Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 90
Текст из файла (страница 90)
е. Имеется иеопрььде!енность э разности ноьальной энергии Е, и конечной Е, связанная с длительностью промежутка времени ь' между началом измерения (начало взаимодействия падающего электрона с атомом) и концом измерения (определение энергии падающего электрона после столкновения). Предположим теперь, что энергию падающего извне электрона и до и после столкновения мы знаем точно. Тогда из (112.20) следует соотношение для длительности измерения ь' и неопределенности Л(Ер — Е;) в разности начальной и конечной энергии измеряемой системы (атома): Л(ń— Е„) (= й.
(112.21) Чтобы определить уровни нашей системы (опыт Франка и Герца), фиксируем еще н конечную энергию. Дь!я этого будем отмечать те случаи, когда в результате столкновения атом ионизуется (Е„) О), и измерять энергию вылетающего нз атома электрона. Тогда вся неопределенность перенесется на начальное состояние, и из (1!2.21) мы получим Ь(Е„) ь'тай. (1!2.2!') Чтобы можно было знать, какую из энергий Е„или Е имел атом до столкновения, нужно, очевидно, чтобы Ь (Е„) =', ń— Е $113! ЗАкон сохРАнення энеРпп1 н ОсОБАя РОль ВРеменн 435 т. е )Е,— Е ! 1)й, (112.22) т. е. для того чтобы отличить, в каком из состояний находился атом до опыта, нужна достаточная длительность измерения (при этом энергия после опыта предполагается известной).
Если же ограничиться определением энергии только до опыта (в исходном состоянии) или только после опыта, то соотношение (112.21') не имеет места. $ 113. Закон сохранения энергии и особая роль времени в квантовой механике В классической теории закон сохранения энергии утверждает, что энергия замкнутой системы остается неизменной, так что если обозначить энергию такой системы в момент Г = О через Е„ а в момент 1 через Е„ то Ео = Е1.
(113.1) В квантовой механике закон сохранения энергии формулируется аналогичным образом. Именно, согласно ~ 33 энергия является интегралом движения, и вероятность !Р(Е, () найти в момент 1 значение энергии, равное Е, не зависит от времени: (113.2) Закон сохранения энергии в только что высказанной форме предполагает возможность определения энергии в данный момент времени без того, чтобы подвергнуть ее неконтролируемому изменению. В классической механике возможность такого измерения не вызывает сомнений. В квантовой механике, напротив, такого рода возможность ввиду того, что вмешательство прибора, вообще говоря, меняет состояние системы, не является самоочевидной. Рассмотренные в 8 !11, 112 измерительные устройства для определения энсргнн показывают, что энергия без нарушения ее величины может быть измерена лишь с точностью (113 Д) где т — длительность измерения.
Однако это не представляет трудности для закона сохранения энергии, так как энергия является интегралом движения, н мы располагаем как угодно большим временем, чтобы произвести длительное измерение. Так, например, если мы проведем измерение в течение времени т, а затем предоставим сис!ему самой себе на время Т, а затем вновь определим энергию, то закон сохранения энергии (112.2) 486 пРПВ1енения теоР!1и движения многих тел !Гл. хлн утверждает, что результат этого второго измерения с точностью л ухŠ— — совпадает с результатом первого измерения.
Если же не требовать неизменяемости энергии при ее измерении, то никаких ограничений на точность кратковременного (мгновенного) измерения энергии пе наложено, так как соотношение (1!3.3) содержит лишь неопределенность ЛЕ разности энергий до опыта и после опыта (ср. (112.21)). Поэтому можно получить сколь угодно точное знание о величине энергии в данный момент времени, если ограничиться знанием ее величины либо до опыта, либо после опыта. Так, например, можно определить значение энергии в момент (=О после опыта и в момент (=Т до опыта.
Тогда закон сохранения энергии утверждает, что оба значения энергии будут равны друг другу. В заключение вопроса об энергии укажем на то, что соотношения между неопределенностью ЬЕ значения энергии Е в данный момент времени 1 и точностью фиксации этого момента И: (113.4) ЬЕ Ж'=-- —, подобного соотношени1о для импульса и сопряженной координаты Ьр,. Ьх.=-. —, (113.3) в квантовой мехашп<е не суп(ссгпадгп! так >ке, как не существует и соотношения (.Н вЂ” Н 1= И в отличие от соотношения хЄ— — Р х=1'й. Мы могли бы рассчитывать на подобное соотношение лишь в том случае, если бы энергии Е можно было бы сопоставить д оператор !г1 — подобно тому, как величине р, сопоставляется д оператор — !й —.
На самом же деле, в квантовой механике оператор энерп!и Й есть «функция» операторов импульса и координат: Й==Й(Р„, Р„, Р„х, у, е). Поэтому с точки зрения общих принципов квантовой механики энергия есть величина, которая в данный момент времени может иметь вполне определенное значение, а время 1, в отличие от координат х, у, г, не является оператором. Однако все же можно получить соотношение (113.4), есгн! вложить надлежащий смысл в понимание велич1ш ЛЕ и Лг. Приведем примеры.
Пусть мы имеем группу волн (см. 33 7 и 14), движущу!ося с групповой скоростью э и имеющую размеры (неопределенность в координате) Ьх. Введем время М = Лх/о, в течение которого группа проходит через какую-нибудь фнксн- злкОн сохРл11ення энГРпн1 н Осовели Роль ВРемшн! 437 4 113! рованную точку пространства х.
Имея в виду, что ЛŠ— Л,— = Лрз, Рк мы получим нз (113.5) ОЛр„.- — =-ЛЕ Л! ~ --. (!13.б) (113.7) з) См. Изв. АН СССР сер. физич., 9, !22 (!945). Здесь ЛЕ есть неопределенность в энергии, а Л( — время прохождения группы через фиксированную точку пространства х. Можно сказать и иначе: это есть время, в течение которого среднее значение л меняется на величину неопределенности в координате Лх. Других! примером соотношения вида (113.4) может служить рассмотренное в 2 99 явление распада, исчезновения некоторого заданного первоначального состояния зр(х, 0).
Именно, там бьио показано, что если неопределенность энергии ЛЕ отождествлять с шириной квазистационарного уровня ЛЕ=Ю72, а под Л( понимать длительность жизни состояния т=1/л=Л(, то ЛЕ и Л( связаны соотношением (113.4) (ср. формулу (99.31)), Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом было показано'), что рассмотренные здесь примеры являются частным случаем весьма общего толкования соотношения (113.4), заключающегося в следующем: пусть Е есть любая механическая величина, не являющаяся интегралом движения.
Тогда, если состояние л!еспзаг(ионарно, то среднее значение Х будет меняться с течением времени. Пусть Л( есть тот промежуток времени, в течение которого среднее значение г', меняется на величину неопределенности ЛЕ (И есть корень квадратный нз средне~о квадратичного отклонения (Л!')з! !!ь(!+Лг) — ).(7) =ЛЦ. Тогда Л!' связано с неопределенностью в энергии ЛЕ 1,причем ЛЕ='Р (ЛЕ)з) соотношением (113.4). Глава Х!Х СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ ф П4. Принцип тождественности микрочастиц Мы перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из одинаковых частиц.
Одинаковыми частицами мы будем называть частицы, имеющие одинаковые массу т, заряд е, спин з и т. д., так что в равных условиях (внешнее поле, присутствие других частиц) такие частицы ведут себя одинаковым образом. С точки зрения атомизма естественно, но не необходимо считать, что все экземпляры частиц одного рода (электроны, протоны, нейтроны и т. д.) между собой тождественны. В самом деле, измерение величин, характеризующих частицы (т, е, з), производится, конечно, лишь с некоторой точностью (йл, Ле, бз), и всегда законно предполагать, что, по крайней мере в пределах точности измерения, разные экземпляры могут отличаться друг от друга. Одинаковы или неодинаковы все экземпляры одного рода, это можно было бы решить лишь в том случае, если бы поведение совокупности одинаковых частиц качественно отличалось от поведения совокупности различных, хотя бы и сколь угодно мало частиц.
Именно к такому качественному отличию свойств совокупности одинаковых частиц от свойств совокупности различных частиц приводит квантовая механика. Поэтому, опираясь на квантовую механику и опыт, можно решить на первый взгляд неразрешимый вопрос о том, тождественны ли друг другу все представители частиц одного рода или нет. Чтобы уяснить себе, каким путем решается этот вопрос, мы должны обратиться сначала к изучению наиболее простых особенностей совокупностей, состоящих из одинаковых частиц. Пусть мы имеем АГ одинаковых частиц. Координаты, принадлежащие й-й частице, обозначим буквой д„так что под д, следует понимать три координаты, определяющие положения центра тяжести частицы (х„, ум г„) и, может быть, еще четвертую, определяющую спин частицы (зз), если она таковым обладает. 489 4 п41 пиинцип тождкстввнности микрочлстиц Обозначим массу частиц через га, энергию во внешнем поле через У(Ч„(), а энергию взаимодействия й-й и )чй частиц через )т'(Ч„Ч), тогда гамильтониан системы таких частиц будет равен Й(Ч1,Что ", Ч, ", Чь ", Чн,()= = '~ ~ —,-",-Ча+и(Ч„, ()~+ „'~ )Р'(Ч„, Ч,).
(П4Д) а=! а)1=1 Предположение об одинаковости частиц выразилось здесь в том, что массы частиц, энергия во внешнем поле У и энергия взаимодействия В' для всех частиц взяты одинаковыми. Эта особенность гамильтониана сохраняется в любом внешнем поле: на одинаковые частицы любое внешнее поле действует одинаковым образом. Для проведения общих выводов не очень удобно опираться на специальный вид гамильтоннана') (114.1). Поэтому мы должны выразить тот факт, что гамильтониан описывает систему одинаковых частиц, не прибегая к явному его виду. Исходя из (114.1), легко уяснить себе, в чем заключается обязательная и наиболее общая особенность гамильтониана системы одинаковых частиц. Если в гамильтониане (114.1) мы пеРеставим местами кооРдннаты й-й частицы (Ча) и )чй частицы (Ч;), то гамильтониан не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
