Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Повторяя рассуждения 4 74, можно легко вывестн формулу для энергии в магнитном поле для системы частиц г 1 (/+ 1) — У (5+ 1) + 5 (5+ 1) ! йт =ЬО т (1+ (105.33) так что (74,23) будет частным случаем (105.33) для одной частицы. Формула (!05.33) дает расщепление уровней в магнитном иоле для системы электронов (сложный атом). й !06. Собственные функции оператора момента импульса системы.
Коэффициенты Клебша — Гордона Собственные функции оператора полного момента системы являются сложными функциями угловых и спиновых координат частей системы и их квантовых чисел. Однако в большем числе часто встречающихся случаев их можно выразить через функции моментов импульса отдельных частей. Рассмотрим наиболее простой случай системы, состоящей из двух подсистем. Пусть М, н Мз суть операторы моментов импульса этих подсистем, коммутирующие друг с другом.
М, и М, могут быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т. д. Полный момент импульса будем считать интегралом движения. Состояние системы люжет быть охарактеризовано как квантовыми числами у„уто т„птз (у,, у',— собственные значения моментов импульса подсистем, т„аь — их проекций), так и четверкой чисел У, т, у,, /з (У, т — собственные значения полного момента системы и его проекции, причем т=тт+лтз (105.23)). Поставим задачу определить волновые функции системы через волновые функции подсистем. Пусть У'у,„ч — общие собственные волновые функции операторов М" ,и Мео Уу,„ь то же для М и Мз, Тогда произведение 1;„,,1'у„а, будет собственной функцией оператора проекции полного момента М:=Ма:+Ма. с собственным значением т =из+о!я.
Обозначим через У'~у„, общую собственную функцию операторов М' и М,. Ее можно представить как линейную комбпнацшо злдАчА мнОГих тел !Гл, хчи произведений У;н„,Улт,: У",'/„, = »', ~", (1',!е//!//и. ~ Л/и) У/тч У/н,ч. (106 1) т~= / ч/ = /ч Л+ /9 Удт, 1'в „= ~ 'Х ', (1/)зп!!тз ' У/и) У7;,; (106.2) /=!л — в.' /ч= — / (сумма по и содержит фактически один член т=т!+из).
Из условий ортогональности систем функций У„и У/лл следуют условия ортогональности для коэффициентов Клебша— Гордона, а именно й /ч ()!(зт/та ) лш) (Яет/тз ~,/"/и') =Ьзз бт, (106.3) и/! /! тч Л / Ч /ч Х з (Я и/лтт ! /т) (1!)еп!/ш„'/ ч/т) =-6, „, Ьт „,, (106.4) ./=! /', — /', ! т= —./ 2/'+ 1 (1!)е/и!лта ! )/и) (1/)зш!//!з ~ г/и) = . + 6,,/„бта ., (!06.5) /и М/ /) Подробно см. К.
К он дон, Г. Ш о рта и, Теория атомных спектров, ИЛ, !949. По поводу обозначений см. А. С. Давыдов, Теория атомного ядра, Физматгиз, !958. 1 з) и в (64.28') соответствует и, в(106.1), ! -е !ь ил — -е и. 2 Коэффициенты ()!/з/и!//!е)а/и) являются действительными числами и назывшотся коэффициентами Клебша — Гордона (Жордана) '). Они равны нулю при ш -- и!+/пз, так что двойная сумма в (106.1) фактически сводится к однократной. Функции У7/А/ч зависят от тех же переменных, от которых зависят функции Улан, Ув, В частности, если одна из них есть функция угловых координат, другая — спиновых, то соответствующая У//,/) называется сферической функцией со спином. Именно этот случай был нами рассмотрен в 9 63, где находилнсь собственные функции полного момента — спинового и орбитального для одной частицы.
Коэффициенты при У, и У,, в формулах (64.28) и (64.28') и суть не что иное, как коэффициенты Клебша — Гордона для случая ') )з =- !уз. Спиновые волновые функции в этих формулах заменены их значениями (О1). Выражение (106.1) допускает обратное преобразование э 1ое! сонствсппыс Фупюп!и ОпсРлтОРл момситл пмпульсА 45т Коэффициенты Клебша — Гордона удовлетворяют также некоторым условиям симметрии, а именно, (угу'гп1т 1Ь11)= ( — 1)Г ' г- — '(уг/е,— гг!1, — ггге', У, — т), (106.6) (угуетгпга ) ут) = ( — 1)г о г - г (уаугп!еп!1 ! у!11), (106,7) '$ /2у, + 1 (у,уеггггггге / Угп) =- =( — 1)г.+ан)г'2Г+1(ууе, — т, гна!уг, — п11), (106.8) )г' 2У, + 1 (УЛУеггггпгУ'(,Уггг) = =( — 1)' -'"'1 21+1 (угут1, — т~ уе, — пг,), (106,9) 3'2у,+1(угуетгте! Ут) = =( — 1)" " 2$/2 +1(уе,уте, — т',у'„— т,), (106.10) Приведем табл.
2 и 3 коэффициентов Клебша — Гордона для у, =— 1 и 1. Таблица 2 ! Коэффициенты Клебша-Гордона (уг — тгтаг,тт) 2 Благодаря свойствам симметрии коэффициентов Клебша — Гордона эти таблицы могут использоваться во всех случаях, когда любое нз квантовых чисел (со у„У равно 1У2, 1.
Обратим внимание читателя на значение некоторых коэффициентов Клебша— Гордона. Если Х = уг+ уе, то (У!ге У!ге ! УУ) = (Уг(е — Уы Уе ~ У, У) = 1 (106.11) для любых значений у, и уе. Для случая сложения двух антппараллельных спппов имеем '1-2-, .2., -2- — 2.~00) = — (--, --, — -, — ~00) =- — -, (106.12) з ют) 459 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ т. е. волновая функция системы двух антипараллельных спинов будет 1 5(з,и зса)= —:~Б, (зс,) Я ~ (эаа) — Я 1(з,д)8 з (з„)~ (106,13) 2 2 2 2 (см. (!2!.13)).
Общая формула для коэффициентов Клебша — Гордона приведена в работе Вигнера'), $ 107. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени Физическое пространство обладает свойством однородности и изотропности. Время — свойством однородности. Кроме того, в отношении обратимых процессов имеется равноправие по отношению к знаку времени. Эти свойства пространства и времени отображаются в основных законах сохранения квантовой механики для замкнутой системы А, Закон сохранения энергии Рассмотрим следствия однородности времени.
Произведем бес- конечно малый сдвиг во времени Ы. Тогда волновая функция системы ф перейдет в тР'=-ф(хи ха, ..., х,у,1+А(). Это изменение функции мы можем рассматривать как действие бесконечно малого унитарного преобразования 5, (см. 99 28, 44): ф'=8Ф (107.1) где Яс — — !+Ы,Л( н 1,— эрмитов оператор, С другой стороны, ф' — чр =- —,са( и, сравнивая с (!07.1), Спр получим дф Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера и (. = —,'-, Й. Но в силу однородности времени 7., а следовательно, и Й не дй должны зависеть от времени, т, е. — =О, а следовательно, и "и [Й Й) 0 (107.2) что и выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе. ') В, В и г н е р, Теория групп н ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961, 1ао 1гл. хчн ЗАДАЧА А!поп!х тг.ч Б.
Закон сохранения импульса Рассмотрим замкнутую систему частиц и произведем смещение всех координат (радиусов-векторов) хА па бесконечно малую величину Лх, Тогда >р'=1)1(х,+Лх, ..., хА+Лх, () = =-»Р(хА, ..., хА, ()+Лх У, 7А»)1, (107,3) А=1 где т>„-градиент по координатам й-й частицы.
Рассматривая это смещение как бесконечно малое унитарное преобразование 5» =- 1+ !'а'Лх. где д-эрмитов оператор, найдем К== — !' Х Р. (107А) А=! Оператор д только множителем й отличается от оператора полного импульса системы Р (103.1). Так как операции смещения в пространстве Я„и во времени Я, могут выполняться в любом порядке (в отсутствие внешних сил), то Я„ и 5, коммутируют, т. е. (ЙЯ~=О, а следовательно, 1РЙ)=О. Это означает ж т.
е. сохранение полного импульса замкнутой системы. В. Закон сохранения момента импульса Рассмотрим бесконечно малое вращение системы в изотропном пространстве вокруг оси 07, на угол Л»р,. Это вращение приведет к изменению координат й-й частицы на Лхь = (уА Ле1„— хА Л»р„О) . (107.6) Новая функция 1р'=»р(х,+Лх,, ..., х1т+ЛхАч () может быть получена из первоначальной с помощью бесконечно малого унитарного преобразования Зт»=1+ил»ЛР», р'= арЛ. С другой стороны, учитывая (107.6), получим 1Р (хА+ Лх„..., хА!+ ЛхА, () = =-»р(х! " хж, Й вЂ”,~, ~хАд - — УА,-~-)~И» (107.8) ( д(! дф! д»1, А.=! З 107! сньи1гтн11я пгостглнстил и анеыен11 461 Сравнивая (107.7) и (107.8), получим д д'! те=! х !хе — — йв и.= 1 (107.9) т.
е. Еп только множителем отличается от оператора М. проекции полного момента иа 02. Аналогичные соотношения получим для вращения вокруг двух других осей п, таким образом, З == 1+ а- М А р, т. е. момент импульса системы есть интеграл движения. Г. Закон обратимости процессов в квантовой механике Рассмотрим преобразование Т обращения времени: Уравнения движения инвариантны по отношению к этому преобразованию для случая обратимых процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
