Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 80
Текст из файла (страница 80)
4зо ПРохожденне мнкРочлстнц чеРез потенш1лльнып влрьеР [гл. Хчч й=й,— —" 1Х(с о 2аой (99.22) Сравнивая это с предыдущим выражением для зал, мы находим (99.23) Имея в виду, что г1)гагр есть скорость частицы о, внутри барьера и что й, !1гх=11го(»о — радиус ямы), мы получаем из (99.23) и (99.13) ео — — 1' зи (ом е)1 о е а (99. 24) 2го Эта формула имеет простое наглядное толкование. — есть число и 2го ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный лтножитель есть коэффициент прозрачности.
Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора и приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны и — е'а" неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера ганг+ — г хн асгег Е Заоа ф111 — — — а Г Рост фн1 вытекает из требования, чтобы имелось только излучение, и отвечает тому факту, что иа ббльших расстояниях находятся частицы, выле- тевшие раньше, еще тогда, когда интевсивность ! ф11о внутри самого барьера была больше.
Однако в пашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излученне на салым деле когда-то началось (а пе длилось все время от 1= — оо) и что к моменту начала излучения ~ ф1~з было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ф1н †» оо при г — со, вывод, относящийся к чзстицам, выле- тевшим очень давно, неверен, н само найденное решение справедливо лишь 2йой для небольших г, именно для г:4 — ' Х)г Далее отметим, что в связи с формулой (99,7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное нами состояние — е — „— — с Е,Г 1, ф(г, 1) =фа(г) е (99.25) Прп этом малую поправку к действительной части 1го мы также можем опустить, как ие представляющую интереса.
Мнимая же часть будет равна Пренебрегая также малой поправкой к действительной части й в (99,13), мы можем положить 1„',' =йо. Из (99.!3) получаем тРехьтеРныи потенцнАльныл БАРъеР 43) не есть стаинонарное состояние с определенным значением энергии (стацио- нарные состояния гармоннчески зависят от времени). Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить тр(г, () по собственным функциям тре(г) оператора Н.
Так как ()(г))0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр О«=-.Е(+со (ср. 9 49). Если положить тр(г, т) = ~ С(Е)е " тре(г) г(Е, (99.26) о то ш(Е) г(Е=)С(Е) )во(Е дает нсколтую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С(Е) функцией тр(г, () (99.25), так как она правильна лишь для не очень больших г. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ф(г, () имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функция тР(г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции тР(г, 0) соответствует тому факту, что при (=О частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду а ((), с которой представлено состояние ф (г, О) в состоянии тР(г, (). Имеем а (() = с )тРв (г, 0) тР (г, () сЬ.
(99.27) Подставляя сюда тР(г, () и тРа (г, 0) из (99.26) и пользуясь орто- гональностью функций фе (г), найдем от . Е! ю ет а(т)=-) е " С(Е)С'(Е)г(Е=~ е " ю(Е)г(Е. (99.28) Величина Р (() = ~а((),в дает, очевидно, закон распада состояния тр(г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ш(Е) с(Е в начальном состоянии'). Вернемся теперь к нашей задаче.
Выберем тр(г, 0) так, чтобы тР(г, 0) =тРо(г) внутри барьера и тР(г, 0) =0 вие его. Подставляя теперь тр(г, () из (99.25) в (99.27), мы можем игнорировать возрастание тре(г) вне барьера, так как там тр(г, 0) =О. В силу совпадения тр(г, 0) и тро(г) внутри барьера и считая, что тр(г, 0) нормировано к 1, получим ,ек Е а (() =е (99.29) ') Эта теорема принадлежит Н. С. Крыло ау и В.
Л. Фок у ОКЭТФ )7, 93 ()947)) 482 прохождении микпочлстиц навез потянцилльнып пдрькр (гл. хю На основании (99.28), теперь нетрудно убедиться, что ш(Е) г(Е должно быть равно') гв (Е) г) Е = -— (Š— Ее)т+— 4 т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения хя энергии. Величину ЬЕ= — называют шириной квазиста- 2 ци он ар ного уровня Е,. Если через я=1)). обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии тр(г, О) = =тра(г), то мы получаем ЬЕт=— я 2 (99.31) — соотношение между шириной квазистационарного уровня и дли- тельностью жизни частицы на этом уровне.
9 100. Теория радиоактивного сг-распада г) Интеграл в (99.28) в этом случае легко вычисляется посредством вычетов в комплексной плоскости. т) Это предположение не является обязательным. Возможно, что перед вьиегом из ядра и-частица образуется нз более простых частиц: нентронов и протонов. Мы будем считать в дальнейшем, что она существует в ядре постоянно. Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются, испуская сх-частицы.
По вылете из атомного ядра сг-частица, имея двукратный положительный заряд (+ 2е), ускоряется в кулоновском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Ле (под 2 будем подразумевать номер элемента после вылета а-частицы, 2 =à — 2, если 2' есть номер элемента до радиоактивного распада), Большая прочность и-частицы позволяет предполагать, что опа существует в ядре в виде самостоятельного объекта, являясь одним из простых образований, из которых строится атомное ядро ').
Ясно, что се-частица может длительно находиться в атомном ядре лишь в том 'случае, если область вблизи атомного ядра является мш<имумом потенциальной энергии а-частицьь Кулоновская потенциальная энергия а-частицы, равная 22ез/г„ где г — расстояние от ядра до частицы, по мере приближения к ядру, как это изображено на рис. 81 пунктирной кривой, все время возрастает монотонно. Поэтому минимум энергии вблизи ядра может получиться лишь в том случае, если на близких расстояниях на а- частицу действуют какие-то иные силы, помимо электрических.
Такими силами являются ядерные силы, действующие между нуклонами. Зги силы весьма велики н действуют лишь на очень малых расстояниях. Именно этими силами и обусловливается смена теОРия РАдиолктивного а.РАОПАдА 433 кулоновского отталкивания на резкое притяжение вблизи ядра, изображенное на рис. 81 сплошной кривой. Такое поведение потенциала называют образованием потенциальной ямы или к р а те р а. При наличии таких сил и-частица, находящаяся в области и < б„т. е.
в поле снл притяжения, будет длительно удерживаться внутри ядра. Как же происходит и-распаду Долгое время это оставалось загадкой. Еще Кельвин предполагал, что частицы, испускаемые радиоактивным элементом, как бы кипят внутри потенциального кратера. Время от времени одна из частиц получает избыток энергии над средней, преодолевает барьер и, вылетев за него, ускоряется отталкивательным полем, приобретая большую энергию. " А эя гу, Однако эта наглядная картина, как было показано Резерфордом, 'и противоречит опыту.
К изложе- Е-)М'лп нию этого опыта мы сейчас и перейдем. -йИ) 'а)н Резерфорд бомбардировал ато- ! мы радиоактивного урана а-частн- ! цамп тория С'. Энерп1я а-частиц () „, „ тория С' равна 13 10-' эрг. Такие частицы, преодолевая кулоновское Рис, 8!. Кривая потенциальной отталкивание, могут весьма близ- энергии а-частицы в функции раско подойти к ядру. Оценим рас- стояния от ядра (т, (ты и'). Та же кривая сксматизироввпа (г, (уж, го) стояния наибольшего сближения (резкое падение после г ). резкое падение после тч .
и,. Очевидно, что и, есть то расстоЯние, пРи котоРом потенциальнаЯ энеРгиЯ частицы 22'ге/гт будет равна исходной кинетической, т. е. 27'га!та=13 10-' эрг, Г есть номер урана и равен 92. Поэтому мы находим, что и,= = 3 10-'в гм, Наблюдение показывает, что рассеяние таких частиц строго такое, каким оно должно быть при действии на а-частицу кулоновского ноля.
Это означает, что ядерные силы начинают действовать на Оьчастицу на расстояниях меньших, нежели 3. 10 "см. Поэтому сс-частицы, заключенные в ядре, находятся внутри области, радиус которой меньше 3 10-" сат, С другой стороны, уран сам является радиоактивным элементом и испускает а-частицы. Измерение энергии этих частиц показывает, что она равна 6,6.10 ' зрг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
