Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Из сказанного следует, что полная функция нашей системы в начальный момент времени будет иметь вид Феа(Я, х)=тРе(ф(грае(х)+тра(х))=Фее(() х)+Фее'((), х), (6) а одна из возможных функций конечного состояния на основании (3') и (6) запишется в виде Ф„, ы ((',г, х) = ф, (()) гра (л), (7) Полная волновая функция в момент времени г' может быть вычислена методом, изложенным в Я 84, 85.
Именно, в формуле (84.8) в первой сумме остается лишь одно начальное состояние, так как по предположению в нашей задаче других дискретных уровней нет. Поэтому индекс л в (84.8) теперь имеет смысл двух индексов 0 и й, как это и написано в (6). Непрерывный индекс се представляет теперь два индекса р' и й', как это указано в (7). Далее, коэффициенты с„, согласно (84.9) и (84.10) '), суть линей- г) й(ы будем опускать индекс (1) у с'г', дабы избежать громоздких обозначения. дополнения ные функционалы от начальной функции ф„(х).
Поэтому в решаемой сейчас задаче коэффициенты будут линейными функционалами от Ф;» и Фмь Зги соображения позволяют написать полную волновую функцию нашей системы в момент времени ! в виде Ф((~, х, 1)=Ф»(Я, х)+Ф'((~, х, !)+Ф-(Я, х, !), (8) где функции Ф+ и Ф- определяются формулой Ф-Я, х, !)=~сАм(!)Ф,»,(9, х)е 'шы+»" др'~(й'. (9) Здесь Е = — „есть кинетическая энергия шарика после того, дл как он выброшен из углубления е» = — — энергия частицы '= 2М после рассеяния. В начальном состоянии зти величины равны соответственно »» Е=Е» 2М ' Вводя обозначение (1 = Е»+ е» вЂ” Е» — е», (10) (11) получим, согласно (84.!3), А, » !в ! ~Р» (()=, йгр~, »ч, „ (12) где ,-Йм »2.
»»х %'»с»э о, »=И ~ ~Ь* (Я) =бй — х)»ро(О) —,Й)дх. (!3) 2п !' 2п й'+Р '+ й ~ 0. (15) Далее, из закона сохранения, который, конечно, соблюдается и нашем случае (система консервативная!), имеем (й' — й) (А'+ А) = 2)»Е» — м р'*, откуда для малых )» и больших М следует (Й' — й) (А'+ й) -' О, (17) Выполняя интегрирование по х и замечая, что в области, где »р»(!',!) отлично от нуля, функция ф' (Я) аппроксимнруется волной !уре-м'о, получим после интегрирования по 1~ компоненту Фурье от ф»(9). Эта компонента принадлежит гармонике с волновым числом, равным д=й'+Р'.+.А: )Р-" = й!У»»Р» (й'+ Р' =' й).
(14) Для неглубокой и полной ямки ф»(д) отлично от нуля лишь около 4=0, т. е. хис ЕЗАимоденствие микРОчАстицы с мАкРОскопическим телол! 663 Сопоставляя это с (15), найдем й'= 1-л, р'= + 2й. (18) Иными словами, микрочастица упруго отражается от шарика, передавая ему импульс 1-2й, что и следовало ожидать в этом случае. Пользуясь формулами (9), (!2) и (14), получаем следующее выражение для волновых функций Ф вЂ” (Я, х,-!): Ф. (!1 х !) — ~Е. е- ! г+'А! ~ й1„,1р~(р'+ й'-+-й) Х !' 2п ,— ив Х фР Я) е"" г!р' г(й'. (19) Главный вклад в интеграл (19) идет от окрестности резонансной точки !г=О.
В окрестности этой точки имеем !) =Ео+ЕА — ЕА' — ЕР+(ЕР— ЕР) =Ее — ЕР = = — (рг р') = ~ (р р) =,(р р) Е= 0(, — г= — др', (2! ) д=-р'+й'-+ й=-й'+ й+р — — „', (д=-Ы. ы ' (22) После выполнения интегрирований по д и г получим из (!9) Фв(Я, х, !) = 1г — е !(~г+'А)' — ~ — 'фг (х) еыо-!!Р.'А!АЕ ( ), (23) где последний множитель равен (24) Этот интеграл есть разность двух разрывных интегралов (25) причем +со гыг ! 2л!', а)О, г ~ — 2 ' О В силу множителя ф,(х) функции Фе((е, х, !) исчезают при х~ а. т, е. вне ямки. Поэтому проще всего проанализировать где р есть значение импульса шарика после рассеяния, о — его скорость.
Введем теперь новые переменные интегрирования дополнения формулу (25), положив там х = О. Заметим, что для Ф' о ~ О, а для Ф о<0, Поэтому, если Я -'О, то Ф'==О, если же ог'- Я)0, то г"= — 4п(, наконец, при ())И Е опять равно нулю. Для функции Ф- таким же путем получим, что вие интервала М((~(0 г =-О. Построим теперь матрицу плотности для нашего случая: р((), х; Я', х', ()=Ф*Я, х, ()Ф(Я', х', )).
(26) Сюда следует подставить волновую функцию (8), заимствуя Ф' и Ф- из (23). Нетрудно убедиться, что при (Я(, (~'! — ~со все о1 члены, содержащие множители Фе ф, х), исчезают как е "'* о" или е ~'*. Далее, интерференционные члены Ф" Ф- исчезнут из-за свойств функции Р(,"). Поэтому для (- со и ~Я(, ((7)~а получим два неисчезающих члена р(Я, х; Я', х', ()= = Ф" (ф, х, () Ф" 0;Г, х', () + Ф-* (Я, х, )) Ф- ((7, х', ~).
(27) Таким образом, участие в рассматриваемом явлении макроскопического шарика привело к разрушению когерентиости состояний гр,.' (х) (2). Из свойств функции г ( ) следует также, что при Я, Я'-~со и при 1- со в (27) остается только первый член, свидетельствующий о том, что шарик покатился направо. При (~, Я'-~- — со остается лишь второй член, т.
е. шарик упал налево. Таким образом, рассмотренный детектор действительно различает знак импульса, переданного ему от микрочастипы, и тем самым позволяет осуществить задуманное измерение: определить знак импульса микрочастицы до ее рассеяния. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
