Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Из (16) следует, что ряд может оборваться лишь в том случае, если й (Ь вЂ” 1) + 2 (~ т )+ 1) й — Х + ! т (+ и' = О, Ч. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ут 1$, Ф) Полагая мы получаем lг+ ! пт 1, = (, (18) Из (15) при ! т ! = О получаем У (У+1) — 1(1+1) Ь (24) тлв (у+ 2)(в ! !) т' Отсюда мы видим, что если взять ЬвФ-О, Ь,=О, то многочлен Р, будет содержать лишь четные степени $, если же Ь,=-О, Ьт~й, то только нечетные. Выбирая Ь, (при четном () илн Ь, (при нечетном !) так, чтобы соблюдалось (23), мы можем вычислить все коэффициенты в многочлене Р,. Можно проверить, что получающийся многочлен может быть представлен формулои йж.(! ф~ (в (25) Имея в виду (2), (4) и (21), мы получаем собственную функцию уравнения (1) в виде )лт (6, тр) = А(т„,Р ~в' (сох 6) с'"'с, (26) где А)т — нормировочный множитель. Вычисление этого нормировочного множителя, которое мы опускаем'), приводит к т) См., напримср, А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наукал, 1966, стр. 670. а) См., например, Л. Ш ифф, ))вантовая механика, ИЛ, 1967, й ПИ Л = ! (1+ 1), 1 = О, 1, 2, 3. (19) ~т ! '= О, 1, 2, ..., !. (20) Можно доказать, что никаких других собственных функций уравнения (1) не существует'). Решение 6, принадлежащее характеристическим числам ! н пт, мы обозначим через 6 (6) = Рт ! (6), й = соэ 6.
(о)) Если уравнение (15) дифференцировать по $, то получается уравнение, в котором !пт! заменяется на !т~+1. Поэтому если решение для т = О обозначать через Рт(й), то 'т' Рт!" Е =-(1-Ю '- РЛ). РтЯ) есть многочлен степени ( и называется многочленом (или полин омом) Лежандра. Коэффициент прп нем обычно нормируется так, что Рт(1)= 1, (23) дополнения значению )д э / (1 — (т И1 (21+ « ии Р (1+!тУ4я (27) Функции (26) образуют полную систему ортогональных функций на поверхности сферы О, гр.
Поэтому любая интегрируемая квадратично и однозначная функция ф(9, гр) может быть представлена в виде ряда со +1 »Р(9, гр) = У У сгт'г'1„(9, гр), (28) г-о т -г где с,т=) $ Р(9, р))"гт(9, р)з(па (агйр. о о (2й) В заключение приведем результаты применения к сферическим функциям некоторых операторов, встречающихся в приложениях: а) умножение на соз9=$ или з(па=)/1 — $': - ° /(1+оп+ «(1 — и»+ «э/(1-Ьп») (1 — »и) 97 гт — 17 — (21+ «(21+9) мы+ 17 (21+ «(21 1) 1-ьт (оо) а у Г .а/ (1 — и»+«(! — т+2) у ) 1 ь )гт )( ~г (о(+«(21.1 З) 1 ам т-г+ в / (1+ т) (1+ т — « б) действие операторов проекций вращательного момента Мл, М„, М;, У!.
Уравнения Гамильтона Пусть д„ д„ ..., д,, ..., д1 суть обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы, а р„р.„..., р„..., р1— соответствующие обобщенные сопряженные импульсы, Функция Гамильтона Н есть функция этих координат и импульсов и, ») Л. Ф. Н икифо ров, В. Б. Уваров, Основы теории специальных функций, «Наука», 1974, 9 15; Г. Беге, Э. Соли втер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгнз, 1960, стр. 539, М,У, =йту!, (32) (М„.+(М„) )'! = — й)/(1 — т) (1+т+1) )'г, »ы (33) Доказательство этих формул приведено в специальных курсах сферических функций '). тк УРлвне1!ия глм11льтонА 643 вообще говоря, времени 1.
Уравнения Гамильтона, как известно, имеют вид др, дй дв, дй !й дв,' ий др ' (1) Производная по времени от любой функции Р обобщенных координат, импульсов и времени будет дР' дР ~~ др сЬ, '~! др др !й д!+ ~!дч !й+ ~др ду' !=.1 5=! (2) Пользуясь уравнениями Гамильтона (1), мы можем переписать (2) в виде Ж дг+~ (3) где 1Н, Р) равно / '~! ~др дй дй дР'~ 5=1 и называется скобкой Пуассона.
Очевидно, что сами уравнения Гамильтона (1) могут быть также записаны с помощью скобок Пуассона ~~в=-~Н, р,), -д'=-"1Н, д,), з==!, 2, ..., 7 (для этого полагаем в (3) Р= р, и Р=!),). Как мы увидим (~ 31), в совершенно аналогичном виде пишутся уравнения движения в квантовой механике. В частном случае декартовой системы координат и одной частицы, движущейся в поле сил, выводимых из силовой функции (7(х, у, г, (), имеем (6) ди дх дН рх дх дг= ' =дрх= И (7) и аналогичные уравнения для остальных двух координат и импуль- сов. Из (7) находим и!х дй р !! дх ° (8) т. е.
уравнение Ньютона. В случае движения заряженной частицы с зарядом е и массой р в электромагнитном поле, описываемом скалярным (д1=х, а,=У, !)в=а, Р,=-Рх, получаем отсюда дрх дй ЕН' р"1 Рг = Р. Рх = Р,). На основании (5) дополнения 644 потенциалом У и векторным А, так что Ж= — 7У вЂ” — —, (9) др х дН дрх дН дрх дН сд дх ' д) др ' дг дг ' (7') дх дН дд дН дг дН Й др„' дг дрх' Л др, (7") эквивалентны уравнениям Ньютона для той же частицы, движу- щейся под действием силы Лоренца: (8') (8") (8'") Подставляя в (7') и (7") О из (6') и производя дифференцирова- ние, получим дг — — — ((Рх — — Ах) д +(Рс с А„) д + (9') Из (7") получаем ",', = — '(Рх — — ', Лх).
(10') Из (10') следует, что дрх Фх е дАх — х=р —.:-+ — — ' дг дн с Ш ' (11) Так как значение вектора-потенциала Ах берется в точке, где М=гоЧ А, (10) где Ж вЂ” напряженность электрического поля, а да — магнитного, функция Гамильтона пишется в виде О= — -(р — — А) +еУ. (6') Докажем, что вытекающие из этой функции уравнения Гамиль- тона ть ТРАВнення ГАмильтОЯА б45 находится заряд е, то полная производная по времени от А, будет дА дА„дАхух дА, ду дАхдг — = — + —" --+ — ' — + —"— й д~ дх д4 ' дудс дгШ' (1 ) ПоДставлЯЯ в (9 ) значенЯЯ ~Є— — Ах, (Рх — — Ау), ~Р,— — А,) Ф из (1О') и значение ~ из (11) и пользуясь (12), найдем дг дхх е дАх дУ е )ду ~'дАУ дА 1 дг /дА, дА,' р --,= — — — ' — е -+ — ~ — — — — +угад — ' — д' ').
(13) ~йх с д4 дх с ГЖ(дх ду 7 Отсюда на основании формул (9) и (10), связываюших поле и потенциалы, находим (8"") т. е. первое из уравнений (8'). Подобным же образом получаются и остальные два уравнения (8") и (8"'). Таким образом, уравнения Гамильтона (7') и (7"~, вытекаю. шие из функцип Гамильтона (б'), эквивалентны уравнениям Ньютона (8). Потенциалы А и У могут быть выбираемы произвольно, лишь бы по (9) и (10) получалось нужное электромагнитное ноле. Если мы вместо А и У возьмем (14) А' = А+ т), У' = У вЂ” — —, где 1 — произвольная функция координат и времени, то Ж' = 6, Ж' =Ж.
Подставляя в функцию Гамильтона (6') А' и У' вместо А и У, мы, очевидно, придем к уравнению движения (13), если там под А и У понимать А' и У'. Пользуясь (14), убеждаемся, что новый выбор потенциалов не меняет уравнений (8'), (8"), (8"'). Это свойство уравнений Гамильтона называют эл е к т р о м а гнитной инвариантностью. Заметим, что, в отличие от уравнений движения (8'), (8"), (8'"), функция Гамильтона О меняется прн преобразовании (14). Например, движение в однородном постоянном электрическом поле 8, направленном по оси ОХ, может быть описано потенциалами А = О, У = — 6х.
Вместо этих потенциалов можно взять по (!4) другие потенциалы, например, А„'= — сй, А„'=А;=О, У'=О, Предоставляем читателю самому убедиться в том, что в обоих случаях мы получаем уравнение Ньютона для равноускорепного движения, но при первом выборе потенциалов функция Гамильтона Имеет смысл полной энергии частицы, а прп втором она равна кинетической энергии частицы. у||. РРАВнения движения В кРиволинейн. системе кооРдинхт 647 Р, = й22Рм!. (8) В качестве примера рассмотрим полярную систему координат г, О, |р. В этом случае Т(52=1!Тв+г'1(02+!'5)п'9|йр', дп=1, А!2=К', ам=К'5!Н28, (9) — Я22 = — —.:,— 22 = г 51П О, 2 . ! ", „1 2 22 г2 6|пп 6 гамильтониан будет равен «2!д' 2 д ! ! д!'. д! ! 02! 12 = — -[ — + —" -+ —,—.— !5!НΠ— !+ —,, — 1!+У.
(10) 2р [д!2 ! д! Тв ип 6 дв !, дв) г22|ппвд223 Найдем первую группу уравнений (операторы скорости), Согласно (7) имеем ,'—;=[О, г[, "-„',=Я, 9[, Я=!о, р[. (Н) Вычислим сначала первую скобку Пуассона. Для этого заметим, что В силу этого первая скобка Пуассона (11) дает 10 [ г) Р|м Для второй скобки Пуассона из перестановки (12) 1 д|. д! ! дl .
д! 2 д Π— — [51п 9 — ) — — [ 51п 0 — ) О = — = — ($~ 5 | и 8) 2!и 6 дв [ дв) 2!п О дв[, дв,) !' яп 6 дв получаем и — = — — ! — ()/ 51п 8) = Р|в! д! 22 Р 51Пвдв (13) и, наконец, для третьей скобки совсем просто получается йр 16 д р1 1 д1 !2 япв 6 д|р (141 Беря скобку Пуассона !(012!1'!Т! = [Й (7) мы получим контрвариантную компоненту скорости 5(д!2!(Л. Умножая на массу р, мы пол) чнм такую же компоненту импульса Р|*'.
Чтобы получить ковариантную компоненту импульса Р„преобразуем Р'| по формуле перехода от контрварнантных к ковариантным компонентам ДОПОЛНЕНИЯ дР, М дУ дрд ЫК 8 (", ац дУ Р2 дГ 2нг" дг' Ж Иггамз) " 4! дэ' ИР, ди щ д~р' (18) Из этих трех уравнений два (для Р, и Ре) совпадают по форме с соответствующими классическими уравйениями Гамильтона. ья а"- Уравнение для Ре вместо Р'- содержит Р" — —. Появление —— м 4' 4 связано с существованием в квантовой механике устойчивых состояний с М'=О, в конечном счете с нулевой энергией квантовых систем. Ч!!1. Требования к волновой функции При формулировке требований к ф-функцни естественней всего исходить из свойств гамильтоннана Й, поскольку именно этим оператором определяется физическая природа системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
