Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Концепция квантовых ансамблей очень близка к концепции классического ансамбля Гиббса, хорошо известного из статистической термодинамики. В ансамбле Гиббса микросистема рассматривается во взаимодействии с макроскопическим термостатом стт«ч имеющим температуру О. Вероятность )6'в(У, б) того или иного результата измерения диналтических переменных микросистемы 1У, ь>) относится к ансамблю, образованному неограниченным повторением ситуаций, состоящих из микроспстем р и термостата оУ; иными словами — путем неограниченного повторения систем р в одной и той же макроскопической обстановке, заданной в этом случае термостатом телтпературы О. В силу этого вероятность >) См., например, предыдущее 4.е издание этой книги: Д. И.
Блохи нцев, Основы квантовой механики, «Высшая школа>, !963. а) См, )т, И. Бл о х н н ц е в, Принципиальные вопросы квантовой механики, «Наука», 1966. % из! ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И КВАНТОВЫЕ АНСАМБЛИ 61? Кэ(У, гх) содеРжит как хаРактеРистики микРосистемы (У, 6), так и характеристику макроскопической обстановки — температуру термостата 0. !(Вантовый ансамбль в полной аналогии с классическим ансамблем Гиббса образуется путем неограниченного повторения ситуаций, образованных одной и той же микросистемой р (но не одним ее экземпляром!), погруженной в одну и ту же макроскопическую обстановку ОФ.
Таким образом, в квантовой механике микросистема ррассматривается в связи с той макроскопической обстановкой ОФ, в которую она помещена и которая диктует ей «состояние» в квантовомеханическом смысле. Однако это состояние, в отличие от классического ансамбля, не описывается какой-либо вероятностью, а описывается амплитудой вероятности '!'.А(й), т. е. волновой функцией, или, в более общем случае, матрицей плотности р.э (Е, Ю') (см, э 46). При этом индекс ОТА указывает на макроскопическую обстановку, определяющую квантовый ансамбль.
В простейших случаях индекс эд! может быть сведен к квантовым числам. Например, для достаточно холодного газа температуру термостата 6 можно заменить на и,— квантовое число нижнего уровня атома Е„если средняя тепловая з энергия атомов - - Н (здесь й — постоянная Больцмана) много меньше энергии возбуждения атома Б = Е, — Е„; индекс этэ можно заменить на р — импульс частицы р, если макроскопическая обстановка такова, что она организует монохроматическую волну де Бройля.
Все предсказания квантовой механики относятся к ансамблю, состоящему из повторения макроскопической обстановки ОТГ и находящейся в ней мнкросистсмы р. Вопрос о том, принадлежит ли волновая функция одной частице или нет, также неудачен, как вопрос о том, является ли вероятность того или иного выигрыша характеристикой данного лотерейного билета? Волновая функция (или матрица плотности) содержит как характеристики микросистемы р, например, ее координаты ((А), так н характеристики той макроскопической обстановки этА, которая определяет состояние этой микросистемы.
Поэтому волновая функция '!" ... (гА) нли матрица плотности РЛ (сА, Й') ХаРаКтЕРИЗУЮт ПРИНаДЛЕжНОСтЬ МПКРОСНСтЕМЫ й К ОПРЕ- деленному квантовому ансамблю. Верояпюсть же того пли нного результата измерения динамических переменных гА определяется величиной дй'„а (Й) = ! Ч'.и (Й)!' Ф нли йК.В ф) = р.к (й, Й) Ф. Макрообстановка Втг может как искусственно создаваться в лаборатории, когда стремятся приготовить частицы определен- злил ю ив и щ !гл. х; и шв !',»(о)=~Х',снтйлф) Чн(6), а (!39.
!) если измерено Ь=-/.л. Прн этом в серии измерений первоначально чистый ансамбль превращается в смешанный (ср. й 46). Те, кто готовы удовлетворяться чисто информационным взглядом на этот процесс, ответили бы так: в результате измерения изменилась информация, имевшаяся ~("ту в распоряжешш наблюдателя, и ои в свою сзаписпук> кии>кФр ку» заносит новую функцию Чз„ ) $ и зачеркивает прежнюю Ч', . Такое толкование, прагматически Я весьма удовлетворительное, встречается с затруднением, Рззс. 100. схема кваитовомехаиических когда квантовый переход соверизмерсинй: крут /г+ з и»оираисает шается явно без участия наблюмакроскоиическую оестаиюону, орта- дателя.Так радиоактивныйатом, иизуюшую определенное состояние Чт,и находящийся в природных усломикрочастиим р виях, может распасться, и первол — анализатор, разлатакнн ю тут,тс начальная вОлновая функция н ""к'Р " ";"'"„""".
",'„"""""" лнн' Чзо (г), сосРедоточеинаЯ внУтРи ...; д . яз...,,,Ж„.... — разлиниыс ка. ядра, превращаитея в расходясра д, еао ° - " -' р"" щуюся волну с'"/г: состояние ть и фиксирует рсзулыат из»тренин. тьо <стягивается» в состояние и'»'/г, являющееся собственным состояняем оператора импульса Р, с собственным значением р, = /й. Ответ па вопрос о природе разыгрывающегося при этом явления может быть дан только на основе совместного описания движения микросистемы и измерительного прибора, анализатора и дегектора.
Гуть дела заключается в том, что при измерении разруишетси кос ерситность отдельных состояний т)н, ранее когерснтиых между собою. Функция анализатора, ос)щесгвляющего спектральное разложение, в этом отношении недоста- пым образом, так и возникать сама по себе в природных условиях. В этом смысле волиоьая функция Ч",т (сл) (или матрица плотности рги(Й, стл')) является объективной характеристикой квантового ансамбля и в пршгципе могут быть найдены из измерений.
Из измерений же над одним экземпляром микроснстемы нельзя восстановить ни Чт.тт, ни р.и. Начинающие изучать квантовую механику обычно задают вопрос о физическом существе явления, заключающегося в стягивании волнового пакета при измерениях, когда какая-либо волновая функция Ч' (Й) после измерения динамической переменной /,=-Е,„ превращается в волновую фуикцшо Чз„— собственную функцию оператора 1.: Л )зо( вОчпОиля Фу(!лц)1я и 1 п1(поо1ас л)1О1м(..111 Рис. 101. Во.тиа Чс (х) проходит через два отверстия О, и Ох в диафрагме охх. По нрепую сторону почиккэет поле ф(х) = = ф, (х) -с фэ (х), каторос дэет интсрферсннню ин .'крене.
С', н'1.,— лучи. щупы, по рэсссяиню которых ус~эйнтютпкнстс» места прахах,деиня честииы юрсэ днэфрэгну. точна, так как разделенные анализатором пучки е(це остаются когерентнымп. Это означает, что если бы мы, скажем с помощью зеркал, свети бы эти п)чки ~м~с~е, то обпар))килась бы п(перференциопная картина. Когсрснтность пучков разрушается в результате срабатывания макроскопического детектора. Все это поясняется схел(ой на рпс.
100. Макроскопическая обстановка о4Е определяет состояние Чг.п р-мпкроспстемы. Анализатор А разлагает волновую функцию Ч" исходного ансалбля в спектр с)Ч)„ с,д()з..... ситро, ... по характерному для данного анализатора признаку (.. Далее мнкроспстема воздеиствует на один пз каналов хю„зо е, .ф ..., тр„, ... детектора '-', прн Я этом частица обнаруживает Ж себя в одном из каналов, ска- Я~ Х~ жом в и-м.
После этого мы уже имеем право сказать, что 'т "'"" мя" Г учн — 1 ХОД ИЗ СОСТОЯПИЯ Чг.х (Х) В () ) состояние 1()н (х). Если бы те-к., -'-",р.ы.....„„".х.. 6 тектора собрать по группам Х~ частицы с 1. = (.„Е, = Е„... ..., (.=т'.н, ..., то соответствующие волновые функции 11ч), т()х . Фн, ... были бы уже некогерептны.
Таким образом, важнейшим звеном в процессе стягивания волновой функции Чгл( — ф„является изменение состояния макроскопической системы †детекто. Этот процесс можно рассмотреть методами квантовой механики, если включить прибор в квантовомеханическое описан«е. Включение в рассмотрение квантовомеханическими методами макроскопического прибора требует описания всей ситуации методом матрицы плотности р„,. Рассмотрим теперь два идеализированных (но за то простых) примера квантовомеханических измерений.
А. Пусть в диафрагме хх) имеется два отверстия О, н Оа диаметром (( (рис. 101). Р!а диафрагму падает волна частиц фа(х). Проходя через отверстия, эта волна образует два дифрагирующих пучка т()1(х) и фа(л) (предполагается, что длина волны ) пучка Чм сравнима с диаметром отверстий ((). В силу когерентности волн Ч)1(х) и фа(х) на экране возникает интерферепциопная картина. Прн этом распределение интенсивностей в ней дается выражением у (х) = ~ т()( (х) + фв (х) (а = ~ т(), (х) (а + ! ф, (х) (а + 2 )се ф", (х) т))е (х), 1г»т, ххч 620 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Последний член в этой формуле обусловлен интерференцией пучков ф,(х) и ф,(х). Допустим, что мы хотим узнать, через какое же из отверстий прошла частица. Диафрагма является анализатором положения частицы (х О, нлн х — Ое).
Кроме этого, нужен еще детектор. В качестве детекторов О, и О, возьмем два луча света !, и Ц. Этн лучи должны иметь очень короткую длину волны ).а таку10, чтобы сами эти лучи-щупы не расширялись бы из-за днфракции. Это означает, что они должны описываться геометрической оптикой. Таким образом, оии являются классическими макроскопическими лучами. Если рассеялся луч Е„то это означает, что частица прошла через отверстие О, и имела координату х около О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
