Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 121
Текст из файла (страница 121)
ф (х, А) по Е в малом интервале ЛЬ. Мы получим ь-~- ы. Ыф(х, 7-)= 1 И(х, () д7-, (2) где по Ь', мы найдем о+ ам Е ЛФ'(х, (.') = 1 ь'Ф*(х, Ь') Ж'. (5) Умножим (2) на Лфв(х, Г), а (5) на Лф(х, (.), вычтем один результат из другого и проинтегрируем по х. Тогда получим ') Кх(Лфв(х, Г) (.Лф(х, Е) — Лф(х, (.) Ь~Лфв(х, ь')) = ь+ вь = 1дх 1 с(7 1 с(Г((.— Г')ф" (х, Г)ф(х, (.).
(6) Левая часть равна нулю в силу самосопряженности оператора Е, а справа при малых ЛА и ЛГ' мы можем вынести (.— (.' за знак интеграла. Тогда получим ((.— Е') ~дхЛф'(х, Е') Лф(х, Т.) =О. (7) Если интервалы ЛЕ, и Л(.' не перекрываются, то (. ге 1.'. Отсюда следует ~ 0х Л'р" (х, Ь') Лф (х, Л) = О, (8) т.
е. ортогональность собственных дифференциалов. Если ЛЬ н Л(.' совпадают, то интеграл (8) не равен нулю. Нетрудно пока- Эту величину называют собственным дифференц и ал о м (оператора А). Примером такого собственного дифференциала является рассмотренная в т 7 группа волн. Мы докажем, что не сами функции, а собственные дифференциалы являюгся ортогональными и могут быть нормированы. Для этого проинтегрируем подобным же образом сопряженное уравнение 7 ~Ф(х, Ь') =(.'фв (х, (.') (4) пь оитогонхльность и ногмиеовкх совствгннык егнкции аза !пп — = 1, г ьь-о а~ т. е.
1г(ХДНФ(х, Е) Дф(х, Е) =ЛЬ (! 1) при ЛЕ-ьО, Формулы (8) и (11) можно объединить в одну, выражающую нормировку и ортогональность собственных дифференциалов: ~ г(х Лф*(х, Ь') Лф(х, Ь) =ЛЕ или О, (12) в зависимости от того, совпадают интервалы Ь, Е+ЛЬ и Е', Ь'+ЛЕ или нет. Освобождаясь от одного интегрирования (по г(Е) в (12), мы можем написать (12) в виде ~дхЛф*(х, Е')ф(х, Ь)=1 или О, (12') смотря по тому, попадает ли точка Е'=Ь в интервал Ь', Ь'+ЛЕ или нет. Условие ортогональности и нормировки (!2) или (12') может быть с помощью особого символа сформулировано для самих функций.
Для этого поменяем в (12') порядок интегриро- вания по х и Ж.'. ь+ы г(Е'~ф(х, Е)ф*(х, Е')Их=! илн О. (18) Введем обозначение ~ф*(х, Ь')ф(х, Е) г(х=б(Е' — Е). (14) Тогда из (13) следует ы.ь ы. Ж,'6(Е' — Ь) =1 или О, ()о) зать, что он будет первого порядка малости относительно ЛЬ. В самом деле, интеграл 1 = ~ г(х Лф~ (х, Е) Лф (х, Е) (9) можно заменить интегралом l, 1' =- ~ Их Лф' (х, Ь) ~ ф (х, Е) Л„ (10) причем Е, и Ь, выбраны так, что участок (Ь, Е+ЛЬ) лежит внутри участка (Е,, Еэ). В силу ортогональности собственных дифференциалов интеграл по участкам (Е„Е) и (Ь+ЛЕ, Ь ) ничего не добавит к интегралу (9).
Поэтому (9) и (10) равны. Но при ЛЬ-+0 (10) стремится к 0 как ЛЬ. Поэтому, выбирая подходящий нормировочный множитель, можно всегда сделать так, чтобы дополнгния смотря по тому, попадает лн точка Г = 1. в интервал (.', (.' + Л(. илн нет. Это последнее равенство мы будем рассматривать как определение символа 6(1.' — Ц, назывоемоео б-функцией или функцией Дира к а (на самом деле это не функция, а просто обозначение). Из (15) следует ((21.11)), что ь '1) (Г) б ((.' — Е) с((.' =1(Е) или О, а (16) ьгг ~Ь (х)=У е г', (17) где Ур — искомый нормирующий множитель, могущий а рпог! зависеть от р,. Образуем интеграл (14): -ь«о (Рк - Р .)» ~ф„;(х)ф (х) дх=У' У ~ е " -дх= +т (ьг — ег)к * е ~ ' ох =Уь,'У й !пп ~ е ь„ а (рх Р г) '" = У";Л'„й 1(ю, .
(18) е со (рг рг) 1 ап мг Сравнивая это с множителем Дирихле 1!ю — —, облада,л, я г ющим свойством б-функции от г (см. дополнение 1, формулу (!)), мы находим, что ~ ф; (х) ф, (х) дх = У р„'У, 2пйб (р„'. — р„), (19) смотря по тому, попадает ли точка Е'=1. в интервал (а, Ь) или нет. Для доказательства (16) достаточно разбить интервал (а, Ь'1 на столь малые участки, чтобы в каждом из них можно было вынести функцию (((.') за знак интеграла (для этого оиа должна быть гладкой).
Во всех участках результат интеграции в силу (!5) будет равен нулю, кроме, однако, как угодно малого, содержащего точку (.'=(.. В этом участке интервал от 6, согласно (15), будет равен 1. Вместо того чтобы говорить о нормировке и ортогональности собственных дифференциалов (12), мы будем говорить, что собственные функции нормированы к 6-функции (14). В качестве примера приведем нормировку собственных функций оператора импульса Р„, Эти функция суть Ип ЗИАЧЕИИЕ КОММУГАТИВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ 637 Отсюда определяем нормирующий множитель ~)Ч ~'2пй=1, )Ч =(2лй) — ч* (20) (разумеется, еще можно было бы включить фазовый множитель е1~(РР), где ~р — действительная функция, однако в этом нет никакой надобности).
ЪЧ. Значение коммутативности операторов Докажем теорему: если два оператора Е и М имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют. Обозначим общие собственные функции через ф„(х). Тогда имеем Г4.=Ь4~., Мф =М4' (1) Действуя на первое уравнение оператором М, а на второе оператором Е и вычитая один результат из другого, получим М(лр„= 1.„М„ф., УЬ~. = Е,МЯ„, (МŠ— ЕМИ„=О.
(2) Так как любую функцию можно разложить по функциям ф„, то мы имеем (МŠ— ЕМ) р=.'У',с„(МŠ— ЕМ) ф„=о, (3) л т. е., применяя оператор М1.— ЕМ к любой функции, мы получаем нуль. На языке операторов это означает коммутативность операторов МЕ-1.М =О. Покажем теперь, что если операторы ). и М коммутируют, то они имеют общие собственные функции. Уравнение для собственных функций оператора Е будет 6~ =-Еф. (б) Действуя на это уравнение оператором М и меняя порядок М1.
на ЕМ, мы получаем е (мф) = е (4ф). (б) Отсюда следует, что ф'=Мф есть также собственная функция оператора 1„принадлежащая собственному значению Е. Если вырождение отсутствует, то значению Е принадлежит лишь одна функция, а, стало быть, ф' может отличаться от ф лишь постоянным множителем, т. е. 1Р'=Мф Таким образом, Мф = М1)1, дополнения откуда следует, что ф есть также собственная функция оператора М. В случае наличия вырождения ф' может быть линейной комбинацией функцяй !Ь (я = 1, 2, ..., 1), принадлежащих собственному значению 1.: !Р'=М!Ь=,У, 'МилЬ, 1=1, 2, ..., 1. (8) ь=! Однако вместо функций фэ можно взять их линейные комбинации (см.
дополнение 1!) !р= ~ч', аэ!р„, (9) Ф'=! причем аэ могут быть выбраны так, что новые функции ф будут собственными функциями оператора М: Мф=Мф. (10) Подставляя сюда ф из (9) и пользуясь (8), найдем путем сравнения коэффициентов при !Ь ~ч'', Ми аь =Ма„я=-1, 2, ..., 1. (11) Ф-! Это — система однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов аь. Она имеет решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю: Мп — М М,, а!!Г Мэ, Мм — М ... Мм (12) Мп М!! -. и Из этого уравнения найдем корпи М!, М...., Мг. Лля каждогс из этих корней (М ) получим свое решение уравнений (11) а„.
а„м ..., а,г и, следовательно, согласно (9), свою функцию !р; фа= У! аа4Ъ Новые функции ф, (а=1, 2, ..., )), будучи линейными ком бинациями фы будут собственнымн функциями оператора г'., прн надлежащими значению 1., а вместе с тем и собственными функ циями оператора М, принадлежащими значениям М =М„Мм ..., Мя, ..., Мг, соответственно, У, СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Уьп (О Ф! 7. Сферические функции Ум,(9, гр) В проблеме нахождения собственных значений оператора момента импульса М' мы встречаемся с уравнением для сферических функций (25.14): — — ~з!п9 — !+ —., — +)лР=-О.
! д !, дф'~ 1 д'ф (1) Мп 0 д0 ~ д0,' Мп'-'0 ду' Нам нужно найти собственные функции этого уравнения (т, е. непрерывные, однозначные и конечные решения во всей области изменения переменных О : 9. "л, О : гр =- 2л). Разделим прежде всего переменные 9 и ~р. Для этого положим ф=:6(9) Ф(Ч) (2) Подстановка (2) в (1) приводит к разделению переменных, если положить Отсюда Ф,„(гр) = сы'Ф Чтобы Ф была однозначной функцией гр, необходимо, чтобы и было целым числом и=О, +1, +2, ... (5) Подставляя (4) в (!) и деля иа Ф, получим уравнение для О: (6) Введем вместо 9 новую переменную в=со09, — 1($ =+1, с(е= — з!лег(9 (7) н будем рассматривать 6 как функцию $.
Тогда из (6) полу- чается (1 — с') 6" — 2$6'+ (Х вЂ” —,) 6 =- О. (8) (10) Рассмотрим поведение решения О вблизи особых точек уравнения е= '+'1. Обратимся сначала к точке $=+1. Введем переменную г=$ — 1. Тогда из (8) получаем Будем искать 6 в виде ряда по степеням г: О=г"и, и=а,+ага+а,г'+...+а„гт+... ДОПОЛНЕНИЯ 640 Нам нужно сперва определить степень у, с которой начинается ряд. При г-о.О 6 = аогт. Подставляя это решение в (9) и пренебрегая бесконечно малыми меньшего порядка, нежели гт-о, мы получим нз (9) то ~ у (у — 1) + у — — ~ аогт-' = О, 4 ~ о откуда (11) То же значение у получается для разложения вблизи особой точки $= — 1. Чтобы решение оставалось конечным при $=-+.1, нужно в (10) взять (12) т.
е. для т) О у=- -, для т О у== — —. Второе решение (11) т т обращается в бесконечность. Таким образом, мы можем взять В в виде ~т| 6=(1 — $о) ' о, (13) где и†ряд по степеням г. 1-1ам теперь удобнее взять и в виде ряда по $: (14) о=о т. е. (17) Х = (А + ~ т !) (А +' ,и, ',+ 1). Подставляя (13) в (8), получим (1 — ~о) ьл — 2 (! т !+! ) $о'+ (Х вЂ”,' т ~ — лео) о = О. (15) Внося сюда ряд (!4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $, мы получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов Ь,: (э+2)(э+1) Ь„„=(т(т — 1)+2(!т (+1) ч — Х+!и!+то)Ь,. (!6) Если ряд (14) оборвется на каком-то члене номера т=й, то о будет многочлепом Ь-й степени, н, следовательно, (!3) будет конечным, непрерывным и однозначным решением, т. е. собственной функцией уравнения (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
