Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Из уравнения Шредингера для ф и ф* нетрудно получить следующее равенство: 'д, по= —. ~ ф'ЙфгЬ вЂ”,—; ~ фйф*гЬ= — ~ б!ч 3~Ь, (1) где выражение для плотности тока 3 совпадает с полученным в 2 29. С другой стороны, условие самосопря>кенности для оператора Й имеет вид ~ф*ЙфгЬ = ~фй*ф~ до, (2) Переходя по формуле (8) к ковариантным компонентам Р„Ре, Р„, мы получаем на основании (9), (12), (13) и (14) Р = — !й ( — г), Ре = — — ()' з1п В), 1 (15) Р„= — !й — '. д~) ' 1 1 Вычислим теперь вторую группу квантовых уравнений Гамильтона ф=~Н, Р,1, "— „",е=~й, Р4, ф=)й, Р,1. (16) Для этого целесообразно представить (10) в виде "2 "2 й=Р'+ — ",+и(., в, р), (17) 2и 2ц~~ где М' — оператор квадрата момента импульса, а Р,— первый из операторов (15).
Несложное вычисление скобок Пуассона (!6) с помощью (!7) дает чпь тоавовлния к волновоп Функции 649 (б) (б') т, е, непрерывность волновой функции и ее первой производной. Предположим теперь задачу трехмерной и положим, что в точке г= О оператор Гамильтона имеет особую точку. В этой точке теорема Гаусса (3) опять-таки не будет применима, н мы должны исключить ее пз объема интегрирования, окружив ее сферой малого радиуса )7, Тогда интеграл по поверхности в формуле (3) разобьется на два: по бесконечно удаленной поверхности, в пределе охватывающей весь объем, и по поверхности шара радиуса лг -о. О: ()ш Яо~1ядй+ ~1яо(К=О, я-о (7) причем в первом интеграле мы выразили элемент поверхности шара в виде да=-)то о(Р, где гУ(4 — элемент телесного угла. Ввиду исчезновения в бесконечности волновых функций (пли их собственных дифференциалов) второй интеграл равен нулю.
Подстав- 16/ дф~ . дф! ляя в первый интеграл 1я= — ~ф — — ф* — ~ и полагая ф=и/г", 2и ~ дй дй) и стало быть, для того класса волновых функций, для которого оно выполнено, мы должны иметь г — дт ф'фпо= — ~ б!о Зда= — ~ 1л о(э=О. (3) Обратимся сначала к случаю одного измерения — со«"хс со. д'Гк Имеем о(о=о(х, б)о 3= —. Если в некоторой точке х=х, нарушается непрерывность потенциальной энергии (1(х) (скажем, она претерпевает скачок), то при интегрировании в (3) мы должны исключить эту точку. Выполняя интегрирование, получим 1„(+ со) — 1, (х1+ 0) + 1„(лл — О) — 1„( — со) = О. (4) Плотность тока 1„(.+-со) должна равняться нулю (противоположный случай означал бы, что волновые функции в бесконечности не исчезают и все интегралы были бы расходящимися); заметим, что при рассмотрении самосопряженности собственные функции фл операторов с непрерывным спектром л., пе исчезающие в бесконечности, должны быть заменены исчезающими в бесконечности собственными дифференциалами (ср.
дополнение ! ! !). Таким образом, пз (4) следует непрерывность плотностп тока 1, (х, + 0) = 1, (хл — О). (5) Подставляя сюда значение 1„из (29.5), получим дополнения где и регулярно при г -+ О, получим 77е Г !т ди* „дит )пп — „; ~ !и — — и*-) г(!4=0, (8) что возможно лишь в том случае, если се(1. Отсюда мы видим, что волновые функции во всяком случае не могут обраьтаться в бесконечность быстрее, нежели 1)г"", а 1. Неоднозначность в волновой функции может возникнуть в том случае, когда мы имеем дело с циклическими координатами, например с углом ~р, отсчитываемым вокруг некоторой осн.
Тогда угол гр и угол 9~+ 2п означают одно и то же положение в пространстве, поэтому вероятность фетР, как величина наблюдаемая, обязана быть однозначной функцией угла «9. А рг(оП этого нельзя сказать про саму ф-функцию. Однако на основании свойств сферических функций и уравнения непрерывности (1) путями, сходными с изложенными в этом дополнении, можно показать, что ф-функция должна быть однозначна (иначе самосопряженность оператора Й не может быть обеспечена) '). Таким образом, естественные условия, предъявляемые к волновой функции на основе требования сохранения числа частиц (3), в конечном счете сводятся к требованшо выполнения условия самосопряженности оператора (2). Будут ли при этом выполнены условия самосопряжеиности для других операторов х'.— будет зависеть от их природы, поскольку класс допущенных волновых функций уже определен оператором Й и допущенными в нем нарушениями непрерывности.
!Х. Решение уравнения для осциллятора Задача о нахождении квантовых уровней осцнллятора приводит к уравнению ф" + (Л вЂ” Р) ф = О. (1) Подставляя (2) в (1), находим о" +2)'о'+()" +)" + Л вЂ” $а) и= О. (3) ') Ср. В. П а у л и, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, !947, $6. Нам нужно найти конечные и непрерывные решения этого уравнения.
Исследуем асимптотическое поведение решения (1), т. е. для $ = -+.оо. Эти точки одновременно являются особымн точьачн уравнения. Для этого положим ф ($) = ем- о (й). (2) !х, гешснив эглвнвния для осциллятогл 65! Чтобы функция ет<ь! явилась фактором, определяющим асимптотическое поведение ф(6), нужно выбрать 7 так, чтобы коэффициент 7" +(и — сэ в особых точках с =.+. со был регулярным, т. е. чтобы член Д уничтожался.
Это дает ! 6) = ~ 2 Р. ! (4) Стало быть, решение уравнения (1) можно представить в виде ф (с) = с,е-'пнр! (ц+ гэеэ ил*и„($), (5) Мы интересуемся конечными решениями ф поэтому берем частное решение сэ=О, т. е. берем ф в виде ф(с) =а-чью($). (6) Для функции и будем теперь иметь уравнение о" — 2сп'+ (Л вЂ” ! ) о = О. (7) Точка $=-0 — регулярная. Поэтому и можно искать в виде ряда Тейлора у = ~ а(Д~. ь=а (8) Подставляя (8) в (7) и собирая одинаковые степени $, получим рекуррентную формулу для определения коэффициентов аэ! (и + 2) (й+ 1) аэ,, — 2йаэ+ (Л вЂ” 1) аэ = О, (О) откуда 2ь-!Л вЂ” !) ад„= + +, аэ. (1О] Это и есть формула (47.6), приведенная в тексте.
)э!ногочлен п(8) с коэффициентами, определяемыми формулой (10) для Л=2п+1, носит названием ног очлен а Чебыш ев а— Эрмита. Его обозначают обычно через Н„(9, и он удовлетворяет уравнению(7) при Л=2п+1, т. е. уравнению Н„" — 2$Н„'+ 2пН, = О. (12) Если ряд (8) оборвется на члене номера п, то о будет много- членом п-й степени. Тогда решение (6) будет конечным, непрерывным и однозначным во всей области — оо($(+оп, Такие решения и будут собственными функциями уравнения (!). Из (10) следует, что ряд может оборваться лишь при тех значениях Л, которые определяются формулой Л=2п+1, п=О, 1, 2, ...
(11) вэд дополнания Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет многочлен е" — „.„(е ы). О Поэтому Н„только множителем отличается от этого последнего многочлена, Следуя обычному определению, мы положим Н„Я) =( — 1)" "— „(е ы). (!3) (Нетрудно убедиться, что многочлен (13) имеет коэффициенты, удовлетворяющие рекуррентной формуле (10) прн Х=2п+!.) Приведенный в тексте (47.8) многочлен Н„отличается от (13) множителем Ь 2лп! ~' и, который выбран так, что функция ф„($) нормирована к 1. Именно, в тексте мы даем нормированный поли- пом Чебышева — Эрмнта Н„(с) — е * — (е-ы).
(14) )' 2сш )сл Собственное решение уравнения (1), принадлежащее собственному значению Х=-2п+1, может быть теперь записано в виде ф'($) = е ' ыН„ ($), (15) где под Н,($) будем понимать нормированный полипом Чебы- шева — Эрмита (!4). Функции ф„($) ввиду самосопряженности оператора, опреде- ляющего уравнение (1), должны быть ортогональными.
В этом легко убеждаемся непосредственно. В самом деле, для двух функций ф„ и ф, имеем —,С4," + (2п + 1 — Р) фл ОО О, ~,"' + (2п'+1 — $э) ф, =О. УмножаЯ пеРвое УРавнение на ОР„э а втоРое на сР„, вычитаЯ н интегрируя по ас получаем -С СО + СО ~ 'фл — "„",",' — ф„'„'4',"') (й= — 2( — ') ~ М„а. Левая часть есть З- ОО + СО т. е. !Х. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА взз О помощью интегрирования по частям можно также убедиться, что + СО ФМлг$=1! следовательно, + со ~ ФМл д$=6лль (1б) т. е. функции лР„образу!от систему ортогональных и нормиро- ванных функций. Любая функция ф($) (с несу!цественными для нас ограничениями) может быть представлена в виде ряда ф (К) = ~~ С„фл (К), лР а (17) где с,= ~ ффф„($)гф.
(18) л=! Обратимся теперь к свойствам ненормированных многочленов дл Чебышева — Эрмнта (13). По формуле Коши производная — е-Ы д$л может быть представлена в виде интеграла по замкнутому контуру (19) причем контур обходит точку $. Поэтому из (13) имеем Л! Р е--* Е ЫН, (Я) = ( — 1)л —. ~ „Е(г.
2л!,) (г — Е)лн Полагая г=$ — 1, получим ! ! е !+~л Л! л (Л) 2Л! ~ !л" 1 (20) (контур обходит вокруг 1= 0). Из последней формулы следует, что Е-И+26= 'Е ' Нл(В)(, (21) л=О т, Е. Š— Н+Е4Е ЕСТЬ ПрОИЗВОдящая фуНКцИя ддя Нл(С). Производящая функция (21) позволяет установить важное рекуррентное соотношение между полиномами Чебышева — Эрмита.
Для этого дифференцируем (21) по 1: е-н+иФ(2$ 2() ~' Н ($) (л-е ДОПОЛНЕНИЯ т. е. сл '~) Я Н (Оь) (л ~ . Н (О) (ллъ — ~~~ Н (ьь) (л-1 (22) л .— — О с=О л=! Х. Электрон в однородном магнитном поле Функция Гамильтона (см. дополнение У1, формулу (б)) при сделанном нами выборе вектора-потенциала А (57.1) имеет впд Н вЂ”.-'-(Рх+. '27Н~'+ — РР+-"'. Отсюда дН с,Я" ( с —,„= - —;;; '.х+-,=-.1, — О, дрх дН дГ дх (2) Рт У) дх дН "Рх да дН рх дг дН рх дг дрр н ' дГ др» (3) Собирая коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем 2аНл ($) = Н„., (с) + 2пН„, (с).
(23) Умножая эту формулу на $ и применяя еще раз (23), получим 2$ОН„ф=(2п+1)Н„(~)+- Н„~~Я)+2п(л — !)Н„ОЯ). (24) Умножим эти равенства на е-Ы и заменим в них ненормированные полиномы Эрмнта на нормированные (для чего в (23) и в (24) каждый полипом Нл, умножаем и делим на г' 2"'и! )'л), После сокращения на общие множители получим рекуррентные соотношения для волновых функций (15). Именно, Кл Е = ~/ — "+ — 'ф.„а+ 1/ -,"- ф., Е. (25) Отсюда получаем интеграл, встречающийся в Ц 47, 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
