Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 115
Текст из файла (страница 115)
(ЙА — ЕЙ) есть квантовая скобка Пуассона. Интегралы движения характеризуются тем, что Ж вЂ” = О. Ж В отсутствие внешних сил важнейшими интегралами движения будут: энергия, полный импульс системы Р=-~ч~ Р»= — (й~ р» (137.9) » » и момент импульса М=~(г».Р»)+ У,Ю». (137.! 0) где Ю» — спиновый момент й-й частицы. Вид оператора Р как раз и может быть определен из того факта, что он изображает величину, являющуюся интегралом движения, т.
е. коммутир)ет с оператором Н в отсутствие внешних сил. Из операторов Р„и г» можно строить и другие, более сложные операторы, физическое значение которых может быть весьма специальным. Таким образом, вид важнейших операторов определяется сам собою, если постулировать вид оператора Гамильтона (т. е.
уравнение Шредингера). Последнее из основных предположений квантовой механики относится к системам одинаковых частиц. Это — прин»)ип тождественности. Согласно этому принципу обмен любой пары одинаковых частиц (К 1) не ведет к физически новому состоянию. Математически это выражается в форме условия, накладываемого на волновые функции Р»гЖ = ХЧ", (Ч) где ).= .+. 1 есть собственное значение оператора перестановки Р»ь Это условие ведет к делению состояний на два класса: Ч" =- Ч', (симметричные), (137.
И) Ч" = Ч', (антисимметричные). (137.1Г) злключение )гл, ххтг Далее, из уравнения Шредингера следует, что симметрия не может измениться с течением времени. Поэтому принадлежность частиц к сорту «з» нли сорту «а» может определяться только природой частиц. Частицы, состояния которых описываются антисимметрнчными волновыми функциями Ч'о, суть частицы Ферми. Они подчиняются принципу Паули, который вытекает как следствие из свойств ансамбля, описываемого антисимметричными волновыми функциями. Частицы, состояния которых описываются симметричными функцпямн Чг„ называются частицами Бозе. Таким образом, мы видим, что в основе квантовой механики лежат пять фундаментальных положений: (1) принцип суперпозиции состояний, (11) определение среднего значения, (111) толкование собственных значений как единственно возможных, (1Ч) уравнение Шредингера и (Ч) принцип тождественности частиц одного сорта.
Физические основания этих положений были подробно обсуждены в соответствующих главах курса. 9 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики В предыдущем параграфе была изложена формальная схема квантовой механики, которая стала об!цепринятой. В основе этой схемы лежит уравнение Шредингера, и при переходе от классического описания к квантовому используется гамильтонов формализм.
Однако существует и другая формулировка квантовой механики, предложенная Фейнманом в 1942 г. '). Фейнмановский подход не базируется на уравнении Шредингера и вместо гамильтонова формализма используется лагранжев метод'). Хотя эта формулировка не столь популярна, тем не менее она обладает рядом преимуществ. Основным объектом в подходе Фейнмана является и р о и аг а т о р К (д, 1; д„!о), который позволяет выразить волновую функцию тр(а, !) через ее начальное значение ф(а„(о) в момент времени 1=-1,. Здесь под д можно понимать любые динамические переменные, описывающие нашу систему в момент времени П а под дев те же переменные в момент времени йм В этих обозначениях пропагатор К определяется соотношением »Р(9 !)--)К(9 П Чо !о)ф(Чо, (о)с(ро (138.1) ') Полное изложение этого метода можно наши в книге Р. Ф е й н м а н а и А.
Х и ос а, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», )966 е) На возможность применить лагранжев метод в квантовой механике впервые указал Дирак 'в )933 г. См. П. А. М. Д и рак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, !960, 6 32. $ сдо! ФеЙнмАнОВскАЯ ФОРмулиРОВкА кВАнтоВОЙ мехАники еов Очевидно, что пропагатор К должен удовлетворять уравнению Шредингера, поскольку ф (с), () удовлетворяет этому уравнению. Он должен обращаться в 6(сс — с!о) при (=(„чтобы соотношение (138.1) имело смысл и при 1=(о. Далее, при (о)1 обычно пола- гают К= О (принцип причинности). Эти условия приводят к тому, что пропагатор К совпадает с запаздывающей функцией Грина оР' полного (т.
е. с учетом взаимодействия) уравнения Шредингера. Однако мы не будем ссылаться теперь на уравнение Шредингера, а изберем другой путь вычисления пропагатора К, более адекватный этому новому понятию. Рассмотрим сначала основные свойства оператора К. Пусть в момент 1 = (о динамические переменные с) имели одно определенное значение с)= с!о. В этом случае ф(с!о 1о) =6 (с)о — с)о). Если в момент времени ( с) =сс', то, согласно (138.1), получаем Ф()'. ()=КИ' (' ь (.).
Отсюда следует, что величина Р й, (; Ь (.) ='ф()', () ~'= ~К й', (; Ь (.)," есть веРОЯтность пеРехода системы из состоЯниЯ ос=с)о в состоЯ- ние с)=с)' за время ( — (о ((о((). Пропагатор К обладает важным свойством: произведение пропагаторов есть опять пропагатор. Действительно, взяв функцию д)с(с)', () за начальную и подставив ее в (138.1), получим К(с!> (' с)о (о) =)К(с) (' с) 1)К(с) ( ' с)о !о) с(с)".
(138,2) Из (138.2) видно, что переход системы нз состояния с)о, которое она занимала в момент времени 1о, в состояние с) к моменту времени ( (() 1,) можно рассматривать в два этапа.' Вначале система переходит в любое промежуточное состояние с)" в момент времени (" ((о((" -1), и только после этого осуществляется переход в конечное состояние с) к моменту времени (. Очевидно, что можно и далее дробить интервал ((, (о). Разобьем его на со' интеРвалов: ((о, (д), (1„1,), ..., ((», (»-д),, ((»с-д, (.У). (А,=1. Значения динамических переменных в указанные моменты времени обозначим через с)» (со=О, 1, ..., )Ч), так что пропагатор К, относящийся к 1-му интервалу, будет иметь вид Кс=К(с)см (мь' с)с 1с).
Применяя последовательно пропагатор К, к любой начальной функции др (с)„1»), получим следующее выражение пропагатора для интервала времени ((„(): Кй~ !' с)о, (о)=~ "~К(с)~ 1' с(со-д~ Ь-д)К(с)со-д (А-д', с)А~-о»(лс-о) " " К(дд, (о,' с)д, (д)К()д, (д' с)о~ (о) с(с)со и дадо о ... с(с)д, (138.3) 1гл ххч ЗАКЛ1ОЧЕНИЕ 610 где интегрирование ведется по всем промежуточным состояниям (интеграл кратности Ф вЂ” 1), Процесс последовательного перехода через все допустимые промежуточные состояния называется цепью Маркова.
Однако в классической теории зта цепь образуется не амплнтудамп перехода (как это мы получили в (138.3)), а вероятностями перехода Р (т7»е 7»+1' 17» 7»)1 Р(17 71 17е те)=$ ° "$Р(т7 71 г7тт-1 (л'-т) Р(т7М-1 (л-11 г7ат-н, (м- ) °" ° ° ° Р (17в (в1 171з (1) Р (171 711 с)о (о) Й7»т..т А)лз-е... Щ. (138.3') На рис.
99 показаны несколько «траекторий», возникающих в цепи Маркова. Мы взяли слово траектории в кавычки, так как любой конечный промежуток времени т»1 = 7»„ — 7» можно разбить на более мелкие интервалы б(' <",бг. В свою очередь, и эти интервалы можно дробить далее, так что траектории в цепи Маркова не имеют непрерывных касательных. за Заметим, что в различии цепей квантовой (138.3) и 5 классической (138.3') еще 17тт раз проявляется тот факт, что в квантовой механике фундаментальное значение — Й имеют амплитуды вероятностей, а не сами вероятности. Этот факт в принципе не позволяет свести квантовую ме- В ханику к какой-либо класси- ческой статистической лтеха- рвектории нвстииы, по которым ведется иитетрироввиие в цепи Маркова. интервал времена (т,, т) разделен на семь нро- Разумеется, что и в кванмазкттков, в — коОРдината настаем.
товой механике имеет смысл классическая цепь Маркова (138.3'). Однако она описывает движение квантовой системы, которое прерывается в моменты времени (=7» (1=1, 2, ..., У вЂ” 1) измерением ее динамических переменных 17, иными словами, вмешательством измерительного прибора. При этом нарушается когерентность движения системы на отрезках времени (7» 1, 7») и ((Ь (» 1). »1ля того чтобы найти явное выражение для пропагатора К(17. й 17а, (в), обратимся, ради упрощения, к частному случаю одномерного движения матернальнои тачки во внешнем потенциале )з (х). В этом случае 17 =- х и классическая функция о 1ЗО! ФК1Н!1!Л110аСКЛЯ ФОРМУЛНРОВКА КВАНТОВОП ЫСХЛГН!Кп Я! Лагранжа имеет внд Е (х, л) = — ( — ) — к' (х). 1!Х Здесь т — масса частицы, х=-- — ее скорость.
Действие В за =Ж малый промежуток времени (1», 1»„,) равно !»»1 Б(х».ь 1»!1! хы 1») = ~ 7-(х, х) 111 Покажем теперь, что если квантовый пропагатор К для бесконечно малого промежутка времени !»1=1»,„— 1» взять в следующем виде: К(х»»м 1»„, 'хы 1»)=СекР~ 1-[ — о-( 'а! ) — )'(х„)]ц1(, ()38.4) то волновая функция тр(х, 1), определяемая формулой (!38.1), будет удовлетворять уравнению Шредингера И"' ',' = — — 'Р»ф(х, 1)+ $'(х) ф(х, 1). (138.5) Заметим, что величина '" " аппрокснмирует скорость чад! стицы на отрезке времени (1», 1»о»), а С вЂ” нормирующий множитель, определяемый из условия К=6(х„,— х») при Ж- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
