Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Для нумерации состояний заметим, что положение центров атомов в кристалле (узлы решетки) определяется вектором (130.1) г =л,а, +лэаэ+л,а,, где и,, п,„л,— целые числа, а а„аэ и а,— основные вскгоры решетки. Таким образом, положение каждого атома определяется тройкой чисел а„ л,, л,. Ради краткости эту тройку будем обозначать одной буквой и и называть номером атома. Пусть волновая функция й-го электрона, находящегося на л-и атоме,- есть Фд (г», э,м) = фд (гх) Зц (з,.ь), где Я, — спиновая функция.
Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием с соседними атомами, постольку волновая функция всего кристалла в целом будет антисимметричной комбинацией вида (117.6') из произведений функций Ф„, относящихся к отдельным электронам. Выбор значков а(+ '/, или — '!.,) у каждой из функций Я, будет означать выбор определенного распределения спинов (направленных по оси 02 илн против нее) среди атомов кристалла.
Если спины всех электронов ориентированы в одном направлении, например по ОЯ, то мы будем иметь дело с п о л н ы м н а с ы щ е и и е м (максимальное намагничение). Рассмотрим такое состояние, когда все спины направлены по 07, за исключением одного, направленного против 02. Пусть такой спин находится на атоме номера Е Тогда, согласно сказанному выше, волновая функция Ч' всех )У электронов имеет вид Ч~~ — — ~ч~~ ('+ 1) Рфг (г~) Л~ш (зы) фг (г2) Выл (злэ) . (г~) Я и, (з ~) ...
фм (гм) 5~. ь (з л). (130.2) Учтем теперь взаимодействие электронов с соседними атомами. Для этого применим теорию возмущений. Мы имеем дело со случаем вырождения, так как, очевидно, электрон со спином, направленным против оси 07, может находиться на любом из атомов. Поэтому правильная функция нулевого приближения будет линейной суперпозицией из Чг,: Ч' = ~ч ', а, Ч',, (Е)О.3) 882 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ.
ХХН! причем амплитуды а„надлежит еще определить. Для этого заметим, что оператор полной энергии Й электронов равен Й = Й'+ ~с — „+ дэ' (7„(г ), (130:4) аа>т= ! л>т ! л Йе = Х Й„( л), Й. ( л) = — ~„-'+(7„(гл), (130.5) л=! !) На самом деле они ортотональиы только приближенно. где Йл — оператор полной энергии и-го электрона, находящегося ел иа а-м атоме, — — энергия взаимодействия и-го и инго электроалт нов, а (7„(Г ) — энергия взаимодействия инго электрона с л-м ионом (л ~т). Все члены в Й, кроме Й", будем рассматривать как возмущение. Подставляя в уравнение Шредингера ЙЧГ=ЕЧ' вместо Ч' приближенную функцию (130.3) и имея в виду, что Йл (гл) фл (гл) = Е,фл (гл), (130.6) где Е,— энергия электрона в атоме, мы получим )с(Ее ~~ а;Чт! + Ч ( — '+ (7„(гт) ) 1лг' агЧа! —— Ел~а! аЧ;.
и л > ал = 1 .! ! !' (130.7) Умножим теперь это уравнение на Час, проинтегрируем результат по координатам всех электронов и просуммируем по двум значея ниям спина а,=-+ — каждого из электронов. При этом мы будем считать функции фл (г) и тр (г), относящиеся к различным атомам, ортогональными'). Далее при суммировании по спину следует иметь в виду ортогональность функций 8, (з,) (ср.
8 60). В результате мы получим вместо (130.7) йСЕеаа+,У, )сг (а! — а!'1 = Еа„ (130.8) !' где!и есть обменный интеграл (матричный элемент энергии возмущения) 7с! — 2 $ аРа(г!)Чс;(ге)ф!'(Ге) ф! (г!)х С 2ее х( — „+и,(г,)+иг(.,)+иг(г,)+и,(.,)~ о,ао,. (1300) Волновые функции фа(г) быстро убывают с увеличением расстояния Г от центра атома. Поэтому обменный интеграл 7п быстро $ СУУ] ФЕРРОмагнвтнзм убывает с увеличением расстояния между атомами ! и Е' Благодаря этому при решении уравнений (130.8) можно ограничиться матричными элементами сссч относящимися к ближайшим соседям. Так как в кристалле все ближайшие соседние атомы равноправны, то обменный интеграл имеет для них одно и то же значение с.
Таким образом, уравнения (130.8) можно написать в виде (Š— !д Еа) а, + ) ~Ч ', !ас — аг! = О, (!30,9Ч с где сумма распространена по атослам Г, соседним атому (. Число ближайших соседей и их расположение зависят от типа кристаллической решетки. Для простой кубической решетки соседние с атомом (((„(„(3) атомы имеют числа !', равные 1,.+ 1, 1,, (,; (1 (2 — 1 (У !12 (2~ (3 — 1 Видно, что уравнения (!30.9') имеют решения ас — — ас,сн. =сонэ! ° асса' +Уа 2-2'>, (!30.10) где д„д„д,— некоторые безразмерные величины. В самом деле, подстановка (130.10) в (130.9') дает Š— НЕУ= 2( (3 — соз д, — созда — соз дУ), (130,1!) откуда Е(дм д2, дУ) МЕУ+2) (3 — соз д, — сов д,— созда) (130 12) Замечая, что (,а, (,а, (,а, где а — постоянная решетки, суть координаты узла решетки, мы видим, что (130.10) может рассматриваться как плоская волна с волновым вектором й = -- ( ~', а"-, — "2 ).
а1а' а' а>' Вероятность найти спин, направленный против ОЯ, есть (а, ~2 = = сопз1, т. е. все положения спина равновероятны. Таким образом, амплитуды аь определяющие состояние спина, весьма аналогичны волновой функции свободно движущейся частицы, имеющей заданный импульс. Эта аналогия еще усугубляется тем, что по крайней мере для малых й энергия (130.12) может быть написана в виде Л2 Е = сопз1+ —, й'+ 2>1 (130.13) Л2 где — =са2, т. е. в виде, совпадающем с выражением энергии 2>2 для свободной частицы. Величину (22 можно рассматривать как эффективную А>асср. Ввиду наличия такой аналогии между распространением в кристалле спина определенной ориентации и движением свободной частицы состояние (!30.10) называют сп и- новой волной.
Если в кристалле имеется не один, а несколько (г) спинов, ориентированных против оси 02, то расчет протекает аналогич- магнггтныв явления 1гл. хгнп ным образом, но усложняется тем, что при наличии многих спинов, ориентированных против оси ОЯ, могут встретиться пары соседних атомов со спинами, направленпымн против 07. Для этих пар обменные интегралы не равны нулю. Однако при небольшом числе г такие случаи будут встречаться редко, и полное решение может рассматриваться как совокупность иевзаимодействующих спиновых волн вида (130.10) (или, с корпускулярной гочки зрения, как «сdиновый газ»).
Энергия будет суммой энергий для каждой из спиновых волн. Если мы обозначим вектор «) для к-й спиновой волны через йм то вся энергия си~нового газа будет Е == йГЕа+ 2) ~, (3 — соз г(га — соз д«а — сох даа). (130.14) а=-1 Из этой формулы следует, что при отрицательном ! ферромагнетизма быть не может, так как при )(О энергия имеет минимум при наибольшем г. Поэтому при тепловом равновесии первоначальная ориентация всех спиноз по оси будет стремиться расстроиться. Напротив, при положительном обменном интеграле минимум энергии будет достигаться при наименьшем г, так что если некоторая часть спиноз ориентирована против оси 07, то этн спины будут иметь тенденцию ориентироваться по оси 07 (число г будет уменьшаться).
Поэтому положительное значение обменного интеграла является необходимым условием ферромагнетизма (только в этом случае состояние с наименьшей энергией может быть состоянием, в котором все спины электронов направлены одинаково), Причиной, приводящей к ориентации спинов в одну сторону, являются, таким образом, ие фиктивное магнитное иоле Вейсса, а обменные силы. «Рерромагнетизл« есть явление квантовое. Наконец, мы видим, что ферромагнетизм не является свойством отдельных атомов, а представляет собой свойство крис«палли, что находится в согласии с тем фактом, что ферромагнитных газов не существует. Для вычисления намагничення ферромагнегика при какой-либо температуре Т следует найти, методами статистики, среднее значение г.
Тогда магнитный момент куска ферромагнетика, содержащего )У электронов, будет, очевидно, равен У1 = 101в (Ж вЂ” 2г), (!30.15) где У1в есть магнитный момент одного электрона (магнетон Бора). 3а соответствующими вычислениями и другими подробностями мы отсылаем читателя к специальной литературе'). «) См. С. В.
В о а с о а с к а й, Магнетизм, «Наука>, 1971. Глава ХХ1Ч АТОМНОЕ ЯДРО й 131. Ядерные силы. Изотопический спин Взаимодействие нуклонов в ядре представляет собою еще далеко не решенную проблему. Однако принципы квантовой механики оказываются применимыми как к движению нуклонов в ядре, так и к взаимодействию нуклонов с ядром. На этом пути за последние годы достигнуты значительные успехи и квантовая механика оказывается настоящим путеводителем физика в сложной картине ядерных взаимодействий. Отсылая читателя к специальным курсам'), мы остановимся здесь лишь на наиболее простых и важных обстоятельствах.
До сих пор никому еще не удалось написать выражения для потенциала протонов и нейтронов (как принято говорить, нуклонов) в атомном ядре. По-видимому, это очень сложная функция положений, скоростей н спиноз нуклонов. Весьма вероятно, что она вообще непредставима в виде суммы попарных взаимодействий отдельных нуклонов. Но не установлен «потенциал» и для пары нуклонов. Вообще простое представление о силах применимо здесь лишь на больших расстояниях нуклонов друг от друга. Тем не менее могут быть даны довольно далеко идущие заключения о характере ядерных взаимодействий, которые позволяют разобраться в сложном комплексе опытных фактов.
Взаимодействие двух нуклонов зависит от расстояния между ними гнь от их относительной скорости мм и от их спиноз з, и ап а также, как показывиет опыт, существенно зависит от типа взаимодействующей пары, т. е. являются ли нуклоны этой пары протонами, нейтронами нли один из них есть протон, а другой нейтрон. Далее, в процессе взаимодействия может происходить, как говорят, «перезарядка», и протон может превратиться в нейтрон и обратно. т) См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
