числа частиц в каждом нз состоянии. Обозначим этн числа через У„УИ ... ..., Ул„.,., У,„, ..., У,„-, ... и т. д.
Следовательно, например, У„, равно числу чисел гпл среди аргументов с(т„т„..., глА„Т), значение которых равно т, У,„равно числу чисел тл, значение которых равно т.' н т. д. В случае частиц Бозе числа Ул, могут быть любыми. Напротив, в случае частиц Ферми, в силу принципа Паули, функция с(тн т„..., щл, () обращается в нуль, если хотя два числа ты л1, равны между собою, так что Ул, принимает только два значения О нлн 1: состояние может быть занято только одной частицей или вообще не занято. Дальнейшие преобразования мы произведем для частиц Бозе. Наша задача заключается теперь в том, чтобы написать уравнение Шредингера (118.3), взяв в качестве переменных вместо квантовых чисел пгы и„..., щА. числа частиц в этих состояниях У„УВ, ..., У„, ... Для этого нам нужно прежде всего изменить нормировку амплитуд с.
В самом деле, если рассматривать с как функцию чисел У„У„..., У, ..., то ~ с(УО У„..., У„„..., 1) ~л есть вероятность нахождения У, частиц в состоянии 1, У, частиц в состоянии 2, ..., У„, частиц в состоянии ьч н т. д. Эта же вероятность выразится через с(ты и,, ..., гп,д, 1) в виде )с(УО Ул.....
У„„..., ()Р=~;)с(ти глл, ..., тпч, ()!', (118.8) где сумма взята по всем с(гпь тл, ..., гпА, г), имеющим Уг чисел тл, равных 1, Уе чисел т„, равных 2, и т. д. В силу симметрии все этн с равны между собою. Поэтому )с(У» Ум ..., У, ..., 1)!л= (с(л!„щ„..., лтА () !' (118.8') з гглг втошсчнов квхпговзннв откуда с(Мг, Мм .", М„„..., 1)= Лгг Г|я = (, „,, ) с(тг, ты ... тгг, 1). (118.9) п" афпг ° ° ° Подставляя теперь в (118.3) вместо с(пг,, пгг, ..., ип, () амплитуды с(Й„Мг, ..., М, ..., С), мы можем выполнить суммирование по номерам частиц )г и /.
Для этого воспользуемся (118.6) и (118,7) и заметим, что с(т„и„..., ты ..., и;, ..., тл, С) отличается от с(т„т.„..., пы ..., игч ...„тх, г) тем, что число частиц в состоянии тг=т уменьшилось на 1, а число частиц в состоянии пс=п увеличилось на единицу. Подобным же образом с(т„тм ..., и„, ..., пг, ..., ип, () отличается от с(т,, т„..., тгн ..., т, ..., тп, () тем, что число частиц в состояниях ип=гп, и,=-пг' уменьшилось на 1, а в состояниях п„=п, п,=п' увеличилось на 1.
На основании этих замечаний находим гй «(/'Лггг" Згтг" М,лл" Мпг "Гглз "~Ч*Х с „1(( Лг! хс(Мг ",М ",Мт," М.," М'," ())= г М пю гпггг "° (лст г) "° ил" ° Оп+ () "сппл" г ь М Л( ( 3 ' т юл ' и и" ' Хс(Мг~ " Мт — 1, ", Мт, ", Мп+1, ", Мл. ", С)+ г д + 2,~ ~~~~~ МлгМп1')Г'лпл', т1'Х т, т' л. и' (' -'' '' ''-Г М гг " (Хгт — г)! " (Л'т — г)' " (гч л + Г)' " Рп + г)г ... ('~'* ХС(Мг, ..., Мт — 1, ..., Мл, — 1, ..., Мп+1,, Мп+1, ..., Г). (1!8.10) 1 лч Деля на (...', ) з, получим 1 г"- гс с(Мгю ~ Мт~ ° ° ) Млс~ ° Мп ° ~ Млч ° ° ° у () = ~ М,„*(Мл+!) Н.„Х л, л1 Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
