Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Умножая (25) на ф (а), интегрируя по $ и принимая во внимание ортогональность и нормировку функций лр„(16), получим ~ ф,М.4= ~/ — 6„,, +1/ — 6,„, (26) что дает интеграл (48.7). Подобным же путем, исходя из (25) и ортогональности, можно вычислить интегралы от любой целой и положительной степени $. ХЬ КООРДИНАТЫ ЯКОБИ Следовательно, р„=сонэ(=Р;, р =сонэ(=р„" ('4) (5) Полагая у=);- > !»о= > ееус' ' Ис получим >го!> — = — во>'г', )' = а Б!п в,1+ Ь сов в»1, йо и, стало быть, > У=аз!пво(+Ь созв,1 — —..—. сре е.Я" ' (б) (7) (8) Далее, р — = р,"+ -- ЛУ = р,"+ — Л" (а з !и во( + Ь соз во( — —., ~ срк си е с е с ееЯ" 1' х = — а сов во!+ Ь з ! и во(+ х„ (9) (10) Х1.
Координаты Якоби Согласно формулам преобразования (104.3) имеем -"! = —, Ь=;1; -'--=-1, й=1+1; -ь!-=0 У~1+! причем ! Мт= ~ т» »=! есть масса первых 1 частиц. С помощью (1) и (2) находим (2) т, е, движение происходит по кругу (.-хо)~+(у+ — '. ) ="+Ьо ср„". с центРом в х=хо, У= — — ", и с РадиУсом )1= !'ае+Ь'. ЭнеР- еЯ" гия движения не зависит от р," — эта величина определяет положение центра круга. Полная параллельность этого классического расчета с приведенным в 2 57 квантовым очевидна. дополнения т. е.
мы получаем формулу (104.9), приведенную в основном тексте. Сходным же образом вычисляется оператор кинетической энергии. Достаточно вычислить оператор т. е и — ! Р„р= — —., + т — — „, 1 д-'4! 'ъ! 1 д!4! (7) М дЦ, ~~~ и/ дЦ /= ! где р/ есть приведенная масса центра тяжести первых / частиц и (( + 1)-й 1 1 1 и /и/ тн' (8) Имея в виду, что Рф=(Р„+Р„+Р,) р, из (7) получаем (104.4) // — ! Рф=- — т/м !()+ Х вЂ” пк.
1 1 /=1 (9) (10) ь=! ь=! С помощью (1) и (2) находим ( ° г /!/ — — !", !- —,' ~. (5! Первая сумма по (! в (5), как легко видеть (путем изменения порядка суммирования по //, (' и /'), равна нулю. Вторая сумма преобразуется следующим образом: М // // !/=а ' " !'=!ь=! У вЂ ! // /!/ — ! 1 д!т 1 д-'4! 1 д!4! м — ! /= ! ХП. АНАЛНТНЧЕСКНЕ СВОЙСТВА РАССЕЯННОЙ ВОЛНЫ 657 ХН. Причинность и аналнтическне свойства рассеянной волны Рассмотрим простейший случай, который поясняет связь между причинностью н возможностью выхода в комплексную плоскость Е переменной со=-- (В! — частота, Š— энергия). = а Предположим, что некоторое рассеянное поле !р(1) зависит от источника я(Г) согласно соотношению -Есо !р(1) = ~ Й'(à — Г') Я(1') !(1'.
(1) = 1 пп — ~ Л" (à — р) (!Е'(Г') + 6!Е (1') — !Е ((')1 СУ'. (3) Подставляя (2) в (3), получим — = Л' (1 — ('). 60(!) (4) Для выполнения принципа причинности, необходимо, чтобы !р(1) зависела от силы источника !',!((') только в моменты времени, предшествующие 1. Иными словами, должно иметь место условие =0 для !')г, (8) откуда следует, что Ю(1 — 1') должно равняться нулю прн 1')г. Поэтому :Ф(г) = ~ ~(г') !) (г — !') (г'. (О) о В частности, для источника (е(Г), сосредоточенного в точке 1=0, получим Л'(1), ! )О, 0 1<0.
(7) Найдем компоненту Фурье от !р(!): +~~ СО ф (!В) = ~ е!В!!Р(Г) г(! =- ) е!""Л'(1) ЕУ. (8) Изменим несколько источник в окрестности какой-либо точки г' так, что вариация бсг(1) =ей(! — 1'), (2) где  — некоторая величина, определяющая это изменение. Функциональная производная !р(1) по я(р) вычисляется следующим образом: дополнения Отсюда видно, что если рассматривать в как комплексную переменную, то интеграл (8) сходится при 1шы ) О, и, следовательно, ~р(ы) есть аналитическая функция в верхней полуплоскости. Тем самым и доказывается связь между причинностью н аналитическими свойствами рассеянной волны. Эти же свойства можно продемонстрировать, используя запаздывающую функцию Грина уравнения Шредингера (см.
дополнение ХП!). Х!Н. Функция Грина свободного уравнения Шредингера Уравнение Шредингера с потенциалом )г(х, 1): (1) может быть записано в форме интегрального уравнения. Для этой цели рассмотрим вначале функцию Грина д(х, г) свободного уравнения Шредингера, которая определяется следующим образом: (И вЂ” + — '7т д(х, () =60И(х) 6(Е). (2) Чтобы однозначно задать решение этого неоднородного уравнения, наложим дополнительные требования на искомую функцию д(х, 1). Потребуем, чтобы д(х, 1) =0 при 1(О. (з) Такая функция Грина называется запаздывающей.
С помощью д(х, 8) решение полного уравнения Шредингера (!) можно представить в следующем виде: ф(х, 1)=ф,(х, 1)+~у(х — х', г — Г) Р(х', Г)ф(х', !') г(х'г((', (4) где ф,(х, 1) — решение свободного уравнения Шредингера (уравнение (!) с г'=О). Физический смысл ф„(х, 1) легко понять, если рассмотреть потенциал 1'(х, 1), который <включается» только после некоторого фиксированного момента времени г=(,. Тогда нз уравнения (4) следует, что при 1(1, ф(х, 1) =~К(х, 1), т. е. 'фа(х, 1) — это та волновая функция, которой обладала система до включения взаимодействия.
Интегрирование по ЫГ в формуле (4) ведется фактически только при Г (1 из-за свойства (3) запаздывающей функции Грина, Это как раз и является отражением принципа причинности в квантовой механике: значение волновой функции ф(х, 1) в данный момент времени ! определяется воздействиями на квантовомеханическую систему только в предыдущие моменты времени Г(г. С математической точки зрения выражение (4) представляет собой интегральное уравнение нп волновую функцию ф(х, 1), значение которой равно ф,(х, 1) до включения взаимодействия.
ХНЬ ФУНКЦИЯ ГРИНА СВОБОДНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Впэ Найдем теперь явное выражение для функции Грина д(х, (). Представим ее в виде интеграла Фурье гд(х, т) = — ~ ет (то, 1с)е — с(м'-"М АЖ. (2п)т Далее учтем, что 6(ю (х) б (() = — ~ е- ' (на — ам т(м с()с 1 (2п)т Подставляя эти выражения в (2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим ес(от, 1Г) = ав — "' 2м Поэтому — ом+ ат 2т (5) .
Юс~ Ф (х 1) — 2™ ~ е е~л с((Г Обратимся сначала к интегрированию по от. Подынтегральное ааа выражение в (5) содержит полюс при та=ото= —. Чтобы фор- 2тп мула (5) имела смысл, необходимо определить путь обхода этого полю- 1пип са в комплексной плоскости ы, Выберем этот путь таким образом, чтобы д(х, () удовлетворяла условию (3). а(7,йев Легко проверить, что контур, показанный на рис. 103, как раз приводит к нужному результату. Действительно, если 1«-0, то интеграл по т(от в (5) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, дополняя Рнс (ОЗ Комплексиап пло- скость переменион Ф н контур контур С на рис.
103 полукругом интетрироаакнк при (-.0. бесконечного большого радиуса в р, „, „„„р „, я верхней полуплоскости. Такое дополнение можно сделать благодаря множителю е-т"' в подынтегральном выражении в (5). При этом полюс со=сна остается вне контура и вычет равен нулю. Таким образом, д(х, 1)=0 при 1<0. Если же ()О, то, обходя полюс о>=ото сверху и замыкая контур бесконечным полукругом в нижней полуплоскости, мы сведем интеграл в (5) по то к вычету в полюсе то=сна.
Таким образом, получим дополнения +СО Интеграл в (6) может быть сведен к интегралам типа ~ е-еее*ей = = (я/еа)'л (а О). Не останавливаясь на подробностях вычислений, приведем окончательный результат ы ее(х, ().= а ~2л~И ) с ( т 1ле'аь е О, е < О. Заметим, что если бы мы обходили полюс еа=еа, снизу, то мы получили бы опережающую функцию Грина, соответствующую обращению времени 1-+ — е. Эта последняя функция равна нулю при ~)0. Опережающая функция Грина также отражает причинность, но соответствует другой постановке начальных условий: по заданному значению волновой функции в будущем (( =- + со) определить ее в предшествующие моменты времени.
Такая необычная постановка вопроса не встречается в практических приложениях квантовой механики, Х1У. Расчет взаимодействия микрочастицы с макроскопическим телом В качестве макроскопического тела рассмотриея шарик с массой М. Координата центра тяжести шарика пусть будет с(. Его потенциальная энергия (е'(9) изображена на рис. 102. В вершине усеченного конуса имеется небольшое углубление, обеспечивающее относительную устойчивость шарика.
Достаточно сообщить шарику незначительную (микроскопическую) энергию ЛЕ и шарик покатится по плоскости и далее под «откос». Координату микро- частицы обозначим через х, ее массу — через р. Частицу считаем свободной. Для простоты предполагаем, что взаимодействие мпкрочастицы и шарика осуществляется только в центре шарика. В этом случае энергию взаимодействия можно записать в виде В'(Я, х) =дб(Я вЂ” х), (1) где д — некоторая константа взаимодействия. Преследуя в рассматриваемом примере максимальную простоту, мы приписываем шарику лишь одну степень свободы.
При таком упрощении необязательно пользоваться матрицей плотности. Более того, будет удобнее пользоваться волновыми функциями. Положим, что в начальный момент времени 1 = О микрочастица описывается стоячей волной: <ре (х) = ерш (х) + ер» (х), (2) где е э'ы ер — (х) = Р' 2п хгч. Взаимодействие микРОчастицы с млкРОскопическим телОм бя Здесь й — импульс частицы (постоянную Планка в дальнейшем положим = 1). Сопряженную волновую функцию микрочастицы в конечном состоянии после рассеяния на шарике обозначим через е -га'а тра (х) =' —.. р 2л (3') Волновая функция шарика в начальный момент, когда шарик находился еще в ямке, приближенно описывается функцией нижнего состояния осциллятора яа тр (()) а заг (4) где а — амплитуда колебаний шарика в ямке (см.
рис. 102). После рассеяния микрочастицы на шарике последний приобретает импульс р', и так как его масса велика, то его волновая функция тр ° (® может быть описана с помощью функции действия 5 (р', ф так, что ф,* ((,"г)=У,е" (6) Причем, пока шарик еще остается иа плоской вершине, 5 (р', (б) = = р'(,г. )ч', есть нормирующий множитель. Далее за пределами площадки шарик будет скатываться вниз, ускоряться, и импульс р' станет растущей функцией (',). Вместе с тем будет уменьшаться а длина волны х= —,, что и показано на рис. 102. Вычислять Р" подробно функцию 5 (р', (~), как будет видно из дальнейшего, нет необходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
