Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 94
Текст из файла (страница 94)
При этом, так как под и, подразумеваются те же механические величины, что и под п„то ф„,— такие же функции, как и фв„с той лишь разницей, что они относятся ко второму электрону, так что у них в качестве аргумента вместо в, стоит в,. Разложим функцию Ч" (дь д„() описывающую состояние системы, по собственным функциям измеряемых на электронах величин, т. е. по ф„, (в,) и ф,,(а,). Получим Ч'(ды дь () =~,У',с(п,, и„1) ф„(в,) $„, (дз), (116.7) е, т где с(п„п„Г) = ~ Ч' (а„ве, 1) фт (а,) ф„', (в,) йа, йц;, (116.8) при этом, написав в (1!6.7) сумму по п, и и,, мы предположили, что измеряемые величины принимают лишь дискретные значения.
Егл. х1х систсмы из одинлковых микеочхстнц Если бы они принимали непрерывные значения, то следовало бы вместо суммы писать интегралы. Это не изменило бы дальнейшего хода рассуждений. Поэтому ради определенности мы сохраним обозначение через сумму. Сумма по п, и л, распространена по всем значениям п, и л,; кроме того, и, и л, пробегают одинаковые значения (тск как речь идет об одних и тех же механических величинах как для первого, так и для второго электрона). Согласно обшей теории величина ю(п,, л„Е) =~с(л„л„Е) ~з (116.9) есть вероятность того, что в момент времени Е иа первом электроне будет получено значение измеряемых величин, равное п„ а на втором — значение тех же величин, равное л,.
Переставим в 'Р(д,, д„Е) первьш и второй электроны. По предположению мы имеем дело с частицами Ферми, так что функция 1г" изменит при этой перестановке свой знак. Следовательно, Ч" (Чэ, дп Е) =~'~"„с(п„пз. Е)ф,(д2)фю(с1) = а, л„ = — Ч"(у„ с„ Е), (116.10) т. е. ~', ~,' с (л„, и„ Е) ф , (с2) ф,, (Ч1) = ьь и, = — ~~ ~ч~ с (лм л., Е) ф„(д,) ф,ч (д,). (116,11) ю ьч Если мы теперь изменим обозначения, заменив л, на п„а пз на п„все останется по-прежнему, так как суммы распространены по всем значениям п, и п„и они пробегают одни и те же значе- ния.
На основании этого замечания мы можем переписать (116.11) в виде ~~Ч~~с(п„п, Е)ф,,(ч ) Р,,(ч1) =— П й — '~ ', ~ с (п„л„Е) ф,, (с,) ф„, (с,). (116.12) л, л, Эти ряды по ортогональным функциям могут равняться друг другу только при условии, что коэффициенты прп одинаковых функциях равны между собой, т. е. с(п,, л,, Е) = — с(п., п„Е). (116.13) Для л, =л, мы получаем, что с (л„л„Е) = — с (л,, л„Е), (116. 13') но функция, равная самой себе с обратным знаком, равна нулю.
Следовательно, с(п, л, Е) =О. (116. 14) э гм! чхстицы ьозе и чкстицы Фееми пеги!шп! ПАуяп воз Подставляя эго в (1!6.9), находим, что если значения п, и л, одинаковы, то вероятность ю(п„п, !) равна пулю: го(п, и, !) ==О. (116.15) Тем самым наше предположение доказано: вероятность того, что одновременно в системе двух электронов будут измерены на обоих электронах один и тс же значения одной и той же совокупности механических величин, характеризующих состояние электрона, равна пулю.
Следовательно, такой результат измерения невозможен, что и составляет содержание принципа Паули. Обобщение па 7!Г частиц проводится без труда путем таких же рассуждений как те, что были нами только что проведены для двух частиц. Волновая функция системы !!г(о„ ..., !)А, ..., др ...
..., аьч !).разлагается в этом случае следующим образом: Ч'(Чг, ", Чы "- ур" Чн* !)= = '~~ ... 'я ... 'х ... ~;с(п„..., пы ..., Пп ...,ПА, !) х л! ль л лп Хфлг(У!) "Р.А(У!)" ф.,(йт) "ф н(М, (1167') где с(лы ..., пы ..., лр ..., ПА, !) = . ° ~ с(!)! г(ЧА Ч! (у! ° Чн !) !гл, (Ч!) ° ч!лн (Чн) (116 6 ) Вероятность найти значения измеряемых величин равными л, на первом электроне, л„— на й-м, л, — на !См, пн — на !!г-м, равна го(лг, ..., л„..., пр ..., лА, !) = = ~с(л„..., л„..., пр ..., Пн, !) ~'. (116.9') Производя в (116.7') перестановку й-й и 1-й частиц и меняя суммирование по а„ на суммирование по и и наоборот, мы в полной аналогии с (!16.11) н (116.!2) получим с(л,, ..., а,, ..., а„..., п„, !)= = — с(аы ..., лы ..., пр ..., пА, !), (116.13") откуда следует, что с(п! ° ~ лр ° ., пе~ „ .1 пню !) = О для пе = пр (116.14') Следовательно, и!(л,.
.. ПА, ..., Пгь ..., пь, !) = О для ле = пр (116.15') Так как это доказательство применимо к любым парам частиц (й, !) пз числа 7!г часпщ, то все пл должны быть различны, иначе и! = О. Таким образом, вероятность найпьи в системе частиц Ферми хотя бы пору чзстиг1, для которых результаты измерений всех [гл. х!х СИСТЕМЫ ИЗ ОДИИАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ величин, характеризующих сосгпояние частицы (ли), одинаковы, равна нулю, Например, два электрона не могут иметь одинаковый импульс и одинаково направленный спин (в этом случае л„ = л;, причем под и следует разуметь ри, р,, р„ в).
Подобным же образом нельзя обнаружить в одной и той же точке пространства два электрона с одной и той же ориентацией спинов (тогда д„ = д;, причем под о разумеются х, у, г, в; при о„ = ду функции (116.7), (1!6.7') имеют узел так, что 1Ч'," обращается в нуль). Этн же утверждения справедливы также и для всех других частиц Ферми, для позитронов, протонов и нейтронов.
В заключение отметим, что так как электроны являются составной частью атомов, а протоны и нейтроны — составной частью атомного ядра, то принцип Паули имеет первостепенное значение как в теории электронной оболочки атомов, так и в теории атомного ядра. й 117. Волновые функции для системы частиц Ферми и частиц Бозе Рассмотрим несколько подробнее волновые функции, обладающие свойством симметрии илн антисимметрии в частицах. Начнем с антисимметричных функций, принадлежащих частицам Ферми.
Сначала обратимся к случаю двух частиц. Антисимметричная функция двух частиц Ч' (о„д„с) может быть разложена по собственным функциям Ч!„(о,) и фл,(ои), принадлежащим отдельным частицам. Ч" (ди (!м !) = ~" У, 'с (п„л„!) !Ри, (д!) Ч!и, (дв). (117.1) л, л. Выражение (117.1) мы можем представить в ином виде, разбив сумму на две части, в одной пусть л, лгл а в другой п,(л, (п,=л, выпадает, так как с(ли пи !)=0)! Ч" (ум уы !) = ~л ~~с(л!, лм !) «рл, (ч!) фл, (Дз) + л,>л, л, + ~ ~",с(пь пе. !)Ч!„,(о,)Ч!„,(у,), (117.1') л~ <ил ла Меняя во второй сумме индексы суммирования лт на л, и и, на л„получим Ч' (ум ум !) = ~Ч,' ~ с (л„п„() !Р„, (ут) !Р„, (д,) + «,>и, «, + Х Хс(пм л1 !)ф,(у1)!Р,(ув), (1171") л«<л~ «1 волновые етнкц11и для ееемн и воза-ч»стпц воз З 1п) и, наконец, переставляя и, и п, в с(пь пь !), мы получим на основании (116,13); Ч/(Ч1, Ч», /) = Я ~ С (пь Пь Г) (Фл, (Ч1) 2Рл, (Ч») — фл, (Ч») фи, (Ч»)); (117.2) л,>и, ии выражение в скобках можно представить в виде определителя и записать Ч' в виде 112(Ч Ч ()= Х Х/с(пь пь ()1 ~ (1173) И„(Ч1) Ф„(Чд1 Таким образом, антисимметричная волновая функция представляется в виде суммы (или интеграла) определителей вида 1$, (Чи) 1!.
(Чл)! л, и, л " (117.4) Если мы имеем дело с М частицами, то подобным же образом легко получить, опираясь на (116.13), в общем случае '!" (Чь " ю Ч»~ ° .и Ч/..~ Ч//~ т)= — Я ... ~ с(/гь ..., и», ..., и/, ..ь пл,/) )с 1 2 Х ®л,~ ".~л», ° ",л/ " и иу(Ч» " и Ч», ", Ч/, ", Ч/ч), (117.5) где Фл, ...,л»....,л/, ...,л»/ (Чь ° ю Ч» . и Ч/~ . 1 ЧФ) = Ч1„(Ч ) " Ч/„(Ч») ".иг„(Ч/) "М'„(Ч»1) Ч„(Ч1)" Фл, (Ч»)" Ч1и, (Ч/)" Фь(Чл) (117.6) ')и» (Ч1) ".Ч.» (Ч») " Ф.» (Ч/) " Чл» (Чм) Флм (Ч1) и// (Ч») ' 1и// (Ч/) Ч/и// (Ч//) Раскрывая определитель, можно написать Ф также в виде %21, ..., л», ....и/, ...,и»1 (ЧЬ ° "и Ч»~ ° ° ° ~ Ч/. ° ° ° и ЧМ) = =,У, '( )РФи,(Ч1) "Ь„(Ч») . ф . (Ч/) фи//(Ч д) (1176') р 1 ' ' » ' / Здесь сумма взята по всем У! перестановкам координат частиц Чь ..., Ч»/, причем знак + или — берется перед слагаемым в (117.6'), смотря по тому, получается лн некоторое расположение величин Ч из расположения в порядке возрастакицих номеров Чь Чь ..., Чь Ч»~1,, Ч»/ путем четного числа парных перестановок или путем нечетного числа парных перестановок.
сис~смы из одннлкопых мш ночлстпц 1гл. хи; Приведенное представление антпсимметрцчиых волновых функций в виде суммы определителей очень важно в практических приложениях теории при приближенном решении задачи о двпжениш многих тел. Допустим, что нас интересуют волновые функции стационарных состояний двух электронов в атоме.
Такие функции найти, вообще говоря, довольно трудно. Напротив, функции одного электрона найти значительно проще, Допустим, что этп функции мы знаем — пусть это будут функции фч(д,) и фь(дэ), Если взаимодействие электронов не сильно, то волновая функция системы двух электронов будет такова, что состояние каждого из электронов будет мало отличаться от состояния одного электрона в атоме в отсутствие другого электрона.
Если же один электрон мы помещаем в квантовое состояние, характеризуемое величинами (квантовыми числами) п„то вероятность найти какое- нибудь иное значение и,' в этом состоянии равна нулю. Подобным же образом, помещая второй электрон в состояние л„мы должны будем утверждать, что вероятность найти и„' равна нулю. Если мы теперь имеем дело сразу с двумя электронами в атоме, то в случае слабого взаимодействия между электронами состояние прн помещении второго электрона должно мало измениться. Это означает, что если теперь вероятность найти п,=-п,' и лэ=-и,' и будет отлична от нуля, то она все же будет мала, а стало быть, все с (и,', л„'Г) в (117.3) малы, кроме с(л„л„!).
Пренебрегая всеми с, кроме с(пы и„!), мы получим из (117.3) волновую функцию Ч" для двух электронов атома в нулевом приближении: 'Р(дь и„!)=с(п,, лэ, !) ~ ' ' ' ~, (117,7) ! $„(ч,) р„(чз) ! 1')а, (чд Фл, ("э) и так как общий множитель с(п„п.„!) не играет роли, то 'Р=гй.иь(йь П,). (! 17.8) Аналогично и в случае многих частиц, при условии слабого взаимодействия между ними, функциеи нулевого приближения для системы частиц Ч" является Ф,,, „„, „л (д,, ..., и„,... э" ° л- У и,;) (117.6), если ф, (и,), ф, (о,), ..., ф„,,(пл) суть функции электронов без учета взаимодействия. Таким образом, представление антисимметричной волновой функции в виде определителя (117.4) или (117.6) дает приближенный способ для представления волновых функций системы слабо взаимодействующих частиц через функции отдельных частиц в отсутствие взаимодействия между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
