Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Уже в квантовой теории электромагнитного поля выяснилось, что распространение теории поля за рамки простейших процессов поглощения, излучения и рассеяния фотонов на любые электромагнитные процессы, включая взаимодействие частиц, ведет к принципиальным трудностям. В этих случаях приходится иметь дело с фотонами бесконечно большой энергии.
Вместе с тем оказывается, что так же, как и в классической электронной теории, электромагнитная масса заряженных частиц равна бесконечности. Этот результат получается н в теории других полей. Проблема массы частицы видимо есть проблема структуры частицы и представляет собою труднейшую н до сих пор нерешенную задачу теории. Особо важное место занимает в современной теории релятивистская теория электрона, развитая П. Дираком.
Она является обобщением нерелятивистской квантовой механики электрона на случай больших скоростей '), Эта теория, в сочетании с квантовой теорией поля, позволяет рассчитать многие релятивистские явления такие, как превращение кванта света в электроны и позитроны, и обратно, рассеяние света иа электронах и другие. Опа дает полную теорию движения быстрого электрона во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра атома.
Особенно интересны поправки, вносимые в это движение пулевыми колебаниями электромапщтного поля и поляризацией вакуума. В настоящее время эти эффекты получилп экспериментальное подтверждение и являются доказательством изумительного факта: в вакууме существуют постоянные нулевые колебания, подобно тому, как они существуют в твердом теле, более того, из-за образования пар позитронов и электронов и последующей их аннигиляции происходит поляризация этого ') Подобно тому, как, говоря о фотонах, мы имеем в виду квантовую теорию электромагнитного поля. т) Изложение теории ширака выходит за рамки этой книги, посвященной нерелятивистской теории. $ !«н ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КВАНТОВОП МЕХАНИКИ 629 вакуума. Все эти эффекты удается вычислить применением теории возмущения, основанной на малости электрического заряда электрона.
При этом для устранения бесконечностей из расчетов применяются специальные методы «перенормировки», позволяющие последовательно устранять бесконечность в каждом приближении '). Применение этих же методов к сильным взаимодействиям таким, как взаимодействие мезонного поля с нуклоиами, приводит к более ограниченным результатам. Причина лежит в том, что сами методы «перенормнровки» не решают проблемы собственной массы частицы и их структуры, а представляют собой лишь искусственный прием, позволяющий обойти явное рассмотрение физических процессов в области особо малых масштабов.
В последнее время результаты исследований взаимодействия частиц при особо высоких энергиях явно указывают на сложную структуру барионов и мезопов. Гипотеза о том, что они состоят из «кварко⻠— частиц с дробным электрическим зарядом'), получила подтверждение как в систематике частиц, так н в описании результатов эксперимента иа современных ускорителях. Сейчас было бы преждевременным утверждать, будут ли эти субчастицы подчиняться принципам квантовой механики, илн переход в глубины элементарных частиц потребует новой динамики, подобно тому как переход на субатомный уровень привел к созданию квантовой механики. В свое время В. И. Ленин сделал гениальный прогноз о «неисчерпаемости электрона»). Эта идея получает в современной физике элементарных частиц всестороннее подтверждение"-). ') 1-1. Н.
Б о гол юбов, Л. В. Ши р кон, Введение в теорию квантованных полей„«Н»ука», 1973; А. И. Ахиезер, В. Б. Берестсцкий, Кван. тонах электродииамнка, «Наука», 1969. «) «.»4., например, Ю. В. Новожилов, Зле»«сигарные частицы, «Наука», 1974. з) См. В. И, Л си и и, Материализм и эмпириокритицизм. Полное собрание соч., т. 18, Госполитиздат 1961. «) См.
анализ этой идеи применительно к современной ситуации: Л. И. Блох и я цен, Ленин и физика, В международном ежегоднике «Наука и человечество», 1969, «Знак«ге», 1970, стр. 48, ДОПОЛНЕНИЯ 1. Преобразование Фурье Напомним сначала интеграл Дирнхле, фигурирующий в теории интегралов Фурье: ь 1(ш ~ ср (г) с(г, (1) а где ср(г) — произвольная функция.
Этот сснтеграл обладает следующими свойствами: 1) если а, Ь) 0 или а, Ь(0, то этот интеграл равен О, 2) если а О, Ь)0, то он равен ср(0) (для непрерыв- 1 асп п»г ных функций) '). Наличие функции — под знаком интеграла и г и взятие предела Оп-«со) мы можем обозначить одним символом 6(г), так что предыдущий интеграл напишем в виде (О, если а, Ь) 0 или а, Ь(0,1 11ср (0), если а ( О, Ь ) О. (Р )Р сР(Рг)стР = ~ ф (х)( — сд ) ф(х)с(х, (3) где ср(рг) есть компонента Фурье от ф(х): ь» +»» сР(Рг)= ~ »Р(х) ', с(х, (4) ») Си., например, В.
И. См ярков, 1(урс высшей математики, т. 11, еыаука», !965, стр. 477. Символ 6(г) часто называют 6-функцией (дел ьта-функция). Общее определение символа 6 дано в дополнении 111. Переходя к доказательству эквивалентности формул (13.1), (13.3) и (13.5), (13.6) соответственно, мы рассмотрим ради сокрашения выкладок случай одного измерения и докажем справедливость равенства -!- ь» -1- ь» ь пгсопг лзовлнпг. еггьгс а и — целая положительная степень. Для доказательства подставим в (3) вместо <р(р,) н гро(р,) их выражения пз (4), Тогда имеем о х р..с +со +со +о» Р,"= ~ с(Р„~ 1р*(х') ч Нх'р" ~ в»(х) (» о х о»с Г, д1о — С— Вместо произведения р"е " можно написать (И вЂ” ) е Л и) Тогда получаем +со +со О,х' + со р,с Р",.
†-- ~ 2 ~ ~ р' (х') е ' (»' ~ $ (х) (Й ~,~ е " г(х. (6) Проинтегрируем в последнем интеграле и раз по частям, причем будем предполагать, что ф(х) и ее производные обращаются в нуль на границах интегрирования х= +-со. Выполняя интегрирование, найдем +о» +с» оо' +» ооо Р" „= ~ 2 †„~, ~ ~р' (х') е " и»' ~ е " ( — И - ) ~р(х) о(»; (7) переменим теперь порядок интегрирования и будем интегрировать сначала по р„: -~. со +со +» ис(м-М» р„"= ~ ~Р*(х')стх' ~ ~ — И, 1 ~Р(х)с(х ~ е ' + (8) Введем теперь переменные ь="»"-, г =»' — х.
Выполняя в последнем интеграле в (8) интегрирование по ь в конечных пределах от — и до + и, а затем переходя к пределу и-о-оо, мы можем написать (8) в виде р„"= ~ [( — И -) $(»)1дх Вгп ~ $*(х+г)Игвпиг= ~ [( — Иа— ) ~р(х)~г(х ~ ~р*(х+г)б(г)п'г. (8') На основании (2) (а= — со, 6 =+ со), гр(г) =фо (х+г) имеем р"= ~ [( — И -) оР(х)~ойо(х)о(х= ~ $~(х) ( — И -) ~Р(х) Нх. (9) 632 ДОПОЛНЕНИЯ следует нз справедливости (3), если заметить, что по теореме Фурье Р +оэ « 'ф(х) ~ «Р(Р,) ч «(Рл. (4') Взаимно заменяя в (3) ф и «р, рл и х и меняя одновременно знак у мнимой единицы в показателе формулы (4), мы получаем из (3) и (4) формулы (11) и (4').
Из (11) далее следует Р(х) = ~~~алхл = ~ «р (Рл) Р(«йа — ) Ч>(Р„) «(Рл. л СО Это — частный случай (!3.5) для одного измерения. Обобщение па три измерения опять-таки тривиально. (12) И. Собственные функции в случае вырождения Собственные функции ф„» (й= 1, 2, ..., 1), принадлежащие собственному значению 1л, линейно независимы, т. е. между ними не существует соотношений вида ,У', П»фл» =()~ »=1 где а„— некоторые постоянные. Если бы такие соотношения существовалп, то они означали бы, что одна нли несколько функций Тем самым доказано (3).
Целая рациональная функция от р имеет вид Р(р„) =-~Ч~алр . Имеем л Г(Р„) = ~алР,= ~~~~а„~ »Рл(х) ~ — «й- )»Р(х) «(х= л л (х) Р ( — «й - -) ф (х) «(х. (10) Таким образом, эквивалентность (13.3) и (13.6) для случая одного измерения доказана. Обобщение на три измерения сводится просто к увеличению числа интегрирований и поэтому совершенно тривиально (достаточно доказать эквивалентность (13.3), (13.б) для среднего от р„"р'"р',, где т, а, 1-целые и положительные степени). Справедливость равенства есю +л ~л= 1 'т ( ) ( ) = 1 «р (Р.
1«"д 7«р(Рл)««Р (11) и. совствснпые езнкции в случае вырождения 633 трли = ,У', паафае, сс = 1, 2, " , ~. з=! (2) В силу линейности уравнения для собственных функций функции срно будут опять-таки собственными функциями оператора з', и принадлежащими собственному значению 1,и.
Из условия ортогональности функций !р„„: ~ Ч~«Юла с(» = бор~ следуют условия для определения коэффициентов а„: 1 поаапаа'заа' бор~ з=! з =-! (4) где з,„= ~трзаф,а с(х. Возможность найти коэффициенты аоз, удовлетворяющие условиям (4), следует из геометрической аналогии. Будем рассматривать функции зр,а как единичные векторы )з в пространстве у измерений, а зеа — как скалярные произведения (га, |а). Тогда (2) можно рассматривать как преобразование в пространстве ( измерений от косоугольной системы координат к прямоугольной').
Отсюда ясно, что преобразование (2) — не единственное: получив ортогональную систему координат, мы можем ее еще вращать любым образом. Так, например, если функции тр„а уже ортогональны, то заа = — — бааэ и из (4) тогда следует ,Уз пазпрз =бар. (6) а=! Это и есть условия для коэффициентов ортогонального преобразования системы ортогональных функций тр,» в новую систему опять-таки ортогональных функций чзн, Таким образом, собственные функции, принадлежащие одному собственному значению !.„, определяются лишь с кточностью» до ортогонального преобразования вида (2) с коэффициентами, подчиняющимися условию (6). !) Подробности об ортогоналнзации функций см, в книге Р.
Кур а н т и Д. Гол ьберт, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951, ы. П,й!. выражаются через другие, т. е, фактическое число различных собственных функций, принадлежащих 1.а, было бы не ), а меньше. Если функции зриа не ортогопальиы между собой, то мы можем ввести новые функции, получающиеся из зРлз линейным преобра- зованием дополнения Ш. Ортогональность н нормировка собственных функций непрерывного спектра. 6-функция Проинтегрируем уравнение для собственных функций 6р(х, (.) = (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
