Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Е. вдаЛИ От резонанса. Необходимая степень удаления от О =О„е определяется условием !Ж00а„! <2а 1 Ола . О 1. Только при этом условии Ала и Вла ~ 1, Чтобы получить и область резонанса, необходимо учитывать затухание осцилляторов 0апеьоел'. 392 ~злгчгние, поглощение и глссеяние светл (гл.хч Ихх Их«нхх ихх Их« ««хх (92.21) имеющий типичные компоненты вида у|()зм) (и ) (и «) ((з ) ) Ь ~н( .« — и + ~.«+ю (92.22) причем (Рл„)л, (Р«л,)х и т.
п, суть проекции векторов Р„„, Р«„на оси ОХ и 01'. Остальные компоненты тензора р получаются из (92,22) заменой значков х, у на все возможные пары из х, у, г. Так как Р«л = Рх„ то тензор (92.22) является эрмитовским: 1.в = й., (92.23) и, следовательно, диагональные члены р„х, ()„„, р„действительны. В общем случае, при комплексных р„„, 'р„„, ()л, фаза индуцированного момента р„'л и его направление не совпадают с фазой и направлением электрического поля световой волны Ж(().
Если все компоненты тензора () действительны, то направление р,'л не совпадает с направлением поля, но фазы их одинаковы. Мы видим, что электрический момент рлл(() складывается из двух частей: из не зависящего от времени момента Рлл и пз индуцированного дополнительного момента, линейно зависящего от поля.
Рлл есть не что нное, как средний электрический момент атома (или молекулы) в состоящш и. Так как он не, зависит от времени, то в дисперсии света он никакого участия не принимает. Индуцированиый момент меняется периодически во времени, и притом с частотой, равной частоте падающего света ь«. Более того, фаза колебаний этого последнего момента находится в определенной связи с фазой электрического вектора падающего света. Этот добавочный момент и ответствен за когерентное рассеяние— дисперсию.
Обозначим его через р„'л ((): Рлл = рлл — Рлл Согласно (92.19) этот индуцированный момент может быть написан (по компонентам) в виде (р'.)х = ~ ()) ~охЕ""'+ йх„8«»Е'""+ '()ххах«хе""'), (р„'л), = о«(()х„оь„ени + р,А«е"'+ р,А,е" ), где через о«обозначена действительная часть от стоящего за этим знаком выражения. Совокупность величины р„х образует тензор атомной поляри- зуемости дисперсия 393 е 921 где ((з„»)л = — е ~ ф",лдтр»гЬ и предположено (изотропность системы), что ! (0.»)л !' = ! (О а)я ~' = ! (0.»)л ~'. Полученную формулу (92.24) для поляризуемости () мы можем написать в виде, совершенно аналогичном классической формуле (92.5), именно, гл» ЛЫ Голл» вЂ” Го » (92.5') где 2р ! хл» Н м»л 2р ~ 0л» )з ез»л тл» (92.25) а е»Л Величину )„» в квантовой теории принято называть силой осг(иллллтора.
Она просто связана с вероятностно спонтанного перехода Ал. Именно, на основании (88.9) имеем Зиг' ~" лл —;. А, 29 оз»лл Таким образом, сила осциллятора („» определяет интенсив- ность спонтанного излучения, Величины г„» могут быть вычислены, если известны волновые функции системы '). Мы видим, что величины )л» имеют в квантовой теории совсем иное значение, нежели в классической, где соответствующая величина (» имела смысл числа электронов й-го сорта и поэтому была целым числом.
Силы осцилляторов („» в согласии с опытом не являются целыми числами. Можно, кроме того, доказать, что их сумма равна ! '). Согласно квантовой теории, как следует ') Г. Бете, Э. Соли итер, Квантовая механика атомов с одним н двумя электронами, Физматгнз, !960, Я 59, 60.
2) См. Г. Бете, Э. С оп интер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгнз, 1960, Я 61, 69. Для сравнения с классической теорией рассмотрим частный, но весьма вагкный случай, когда тензор р сводится к одному скалЯРУ, т. е. когда Р,з==Р„=РР,=О, (зл,=Р»а=Раз=Р. ПРИ этих условиях и фаза индуцированного момента, и его направление совпадают с фазой и направлением поля световой волны, В этом специальном случае проще всего выяснить основное различие с классической теорией дисперсии.
Из (92.22), при сде- ЛаННОМ ДОПУЩЕНИИ, ИМЕЯ В ВИДУ, ЧтО ОЗ»„= — Флто ПОЛУЧаЕМ 394 изличеиие, поглощение и идссеяиие светл 1гл.хн 1 из (92.5'), сумма дисперсиоииых членов вида ° .„имеется ыа налицо уже для одного электрона„находящегося в состоянии Ч1"„. Это находится в прямой связи с тем обстоятельством, что квантовая система в. отношении взаимодействия со светом ведет себя как совокупность осцилляторов с моментами О,е! ', хотя бы даже речь шла лишь об одной частице. Если атом может находиться не только в состоянии ф"„, но и в других (смешаиный ансамбль), то, чтобы получить полную поляризуемость (), нужно поляризуемость, обусловленную атомами, находящимися в состоянии фл, умножить на вероятность нахождения атома в состоянии ф"„и сложить полученные выражения.
Обозначая через го, вероятность того, что атом находится в состоянии ф"„, причем У,'го„= 1, мы получим для поляризуемол сти сс 1 см' газа выражение (92.26) л А где йг — число атомов в 1 см'. Показатель преломления в функции частоты падающего света, согласно (92.2) и (92.26), равен па(со) = 1 + " !) ~~~~ го„ ь,, "" , . (92.27) Часто среди всех членов суммы, входящей в (92.27), один или несколько преобладают над всеми остальными.
Это реализуется в тех случаях, когда частота ю не слишком удалена от резонансной частоты ю.е. Сила осциллятора )„» может принимать и отрицательное значение. Если атом находится в возбужденном состоянии (п), то среди состояний й будут и такие, для которых юе„ ( 0 (т. е. Е, ( Е„). В этом случае дисперсионная кривая имеет необычный ход — получается отрицательная дисперсия. На рис. 71 слева изображен ход дисперсионной кривой в области аномальной дисперсии для классического случая (г„а = О).
Эта дисперсия была изучена в ряде работ, среди которых особенно обстоятельны работы Д. С. Рождественского '). На том же русунке справа изображена кривая для отрицательной дисперсии ()„е ( О): случай, ие предусмотренный классической теорией. Явление отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом '). ') Д. С, Ро кдественский нрименил особый метод «крюковы См. хх. С. Р о жд е с т в е н с к н й, К исследованию аномальной дисперсии в нарах натрия, ЖРФХО, часть физия, 42 !1910).
е) и. Ь а бе и Ь иге, ла. !. РЬум 65, 167 !1930). Что касается численного значения сил осцилляторов, то экспериментальное их определение не является простой задачей. Для иллюстрации согласия теории с экспериментом приведем данные Ладенбурга и Карета') для отношения сил осцилляторов Рис. 7!. Дисперсиоииые кривые для положительиой и отрицательиой дис- персии. водородных линий серии Бальмера Но и 08.
Эти авторы нашли, что 5,9: 1- 7„:78~4,бб: 1. Теоретически получается = 5 37: 1. 9 93. Комбинационное рассеяние. Нелинейная оптика Мы вычислили в предыдущем параграфе электрический момент р;„индуцируемый светом в и-и состоянии атома. Рассмотрим теперь, какой добавочный электрический момент р „индуцируется светом в квантовой системе при переходе ее из одного состояния т в другое и. Эта задача легко может быть решена на основе результатов предыдущего параграфа. Формула (92.17) дает состояние ф„(г, 1), возникающее из ф;,(г) е-""л' под действием света.
Совершенно такую же формулу мы можем написать для состояния тр„(г, 1), возникающего под действием того же света из состояния р(у" (г)е-' '. Вместо (92.13) мы теперь будем иметь для момента р „(Г), отвечающего переходу из пт в и, следующую формул)е р„„(() = — е ) т)уа (г, 1) гтр„(г, 1) ТЬ. (93.1) Подставляя сюда значение функций т(у„(г, г) из (92.17) и ф' (г, 1), р у ррр.уу) г) ц. 1. а р1еп Ь ига и А. С а га1, Еа.
1. Р1ууа. 48, 192(!928). З ГО1 КОМЕЮ!АЦРРОННОЕ РАССЕЯЮ!Е. НЕЛИНЕПНАЯ ОПТИКА 395 396 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОИ!ЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА (ГЛ. ХЧ мы получим >елен ! >(еел+е) >Р ~о, + >(~,пп — е) >Р -~~ (93 2) где ) У(~'Д„„) (>пУО К„(>е>) О,„~ Р и [ егпо+ е ) у(~,ооп) пп„(Е,(>ео)(>,„~ 2» !.
епо.)- о> мапо — е А (93.3) (93.3') >>Е' 4(епл+е)'. Р.о. > >() з (93.5) >(л" 4 (апкл — о>) ~ Р,, ~о , Реп о( Зс' (93.5') где Р,',;,' и Р„',„' определяются выражениями (93.3) и (93.3') и зависят от интенсивности пада>ощего света. Обращаясь к закону сохранения энергии, мы можем истолковывать полученное рассеяние с измененной частотой на основе представления о светоВых квантах. Пусть атом находится в состоянии и, имея энергию Ел, С атомом «сталкивается» квант света частоты о> (энергия е= по>), В результате столкновения часть энергии кванта может Мы видим, таким образом, что помимо уже рассмотренного нами выше электрического момента Р,п„, зависящего от времени периодически с частогой о>,„„, появляются еще два дополнительных, нндуцированных светом, электрических момента (93.3) и (93.3'), частоты колебаний которых суть к о м б и н а ц и о н н ы е ч а с т от ы о>=-о>е„.+.
о>. Электрический момент Рел, как мы знаем, определяет излучение и поглощения для переходов Е:Еп. Полученные нами дополнительные моменты Р"„' и Р,'„„' обусловливают рассеяние падающего света, но с измененной частотой. Этн измененные частоты представляют собой сумму или разность частоты падающего света о> н одной нз собственных частот системы о> „= Ет Ел а Чтобы определить интенсивность этого рассеянного света, мы применим .принцип соответствия, согласно которому атом излучает и поглощает свет как совокупность осцилляторов.
Согласно (93.2) мы имеем теперь три таких осциллятора. Первый из них нами уже рассмотрен в 9 88, а вторые два Р~ е>(е +е)> и Р, >(е — )> (93.4) согласно формуле (88.!6) для средней энергии, излучаемой осциллятором в 1 сек, дают следующие интенсивности для излучения частоты о>'=о>,+о> и о>п=о>„„— о> соответственно: комп1шлцнонное РАссеянне. нелннепнля ОптнкА 397 пойти на возбу>кдение атома (переход в состояние Е Е„).
Тогда рассеянный квант будет иметь энергию, равную е» = — Йш» = сто> — (Еш — Е,) (рис. 72, а), и частоту оу'=ш — о> „, о>)ш „)О. Если атом находится в состоянии Е ) Е„то рассеянный квант может Еппьш В »" «! В В а) ш"-ш-шип ()(распад ппппшппша). Еп !)) шшш'шдм !г)>ппппшп3ая ппппппппп>а) Рис. 72. Схема переходов при комбинационном рассеянии света. ') В квантовой теории излучения этот вывод получается сам собой, См., например, И.
Бр а нлмк>л пер, Г. Мозер, Введение в спектроскопию комбинационного рассеяния света, «Мир», !964. получить энергию от атома, который перейдет в низшее состояние Е„. В этом случае энергия кванта рассеянного света в' будет равна (рис. 72, б) в' = Ьо' = т«ш+ (Š— Е„), а частота будет равна ш'=в+со „, где го „) О.
Интенсивности частоты ш' и го» даются формулами (93.5) и (93.5'). Мы видим, что применение законов сохранения энергии между квантовой системой и излучением не допускает рассеяния частот о>(ш„„. Этот вывод ие следует автоматически из формулы (93.5) и является специальным требованием, поскольку мы остаемся в рамках принципа соответствия ').
Чтобы определить абсолютные интенсивности рассеяния частот ш' и ш", следует умножить (93.5) на число 1>) атомов, находящихся в состоянии и, и (93.5') на число >т)„атомов в состоянии л. Частоты ш'-»ш; поэтому их часто называют «фиолетовыми» компонентами рассеянного комбинационного излучения, а «о» ш называются «красными» компонентами. Следовательно, окончательно 398 НЗЛУЧ!.НИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ Н РАССЕЯННЕ СВЕТА (ГЛ. ХУ для интенсивностей фиолетовых компонент имеем дг дд 1(сд+сд~дд) ! дъ ' '2 " ~л Зс ! Влл ! (93.6) а для интенсивности красных компонент дл дд 4 (Сд сд лл) ! гд~-~ В 3 сд !д тл, ° (93.6') Отношение этих интенсивностей равно / (Уд~ (сд+дчдд) ~ )лд ! !'Г)' > 2 (93.7) Ул (!д сдд;л) ! 1))дл '! Комбинационное рассеяние было экспериментально установлено Г.
С. Ландсбергом н Л. И. Мандельштамом на твердых телах, а также Раманом на жидкостях. В обоих случаях частоты ы„л являлись колебательными частотами. В опытах Рамана это были частоты колебаний молекул жидкости. В опытах Л. И. Мандельштама и Г. С. Ландсберга частоты са „являлись частотами молекулярн)ях колебаний кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
