Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Сначала обратимся к рассеянию протона на протоне («рр»-столкновение). В этом случае Т=1, Т,=+ 1, 5=0 нли 1. Спиновая функция 5" (з„, з„) совпадает с одной из функций 5(зеь з„) (12!.!3), (!2!.!4), (121.14'), (121.14") в зависимости от значения спина 5 н его проекции на ось 0«,. Функция Т' для Т=1 и Т»=-1-1 равна Т (!»Н 4»«) = 54 (4«ь 4»«) (134,13) где 5', есть функция (121.14), в которой з„ заменено на !»4 44 ь໠— На 4»4.
Полное сечение рассеяния протонов дается теперь квадратом «4»а модуля амплитуды прн расходящейся волне — в (134.12), ОбоГ значим это сечение для триплетного состояния 5=1 через зо (8) = ~ »А (8)»А (и — 9) ~». (134.!4) Причем мы не выписываем здесь спнновых переменных. Сечения для всех трех ориентаций спина 5„=0, + 1, очевидно, равны. Сечение в синглетном состоянии будет 'о (8) = ~ 'А (8) + 'А (; — 8)," (!34. ЕО) Если в исходном пучке все ориентации спинов равновероятны (пучок не поляризоаан), то каждое из состояний спина имеет вероятность 1/4.
Поэтому дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных протонов будет о„(8) = 4 'о(8)+ — о'(9). (134.16) При пренебрежении электромагнитными взаимодействиями (взаимодействне зарядов и магнитных моментов) оператор Т, не входит в гамильтоннан, Поэтому взаимодействие нуклонов в этом тзп АТОМНОЕ ЯДРО !Гл. хх!у Оа„(9) =-О,, (9), (134.! 7) Нсскочько сложнее обстоит дело при столкновении протонов с нейтронами («рп»-столкновение). В этом случае мы имеем дело с суперпозицией двух состояний: Т=1, Т,=О и Т=О, Т,=.О.
Действительно, если мы рассмотрим первичную волну в (!34.8), то видно, что Т'(Еен Е„) может быть Равно либо 5;" (Ееп Ем) длЯ Т=1, Тз- — -О (ср. (12!.!4")), либо 5а(Ез,, Езз) (ср. (121.13)), для Т=О, Т,=.О: ! Тз(гзг Езз)= ~- ~5 1(Е21)5 1(Ез)Н5 1(Езз)5 1(Е21)~, (13418) 2 2 2 2 причем индекс +1)2 означает протон, а индекс — 1Е2 — нейтрон. Оба возможных состояния являются суперпозициями состояний протона и нейтрона. Чтобы получить состояние протона и нейтрона, следует взять суперпозици!о состояний с Т = 1 и Т = О.
Например, для синглетного состояния 5 = О необходимая первичная волна напишется в виде т=з О ! !та(Г) 5а (Вн 2» ) 5а (Езз Езз) + т=! ! + — 2Ра(Г) 5а(ва1, З:2) 5а (Езь Езз) = 92 = В'"!' — "а! 5 ! (Езз) 5 ! (Езз) 5, (за„заз) + 2 2 +езз !' ' !5 1 (Езз) 5 ! (Езг) 5а Вы В ). 2 2 (134.19) Действительно, эта суперпозиция представляет собой такую волну, что частица, имеющая импульс +й, имеет изотопический спин Ез=+ 1Е2 (т. е. является протоном), а частица, имеющая импульс — (г, имеет изотопический спин Е,= — 'Ез (т.
е. является нейтроном). Это есть правильный выбор первичной волны, представляющей протон с импульсом +(г и нейтрон с импульсом — )г. Нумерация же частиц 1 и 2 не имеет никакого значения. В силу линейности уравнений амплитуда рассеянной (р, и)- волны тр, (9) будет также суперпозицией амплитуд г1(9) = = Аз(9)+ Аз(п — 9) и тз (9) =Аз(9) — Аз (и — 9) для состояний приближении должно бь!ть изотопически инвариантно.
Иными словами, оно может зависеть только от значения полного изотоппческого спина, но не от его проекций. Для столкновения двух нейтронов (апю1-столкновение) имеем Т=!, Т,= — 1. Отсюда следует, что сечение рассеяния двух нейтронов равно сечению для рассеяния протонов эгзн поляигздция при рхссгянин чдстнц со спинам 597 Т=1 и Т=О соответственно н притом с теми же коэффициентами, что и суперпозиция первичных волн (1Дт2), т.
е. ~..(8)==Г (9)+=к (6) ! 1 (134.20) Поэтому дифференциальное сечение для «рп»-рассеяния будет равно ар„(6) = — (а, (9) + ао (8)) + 1хе [4.'о (9) т~1 (9)1. (134.2! ) Т 0 40П н Т = 4 Гоо длн энергии нуклвиев 400 Мэвг длн Т ! расселине изетрепив. 9 !35. Поляризация прн рассеянии частиц со спинам Как мы видели, ядерные взаимодействия зависят от спинов частиц.
Это приводит к тому, что при столкновении нуклонов друг с другом или с ядрами амплитуда рассеянной волны оказывается различной для различных ориентаций спина рассеянных частиц: возникает спиновая поляриаах(ия. Первоначальные частицы ') СЕкМ, 5угорозюпг (1950), доклад В. П. Джелепова. Рассмотрим теперь сумму а „(8)+ар,(п — 8). Очевидно, что эта сумма дает сечение для наблюдения любой рассеянной частицы р или и. «1ействительно, если протон рассеян в угол 6, то а;тту РЪ«ахтиерахт нейтрон рассеян в угол тх — 6.
Но при замене 6 на и — 0 имеем тх(п — 6)=Р4(6), так как при Т = 1 координатная функция симметрична, а у о(п — 8) = — то(0) 75 так как при Т = 0 она антисимметричиа. Поэтому 7Е сгр, (6) 4 арн (и — 8) =. а, (0) + ао (8). 4эр (134.22) Н (8) (9) (6) С е 4 х ээ х х х х вательно, измеряя ар„(8) и арр(6), мы можем вычислить сечение рас- еа" Я7' сеяния ао(9) в изотопнческом состоянии Т = О. Рис. 97. Угловая зависимость упруНа рис. 97 показана угловая гого РассеЯниЯ нуклоиов в Раз- личных изотопических состояниях. зависимость а,(8) и а, (0) при энергии 380 — 400 54»в'). Как видно, взаимодействие в состояниях Т = 0 и Т = 1 совершенно различно. Полные сечения а, и а, также совершенно различны: сечение а, в области в 4соких энергий практически постоянно, а сечение а, уменьшается с энергией. атомное ядго ггл ххгч обычно не поляризованы.
Поэтому исходное состояние является обычно не чистым, а смешанным; оно представляет собою набор состояний с различными ориентациями спинов, причем каждая ориентация имеет свою вероятность Р„. Такой пучок более целесообразно описывать матрицей плотности р (см. $ 46), нежели волновой функцией. Рассмотрим поляризацию частицы со спинам г/,. Выберем в качестве базисных спиновых функций функции г(г, и гр,. Пусть в первоначальном пучке смешаны с вероятностями Р, и Р, два спиновых состояния ~>, и ~р,. Эти состояния можно представить как линейную комбинацию базисных состояний гр, и г!гэг 2 ф=- ~ сгэгэы г'=1, 2.
(! 35. 1) Согласно (46.4) элементы матрицы плотности р определятся формулой рм —— ,'г ', Р„с„;с„'„. (135.2) Среднее значение лю5ого спипового оператора О, согласно общей формуле (46.5), запишется теперь в виде б =5р(рО). (135.3) Так как р есть двухрядная матрица, то она может быть пред- ставлена в виде линейной комбинации матриц Паули р=А+(Во). !135.4) Выразим теперь коэффициенты А, В через среднее значение сгшна д частицы Ю = — о, или, что удобнее, через среднее значение о. 2 Для этого заметим, что 5ро,=О, 5ро";=2. Поэтому а,=5р(ра,)=А Яро,+5ро (Во)=2В„, (135.5) т. е. о=2В. Далее, условие нормировки требует, чтобы 5р р = = 2А =1, т. е.
А ='гэ Таким образом, матрица р = — (1+ оо) (135.6) характеризует состояние поляризации в исходном пучке. Как видно, оно непосредственно выражается через вектор спина о и полягизАиия пРи РАссгяиии чхстиц со спинам 899 $ !35! его среднее значение о. Для неполяризованного пучка р= !/5. После рассеяния спиновые состояния изменятся и вместо смеси состояний !р! и 5р, мы получим смесь некоторых новых состояний 5р! и ф,'. Эти новые состояния могут быть выражены через старые с помоШью матрицы рассеяния 5!А(8)! Ф = 3м (8) Ь.
(135.7) где 3+ — матрица, сопряженная к Я (см. 9 43). Если исходный пучок был не поляризован, то р=!/2 и р' = — Ы. 1 2 (135.9) Эта величина не нормирована к 1, так как Я, кроме спиновых переменных, содержит и другие (8, )5, ...). Поэтому среднее значение после рассеяния следует вычислять по формуле — Яр (р'и! СРР (!35.10) Эту величину н называ1от поляризацией Р: (!35.!1) Конкретное значение Р зависит от матрицы рассеяния 5 или, что то же, от амплитуды рассеяния А. Однако можно показать, что вектор поляризации Р перпендикулярен к плоскости рассеяния, образованной двумя векторамн: волновым вектором (с до рассеяния и волновым вектором )!' после рассеяния.
Действительно, Р есть среднее от о', поэтому Р есть псевдо- вектор и, следовательно, правая часть в (!35.10) есть также псевдовектор, Но единственный псевдовектор, который мы можем построить из величин, характеризую!цих амплитуду рассеяния, есть векторное произведение [Ы1'1. Поэтому мы можем утверждать, что Р = 55 [Ы1'], (135. ! 2) где 55 есть некоторый множитель пропорциональности, зависящий от углов и энергии. Отсюда видно, что поляризация для малых углов равна нулю.
Если направить к по оси ОУ, то при перемене азимута рассеяния с !р на и — !р (в частности, Элементы этой матрицы зависят от угла 8 и импульса частиц й. При 8 ~ 0 матрица рассеяния В(8) пропорциональна амплитуде рассеяния А (8), Согласно правилам преобразования матриц новая матрица плотности р' будет равна р'= 5'р5, (135.8) 1гл. Хх1ч Атомное ядпо рассеяние направо или рассеяние налево) поляризация меняет свой знак. Опыт подтверждает существование поляризации ').
При рассеянии протонов на протонах при энергии 600 Мзв поляризация достигает 40ее. ф !36. Применение квантовой механики к систематике элементарных частиц В 3 3 сведена в таблице довольно большая совокупность известных к настоящему времени элементарных частиц. Существенной особенностью большинства элементарных частиц является их неустойчивость †о распадаются в течение короткого времени (см, время жизни в последнем столбце таблицы), превращаясь в другие, тоже элементарные частицы. Среди других превращений этих частиц особую роль играет процесс взаимодействия частиц с античастицами (электрон-позитрон, протон-антипротон и т. д.), так называемый процесс аннигиляции, В процессе аннигиляции частица и античастица исчезают как таковые, превращаясь в мезоны, у-кванты, электроны и нейтрино, Эти процессы взаимодействия не могут быть рассмотрены в рамках нерелятивистской квантовой механики, в которой как и в классической механике имеет место закон сохранения числа частиц.
Поэтому теория элементарных частиц не может быть дана без привлечения квантовой теории полей и релятивистской квантовой механики. Тем не менее основные принципы квантовой механики достаточны для пояснения систематики элементарных частиц. Совокупность элементарных частиц можно прежде всего разбить по массам на тяжелые частицы — бариоиы, средние — мезоны и лег.ие — лептоиы. К бариопам относятся нуклоны (протон, иейтрон) и гипероны (сверхтяжелые). В настоящее время известны гипероны: Ле (лямбда-частица), Х (сигма-частица), каскадный гиперои В (кси-частица), Р- (омега-минус-частица).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
