Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 111
Текст из файла (страница 111)
А, С. д а в ы до в, Теории атомного ядра, Физматгиз, !958. АТОМНОЕ ЯДРО 1гл. хх>ч 1 2 (131.3) где т есть вектор с тремя компонентами: т,, т„т,. Ясно, что этот <вектор» ничего общего не имеет с обычным пространством: он определен в абстрактном, зарядовом пространстве, или, иначе, в пространстве изотопического спина.
«Повороты» в этом пространстве означают линейные преобразования над»Р» и ф» такие, что в качестве базисных функций выбираются различные линейные комбинации протонного и нейтронного состояний нуклонов. Например, вместо функций»р, и 1 можно взять новые базисные функции: ~р,= —,(>Р»+>Р») и 1' 2 ! = — (<р» — »р») — симметричную н антиснмметричную. Переход 1' 2 ог (<рм»1<) к (Ч>м >р») есть поввртп в изотопическо»» пространстве. Оказывается, что если мы будем рассматривать протон и нейтрон как два состояния одной и той же частицы — нуклона, то основные особенности взаимодействия нуклонов могут быть выражены в виде очень простых закономерностей на языке так называемого зарядового или, как чаще, говорят, изотоп и ч ее к о го спина.
Так как у нас имеется только два зарядовых состояния нуклонов, то естественно ввести новую динамическую переменную 1,„ которая принимает только два значения, так что волновую функцию нуклона (опуская пока зависимость от обычного спина в) можно записать в виде матрицы с одной колонкой ~ р>, (х) О ~ состояние «протонное>, >!>, (х! О состояние «нейтронное» также, как мы это делали в теории обычного спина (ср.
2 60, (60.3) и (60.3')). В соответствии с оптической терминологией, по которой состояния, бтличающиеся только проекцией спина, называются мультиплетом, протонное и нейтронное состояния называют изотоп ическим (зарядовым) дублетом. Все операторы, изменяющие зарядовые состояния нуклонов, так же как и в случае обычного спина, можно выразить с помощью двухрядных матриц Паули, таких как о„о„, О, (ср.
2 59), »(ы обозначим эти матрицы, действующие теперь на зарядовый индекс 1, 2, через т'=(1 о) ™=(! О ) "=(о 1) (1312) Любой оператор, действующий на пару функций (ф„>р<), может быть выражен через линейную комбинацию матриц (т,, т„т,). Введем вектор изотопического спина 1, аналогичный вектору обычного спина з: ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ, ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН % 130 Введение оператора изотопического спина нуклона 1 позволяет нам применить теорию обычного спина к теории спина изотопи- ческого, В частности, ясно, что операторы !' и 1, одновременно при- водятся к диагональному виду и имеют собственные значения 1г! г З ! 12 = — |--+ 1~~ = — 1 =.+.— 2(2 ) 4' а 2 (131.4) (ср.
(59.14) и (59.15)). Отметим, что (в является ннвариантом при вращениях в изо- топическом пространстве. Очевидно также, что правила сложения векторов изотопического спина в системе нуклонов будут те !ке, что и для обычного спина. В частности, для вектора полного изотопического спина системы из М нуклонов 1: 1=Х1» (! 31.5) » -! (й — номер нуклона), будут справедливы формулы (105.20) и (105. 21) !х=Т(Т+1), Т=О, 1, 2, 3, ..., (131лй) 1 3 5 или Т= —, —, —,..., 2' 2' 2''''' )а = Т„~ Т, 1, =- Т, (13!.7) Ясно также, что скалярные произведения изотопических спиноз вида (!', 1") =1!1!'+Щ+(а(а (13!.8) (здесь 1'„а=1, 2, 3, — суть компоненты вектора 1', а г," — то же для вектора второго нуклона !") будут так же, как и !а=(1, 1), инвариантами в изотопическом пространстве.
Приведем еще формулу, выражающую заряд !',! системы гтг нуклонов через изотопический спин 1е = е 1 2 + Т~) . (131.9) В частности, для одного нуклона 2( + (131.9') Существенным физическим фактом является то обстоятельство, что взаимодействие двух нуклонов оказывается изотопически инвариантным (т.
е. не зависящим от возможных вращений в изо- топическом пространстве) и что при взаимодействии полный изо топический спин сохрандетсд '). ') Этот факт особенно точно и полно обоснован в экспериментальных работах Объединенного института ядерных исследований !Дубна). См. В. П. Джелепов и Б. М. Понтекорво, УФН, ЬХЧ, стр. 15, 1958. Атомное япРО 1Гл. ххге Эти два фундаментальных факта и оправдывают введение новой динамической переменной — изотопического спина нуклона.
Далее взаимодействие нуклонов, конечно, должно быть инвариантно относительно вращений, отражений и инверсий координат в обычном пространстве. Если ограничиться малыми скоростями нуклонов и учитывать только зависимость от их относительного расстояния г, их обычных з„з, и изотопическнх спинов 1,, 1„ то можно образовать следующие инварианты: г, (з,, з,), (1„1,), (з„г) (з„г), которые, в свою очередь, могут быть выражены через полный спин З=з,+з, и полный изотопический спин ! = = 1,+1,. Поэтому вместо названных пнвариантов удобно ввести новые: (в„з,)- 8', (!м !2) — 12, (Ьг)е (в,г) (зег) -~ Вм = 6 —, — 2$'.
(131.10) (131.10') (131.10") (У(1, 2)=А (г, 5', Р)+В(г, Яе, Р) Вм(г, $)+С(г, 5', Р) (Л8). (13 1.11) Относительно функций А, В и С известно очень мало. С точки зрения мезонной теории ядерных снл эти функции должны иметь характерную зависимость от расстояния вида е — и'/г для г» а, я где а = — =1,4 10 "см — есть комптоновская длина л-мезона. тс Поэтому приведенный выше вид возможного взаимодействия нуклонов (131.11) более полезен для систематики возможных состояний нуклонов, нежели для количественных вычислений уровней илн матрицы рассеяния, Последний инвариант построен так, что его среднее значение по углам будет равно нулю.
Это обычно принятый выбор. Очевидно, что взаимодействие, определяемое этим членом, будет нгиентральным, Его называют тензорным взаимодействием. Если учитывать зависимость от скоростей, то можно образовать много и других инвариантов. Однако опыт показывает, что пока скорости малы по сравнению со скоростью света, среди возможных инвариантов важен лишь инвариант спин-орбитального взаимодействия (ЕЯ); здесь Е означает вектор суммарного орбитального момента иуклонов. Вместо него можно ввести вектор полного момента количества движения нуклонов ! = Е+8 и соответственно инвариант ()8). Учитывая все эти инварианты, мы можем записать энергию взаимодействия двух нуклонов в виде й 1ап СИСТЕМАТИКА СОСТОЯНИИ СИСТЕМЫ НУКЛОИОВ бзь $132.
Систематика состояний системы иуклонов Гамильтониан системы нуклонов иннариантен не только относительно преобразований вращения, отражения и инверсии, но и относительно перестановки нуклонов. Отсюда, совершенно таким же образом, как было описано в Я 115, 116, следует, что волновая функция должна быть либо симметричной, либо антисимметричной при перестановке любой пары нуклонов. Но так как нуклоны имеют спин '4„ то для нпх должна быть выбрана вторая возможность — антисимметричные функции, приводящие к принципу Паули и к статистике Ферми.
Рассмотрим теперь состояния двух нуклонов. Обратимся сперва к нзотопическому спину. Очевидно, что возможны всего четыре состояния: Т= О и Т=1, Т,=О, ~-1, В первом случае состояние антисимметрично в изотопических переменных, во втором— симметрично (точно так, как для обычного спина, см. теорию атома гелия, 2 121). В состоянии с Т=1, поскольку гамильтониан не зависит от Т„энергия трех состояний с Т,=О, .+ 1 будет одинакова. Однако эта одинаковость имеет место лишь до той поры, пока не учитываются относительно слабые электромагнитные взаимодействия. Ввиду различия зарядов и магнитных моментов у протона и нейтрона совпадающие уровни Те=-О, .+.1, вообще говоря, расщепятся. Поэтому эти три состояния называют зарядовым триплетоли а само состояние Т =! — тприпдетным.
Состояние Т= 0 будет зарядовым синглетом. Дальнейшее различие состояний определяется суммарным спином Я. Именно, возможны опять-таки четыре состояния: 8=1, Я,=О, + ! — триплетное состояние и Я=Π— синглетное. Симметрия функции в пространственных координатах определяется симметрией по зарядовым и спиновым переменным. В табл. 6 приведены все возможные симметрии функции для двух нуклонов. Таблица 6 Симметрия функций системы двух нуклонов бзо Атомное ядно [Гл хх!у й 133. Теория дейтона Как известно, дейтон является изотопом водорода и его ядро состоит из протОна и нейтрона.
Известно далее, что его спин равен 3 = 1. Далее, зарядовое состояние только одно; следовательно, Т =- О. Из табл. 7 видно, что возможное основное состояние дейтонов должно быть Т = О, 351 или может быть 301. Таблица 7 Состояния двух нунлонов т= о Г-1 зрз зо зр зр 33 Зтз зтз Однако мы знаем, что в основном состоянии волновая функция должна иметь наименьшее число узлов. Поэтому мы должны приписать дейтону основной терм 331. Из-за наличия тензорных сил орбитальный момент в дейтоне не сохраняется, поэтому возможна н примесь состояния ззз„которая на самом деле и имеется и В этой таблице знак а означает антнсимметричную, а знак 5— симметричную функцию. Напомним (ср. й 114), что в случае двУх частиц пеРестановка Р,з эквивалентна опеРации !13 — инвеР- сии, т.
е, заменеотносительных координат х иа — с. Четность состояния в этом случае совпадает с четностыо орбитальном числа 1.. Если для систематики нуклонных состояний сохранить обозначения 3, Р, О, Р для (. =О, 1, 2, 3..., соответственно, а также принятое обозначение полного момента У и мультнплетностн, то полное обозначение состояния будет иметь вид (ЗГ»- 1) (25+ 11( Э Здесь первый индекс означает зарядовую мультиплетность (2Т+ +!), второй (25+1) — спиновую, индекс (+) четность терма, индекс У вЂ” его полный момент, 7, = 3, Р, Р, Р, — означает орбитальный момент. Для системы из двух нуклоиов знак +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
