Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Нетрудно найти, что (138.6) Подставим теперь (138.4) в (138.1) и положим там !7» — — х — $, 17 — !7»=х — хо=ф, 1=1»+И. Далее то(хо 1о) =т!1(х — 5~ 1а) =1Р(х 1о) озх К+ о охо $ + и ехр ~ — 1, к'(х) Ж~ =1+ —.а )1(х) 61+ ... Выражение (138,1) теперь имеет вид тр(х, 1»+61) =С ~ о(кехр ~ — —,ао) [1+ —,„)г (х) 61+...]Х х[ф(х 1) — ~( ' ') $+ — ф( ' ') во+,.]. ()38.7) б12 3Аключение 1гл. ххлс +ол Пользуясь тем, что ~ е'"*с(г= ~ссс-"-, легко вычислить правую часть формулы (138.7). Интеграл, содержащий множителем ф(х, 1,), в силу нормировки (!38.6) равен 1.
Интегрирование слагаемого, линейного по Е, дает нуль. Интеграл, содержащий $', !!к равен — —. — Ы. Члены более высокой степени по $ стремятся си 2ссс к пулю быстрее, чем (й!)ч. Собирая теперь результаты интегрирования и замечая, что —,(ф(х, 1,+сл!) — лр(х, 1,)]-» д,' (мы ! дф(л', с) заменили 1, на 1, поскольку они не различаются при слс-л О), получаем для волновой функции ф(х, !), определенной с помощью (138.1) и (138.4), уравнение Шредингера (!38 6). Тем самым доказано, что метод пропагатора (метод Лагранжа) эквивалентен применению уравнения Шредингера — аналога метода Гамильтониаиа-Якоби в классической механике. После всего сказанного можно написать пропагатор и для конечного промежутка времени (с„!). Перемножая пропагаторы (138.4) для промежуточных интервалов (1„, с„с!) и интегрируя по промежуточным значениям переменных х„, найдем Ас — 1 к(*, с; .
с)= ~и (...! „с — „' Л (,(*"',,*'* — к(*,)л~))к АС-О А=! ХС ' с(х! с(хз ... с(хА,. (138.8) Этот предел многократного интеграла называется функциональным интегралом, Замечая, что при бесконечно тонком разделении интервала (!О, !) величина ~" ~ может трактоваться как скодк рость — = л., и обозначая элемент объема интегрирования С'с(х!...
дС ...с(хст ! через бс(х), мы можем записать результат (138.8) в компактном виде с сс(, с; „с,! ! с(*! р[-'-1с.(*, лспо~. (!38.9) !ц Интеграл, стоящий здесь в показателе экспоненты, есть класси- ческое действие 3= 1 с'. (х, Х) си. (138.10) Интегрирование в формуле (!38.9) распространяется не только на классические траектории, которые соответствуют экстремуму $!ЗО! ФЕИНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЯ МЕХАНИКИ 6!3 интеграла (138.10), но и на все траектории, соединяющие точки (1„ х,) и (1, х). Представление пропагатора в виде функционального интеграла по траекториям (!38.9) позволяет легко понять, почему в классическом пределе можно рассматривать лишь классические траектории. Действительно, если данную систему можно описывать классической механикой, то в этом случае действие 8 очень велико по сравнению с постоянной Планка й.
Рассмотрим траекторию, которая ие является решением классических уравнений движения. Всякое небольшое изменение такой траектории приводит к очень большому изменению отношения 51Й в формуле (!38.9) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате вклады От всех таких траекторий взаимно гасят друг друга. Поэтому в классическом пределе эти траектории можно ие рассматривать. Однако в окрестности траектории, определяемой классическими уравнениями движения, дело Обстоит иначе. Так как действие здесь экстремально 65=0, то малые отклонения от этой траектории не меняют величины 5.
Поэтому вклады в пропагатор таких траекторий взаимно пе уничтожаются, так как они близки по фазе, которая равна здесь 8„,,)й. Таким образом, в классическом приблпже!ши только для траекторий, где действие экстремально, пропагатор (138,9) будет отличен от нуля. Но это есть в точности классический результат, а именно, всякое тело движется по пути наименьшего действия 65=0. В заключение этого раздела приведем явное вычисление пропагатора 1( (х, 1; хо, 1,) для свободно движущейся частицы и для осциллятора. В первом случае функция Лагранжа ! равна Е (х, х) =- -а- х'.
Соответствующий функциональный интеграл получается нз (! 38.8), если там положить )г (х„) = О. Воспользуемся элементарным свойством интеграла С (Л1) 1,хр1', .'," ~( —,",1)о+ (х -'а)'1!бх,= = С (2п1) ехр '! В 2 где С определено формулой (138.6). Последовательно применяя эту формулу (1У' — 1) раз, получим 1((х~ 1; хо 1о) =, зьча(г о) ) *ехр ~-г —,.з- ~ ' ~. (138.11) Этот результат легко обобщить на трехмерный случай 1((х, 1; х,, 1о)=(2ена'" ) *ехр~ — 'В ~~ (" "' ]. (138.12) (гл. хху за кл ю'! г и и е 6(4 Формула ((38. (2), как и следовало ожидат!ь совпадает (с точги костью до множителя — )~ с запаздывающей функцией Грина л свободного ! равнения Шредингера (см. дополнение Х)Ч). В случае гармонического осцнллятора функция Лагранжа имеет вид 1,(х, х) = — (х' — юеехе), 2 где <оо — собственная частота осциллятора.
Вычисление пропагатора К для такого лагранжиана с помощью конечиократных аппроксимаций (формула (!38.8)) довольно сложно. Поэтому здесь удобно использовать следующий прием. В формуле (!38.9) сделаем замену переменных, полагая х(1) =-хк, (1)+р(1), где хк. (1) — классическая траектория, проходящая через началь- ную (х„) и конечную (х„) точки. Очевидно, что у(1„)=у(1„) =О. Если лагранжиан квадратичеп по координатам и скоростям, то действие 5 можно представить в следую!цем виде: 5 (х (1)) == 5„, (х„, х„) + 5' (у (1)], где 5к„(хл, хь) =5 (х„з (1)1, а 5' — дополнительное действие, зави- сЯщее только от д(1) Яз).
ТепеРь пРопагатоР К(х,, 1,; х„1л) пРед- ставим в следуюшем виде: К(хь, 1ь! х„1„) = =ехр (-й'-5„,(х„х,)~ ~ с((д(1)(1ехр~'„5'(р(1))~. ()38.)3) Таким образом, удалось явно выделить зависимость пропагатора от координат начальной и конечной точки (х, и х,). Если лагранжиан системы не зависит от времени, то оставшийся функциональный интеграл в формуле ((38.)3) является функцией только разности времен 1,— 1„. В ряде случаев вид этой функции может быть найден без явного вычисления интеграла по траекториям.
т) Множитель ( — — ) обусловлен разной нормировкой пропагатора К(х, 1; --Л-, х„1,! и функции Грина д (х — хр, 1 — 1„). Это легко увидеть, сравнивая уравнение (2) из дополнения Х!!! с уравнением для свободного пропагатора (.- =' '~ д 1Р ! и (й --+ 2— г'~К(», 1' »е 1о)= — —.б(» — хо)б(1 — 1о! е) Члены, содерисащне произведение «,(1) р(1), прн интегрировании по времени дают в сумме нулевой вклад.
вол!!Опля Функция !! квз!!Товыг Апслмплн 6!5 э !39! Для гармонического осциллятора 5,«(х„, хь) имеет вид 8««(ха ~ х,) = з —." — [(хэ+ х««) соь а«Т — 2хахэ~[, «!!! !«О где Т=1,— 1„. Выражение для пропагатора в этом случае можно записать следующим образом: К(хм 1„х„1,) = = Е (Т) ехр (зь,,„", [(х«+лэ) соа ы«Т — 2к«х«]~ . (138.14) Функцию г" (Т) можно найти из требования, чтобы пропагатор гармонического осппплятора (138.14) прп ы,— 0 переходил в пропагатор свободнодвижущейся частицы (138.11).
Расчет показывает, что Знание пропагатора дает практически всю пнформац>по, которая необходима для квантового описания системы. Прежде всего с помощью пропагатора можно найти вероятности перехода между различными состояниями системы, а также волновые функции и энергетический спектр. Все этп вопросы за неимением места здесь рассматриваться не будут. Их подробное изложение можно найти в цитированной выше книге Р. Фейнмана и Л. Хпбса, Заканчивая краткое изложение фейпмаповского подхода к квантовой механике, отметим следующее.
Хотя этот метод и не привел к принципиально новым открытиям в квантовой теории, тем пе менее его бесспорными преимушествами является физическая наглядность и более тесная связь с классическим описанием физических явлений. й 139. Некоторые методологические вопросы. Волновая функция и квантовь>е ансамбли Новые физические ндеп, принесенные квантовой механикой, привели в 30-е годы к серьезным и порой острым столкновениям между представителями различных философских направлений.
Дискуссии продолжались отчасти и в послевоенные годы. Зтн дискуссии не были бесполезными, так как позволили выяснить более отчетливо многие важные стороны дела, относящиеся к пониманию основ квантовой механики и следствий, вытекающих из нее для методологии пауки. В этом отпошеп!ш советские фпзнкк внесли пе малы!1 ьчслад в разъяснение этих основ. Основные споры сосредоточились воьру!. поп!!х!анин волновой функции >Р. Дает лн волновая функция объев!пвпос и полное описание физической реальности илп оно является толысо «заппс- 3Аключение 616 1гл. хх'>' ной книжкой» наблюдателя, регистрирующего с помощью ее известную информацию? Описывает ли волновая функция состояние частицы или ансамбля частиц? Другой круг вопросов был связан с проблемой причинности в квантовой механике.
Дело в том, что квантовая механика является статистической теорией. В этой связи высказывались различные взгляды на природу этой статнстнчностп и многие предпола. гали, что эта статистнчность требует обоснования на основе какой-либо полностью детерминированной механики. Существование различных точек зрения являлось отчасти следствием недостатка веры в квантовую механику, отчасти недостаточно глубоким анализом некоторых следствий квантовой механики, казавшихся парадоксальными.
В настоящее время нет никаких оснований не доверять квантовой механике. Сила ее методов полностью доказана и в атомной и в ядерной физике. Отказавшись от описания движений частиц по траекториям, которое в течение столетий казалось идеалом науки, мы утеряли лишь некоторые иллюзорные надежды. На месте их перед нами открылась поражающая красотой гармония закономерностей, управляющих атомным миром. Изложение содержания старых дискуссий сейчас имело бы лишь историческое значение'). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся разъяснением поставленных выше вопросов, исходя из концепции квантовых ансамблей, на которой было основано изложение квантовой механики в этом курсе, Следует отметить, что эта концепция с методологической точки зренпя отличается от более популярной концепции копенгагенской школы тем, что отводит более скромную роль наблюдателю и повсюду подчеркивает объективный характер квантовых ансамблей и управляющих ими закономерностей' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
