Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 76
Текст из файла (страница 76)
тарная теория ядра, ИЛ, )958, стр. 270. 403 излучение, поглощение и РАссеянне светА !Гл.ху где А — вектор-потенциал световой волны. Волну мы предположим монохроматической и возьмем А в виде А — А Е11««е — ог! + Аор — «1«вг Й«1 ! . 1 о (95.4) где й есть волновой вектор волны.
Так как волна поперечная, то б(у А = О, т. е. Аой=О. (95.5) Для вычисления интересующей нас вероятности перехода мы можем прямо применить формулу (84.24), так как последняя как раз выведена для переходов из дискретного спектра в непрерывный под влиянием возмущения, гармонически зависящего от времени. Понимая в (84.24) под Е„ энергию нормального состояния атома Е„ под импульсом р,, Рр, р,(р, 0, гр) — импульс фотоэлектрона, мы должны согласно (95.3), (95 4) и (84.
)2) взять в качестве матричного элемента возмущения величину «мр Г 'йое, в,о; о= )0'р„,,„, р,; о = — — „,Ао ~ ЗРР,~, ег""Чвй,е(хе(уйг. (95.6) Тогда вероятность перехода электрона в 1 сек из состояния Ео в состояние Е= Ее+ йов с импульсом, лежащим внутри телесного угла г(во будет равна Ро(Е 0 вр) гИ = " р~ (Ео+ "гл)'1' ~ (Тер„р„р,«о,:'е((2, (95.?) причем сюда входят лишь такие значения импульса р„, р„, р„ которые удовлетворяют резонансному условию Е =2 — = 2 — (Рге+Р«г+Ре) = Ео+)!«о (95.8) Переходы в другие уровни Е невозможны. Замечая, что Е,= — Х, где / — работа ионизации, мы можем переписать (95.8) в виде =йО1 — Е.
2!« (95. 9) Это есть рравненае Эйншрлейна для фоавозффекава на алвоме. Для того чтобы получить окончательное выражение для Р,(Е, 0, ер), необходимо вычислить матричный элемент (95.б). Для этой цели необходимо знать волновую функцию исходного состояния ф, и фУнкции непРеРывного спектРа 1Рр р, . ДопУстим, что мы интересуемся фотоэффектом с К-оболочкй (тогда — Е, = ! есть ионизационный потенциал К-оболочки). Эта оболочка расположена близко к ядру атома, и поэтому (пренебрегая взаимодействием двух К-электронов) можно взять для ЗРо функцию нижнего з 95) Фотоэлсктрнчвскнп эФФскт уровня Е, для движения в кулоновском поле. Это будет (л=1, 1=тп = О) лд =~ —.,) и (95,10) где Я вЂ” номер элемента, а а — радиус первой боровской орбиты.
Такая функция будет весьма близко аппроксимировать истинную. Мы ограничимся весьма грубым приближением для функций непрерывного спектра. Именно, мы будем попросту пренебрегать изменением плоской волны вблизи атома благодаря действию его поля и соответственно ! этому вместо точной функции возьмем невозмущенную действием -У 1'1 Я/Я 4~ атомного поля плоскую волну , [р„е+рррьр е) л тРР„РрР, =, (95.11) (2ия) О (нормирована по р к б-функции). Такое пРиближение мало р 24 Рис. 74.
Расположение векторов гоДитсЯ ДлЯ точного Расчета, оД- Л 1 и р при фо фф како все же в нем еще сохраняются существенные черты явления. Оно будет тем луч1пе, чем больше энергия фотоэлектрона, т. е. оно пригодно для Е а — Е,=1. При таком предположении о функциях непрерывного спектра матричный элемент (95,6) может быть вычислен без большого труда.
Подставляя (95.10) и (95.11) в (95.6), мы получим ~'р„р р:о= = — — — ( — ) ' ~ е ) ")Ае(Че ')сЫс(ус(г. (95.12) 2нс (2иа)'Л,иаа/ Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ, а электрический вектор (поляризация) направлен по оси 02. Тогда ОХ есть направление вектора к, а ОŠ— вектора А,. Тогда А, = О, О, А„, и, следовательно, )кр р„р; о= Расположение векторов й, р, А, дано на рис. 74. Для выполнения интегрирования в (95.12') возьмем вектор Ж вЂ” р за полярную ось сферической системы координат 6), Ф. 4!О ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА !ГЛ.
еч Если ось 03 в этой системе имеет углы 6', Ф', то е = (г), = г соз (02, г). Косинус угла между ОЯ и г, если вектор г имеет сферические координаты О, Ф, будет равен соз(02, г)=соз6соз6'+з!П6З(п6'соз(Ф' — Ф). Угол между йк — р и г есть 6. Поэтому (95.12') можно записать в виде !Тр ! ! г'),* 2 )Рр р р !о= — ' —,~ — ) "Ае — У, (95.12е) " р е' 2лр (2лл1ь (,лае/ а где ОЭ л Ел ,7= г'е(г е(6!1ФЗ(пбе( А( ' [созОсозО'+ + з( и О Гйп 6' соз (Ф' — Ф) ).
(95.13) Интеграл по Ф от соз(Ф вЂ” Ф') дает, очевидно, нуль, поэтому г-е „е ~ ее(еее.е.!' л'*" ° е. (ее.!е! Ь Вводя переменную й=соз6 и обозначая ~ й — Р ~» через !), мы а получим со +1 ! 2 *е')ее )еее — ! и, выполняя здесь простые интегрирования, найдем окончательно вги)л — и ~ ,)=созΠ—, (95.13") Остается выразить соз 6' через углы в той системе координат, где за полярную ось принято направление распространения света (ось ОХ, вектор й). Пусть угол между плоскостью, образованной векторами р и й — †„ и плоскостью Е.Х, будет !р (см. рис. 74). Р Угол между йй и йй — р пусть будет 8'.
Обозначая еще угол между ОХ и р через 6, мы получим из сферического треугольника со сторонами 6', а' и соз О' = з(п 8' соз !р еотоэлектеическни эффект 4!! и из треугольника со сторонами йй, р, йк — р $!пэ =з!па !ах — р, '' Поэтому ' "6+!" — '!'1' (95.14) На основании (95.12") ~Р Р О~~а з ( Ао- — . ~я я а з!пасов 7. (95.15) )а Далее, к — — ~ = Й'+ —, — — „соз 8. й !э Ф 2Г'р а Из закона сохранения энергии (95.9), считая, что — ,'з 7 (это— рЯ 2н условие применимости нашего' приближения), мы найдем 2 Обозначая через о скорость электрона —, получаем йй= —,р и, Р е и' стало быть, я ~ (1 созе+4 ) ~ (г — — „! = —,, (1 — — созе). Заметим, что мы еще можем отбросить член Е'~а' по сравнению р )2 р2 ай с ~ к — — ~ .
В самом деле, ~ к — — ~ —, а а= —. Следова- я!' а( а =рг. тельно, Лв Е~Н-"е' 2Н Я'~~е~ а~ аг 2й~ Но, согласно формуле Бальмера, Е-'не' — — = — Е-=г' 2И Мы оперируем с нерелятивистской теорией, поэтому пригодность наших формул ограничена не только со стороны малых скоростей (ро'(2~~э 1), но и со стороны больших. Необходимо, чтобы скорость фотоэлектрона была значительно меньше скорости света с. Поэтому членами порядка о-'!с' следует пренебречь (учет их находится за пределами применимости нерелятивистской теории), Поэтому 4)2 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОШЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА )ГЛ. ХЧ Подставляя, наконец, зто значение матричного элемента в выра- жение для вероятности (95.7), мы получим') Р (Е, в, )с(а= 2 (2и)~» А" 2-) (» )ч' )и в . ~ (а. (95.18) рв ! — — со5 8) с Вместо А.э можно ввести поток световой энергии.
Из (95.4) получаем электрическое поле гн ! дА ы Аа ви! (го" (сГ)' с д! с Величина магнитного поля Ж такова же, и так как оно перпен- дикулярно 55, то вектор Пойнтинга 5 равен по величине 8 = — 'Ф М" — ' — А;- 5)па (о5( — 1сг). 4л 4л сэ Среднее значение его равно (95.19) Подставляя это значение А,е в (95.18), найдем (е 8 ) ) )8 (2!)5» 2 (! )~ и 8 р Иэ (95 о) '( ! — — со5 8) с Объединяя все постоянные в одну Ь и замечая, что р'=(2рЕ)' = = (2рйоч)5, мы получим Рв(Е, 8, гР) с)Й=Ьо5-чч " ', 85(й, (95,21) 1)--"-с в) с где Ь = 4 1' 2 — Ф'Р)д ч* Я (95.22) ') Прн переходе от !98.7) ыы пренебреглн начально» энергии электрона Е„по сравнению с»ы, лэ р ре т.
е. условие — (( — эквивалентно 7 ~ —. Таким образом, а' »5 2р ' имея в виду быстрые фотоэлектроны, мы должны опустить в (95.15) член лэ/аэ в знаменателе. Подставляя (95.!5) в (95.15), мы найдем окончательное выражение для искомого матричного элемента: (г:ч2 р' (1 — — соэв ! ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 413 $ ра! Яз полученной нами формулы следуют самые Основные черты фотоэлектрической эмиссии.
Во-первых, число фотозлектронов пропорционально интенсивности падающего света О, скорость же фотоэлектронов зависит, согласна (95.9), лишь от частоты падаюшего света с>, т. е. мы получаем как раз те особенности фотоэффекта, которые представляют принципиальные трудности для понимания с точки зрения классических концепций. Далее, формула (95.21) дает угловое распределение фотоэлектронов. Так как угол 8 отсчитывается от направления распространения света, а лмймдк гр — от электрического вектора и максимум фотоэмиссии лежит при 8= + и/2, гр=-О, то это означает, что наибольшее число фотоэлектронов летит в направлении 02, т, е. в направлении злектрическо- "о го вектора световой волны. Прн увеличении частоты падающего света скорость фотоэлектронов возрастает так, что начинает играть роль множитель ЯХ,З (, .) 0 — 4 1 — —,сое81 в (95.2!), в силу Рнс. То.
Слвиг вперед максимума чего максимум фотоэмиссии сдви- Фотоэф(такта. гаетея в напранлвнии МЕНьшИх Вща угол между направлением рас- 8, т. е. в направлении распро- прогтраненин света и направлением странения света. Этот вывод находится в согласии с опытом. На рис. 75 изображены результаты опыта. По оси ординат отложен косинус угла 8 между направлением распространения света и направлением максимальной эмиссии, по оси абсцисс отложена скорость фотоэлектронов, причем за единицу скорости взята скорость света. Равенство нулю сок 8 отвечает направлению вдоль электрического вектора волны, а сов 8ж = 1 — направлению вдоль луча света.
Как видно, результаты расчета .хорошо совпадают с данными опыта (кружки). С помощью формулы (95.21) мы можем получить и абсолютную величину фотоэффекта. Обычно в таких случаях вычисляют коэффициент поглощения для падающего света т. Для нахождения его поступаем следующим образом, Представим себе, что на слой вещества толщиною сух падает поток света 5. Тогда, если в ! сма вещества содер>кится п атомом, то в объеме 1 смвмЛх в 1 сея произой1дет в среднем 1 см'Ах а ~ Р,(Е, 8, гр) с(й ионизаций атомов. Поглощенная при этом энергия будет равна этой величине, умноженной на йо> (так как при каждой ионнза- 4!4 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА !ГЛ.ХУ ции поглощается квант света йв).
С другой стороны, в этот же слой в 1 сек входит энергия Ях1 смз, Таким образом, убыль потока энергии Ю при прохождении тонкого слоя Ах равна АЯ = — йвл !Ух $ Ро (Е 9 ~Р) ~И. Подставляя сюда Ре(Е, 6, гр) из (95.21), мы получим АЕ = — йвп!ЗХЬв-и о $ '" ' т, ЛЯ. Полагая = Ьпйв-'А 1 Р г(а, 3!Пз З созе ~! — -созз) (95.23) получим отсюда следует, что т есть коэффициент абсорбции. Число атомов в единице объема пропорционально плотности вещества р, именно, п=б 02,10зз Р где А — атомный вес вещества. Подставляя это значение в (95.23) и обозначая 6,09 !оа ~ Ыз Мр (1 — — соз 0) мы получим величину так называемого массового коэффициента абсорбции т/Р в виде Ь' (95.24) Р А Эта зависимость от частоты также подтверждается опытами над поглощением рентгеновских лучей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
