Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Следует впрочем иметь в виду, что (95.24) выведено для поглощения в К-оболочке. На самом деле поглощение происходит сразу несколькимн оболочками. Мы не будем рассматривать относящиеся сюда усложнения и отсылаем интересующегося читателя к специальной литературе'). г) М. 31оЬЬе, Апп. 6. РЬуз. 7, 661 (!930); А. Ботгпег!е!д ппа С. 3 с Ь п г, Апп. о'.
РЬуз. 4, 409 (!930). Глава Х»г! ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ 9 96. Постановка проблемы н простейшие случаи Если мы имеем две области пространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, нежели на поверхности, разделяюшей зги области, то мы говорим, что области разделены потенциальным барьером. Простейшим примером потенциального барьера может служить барьер в одном измерении, изображенный иа рис.
76. По оси ординат отложена потенциальная энергия У(х) в функции координаты частицы х. В точке х, потенциальная энергия имеет максимум У . Все пространство — сю(х(+со делится в этой точке на две области; х(х, и х)х«, в которых У -У„. Значение термина «потенциальный барьер» сейчас же выяснится, если мы рассмотрим движение частицы в поле У(х) на основе классической механики. Полная энергия частицы Е равна Е = ~~ -+ У (х), (96.1) где р — импульс частицы, а р — ее масса. Решая (96.1) относительно импульса, получим р ~« = »з, ~я и~,» (96.2) Знаки г следует выбрать в зависимости от направления движения частицы.
Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера У, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если начальный импульс р»О, или в противоположном направлении, если начальный импульс р(О. Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую У . Тогда в некоторой точке х, потенциальная энергия У(х,)=Е, р(х,)=0, частица'остановится. Вся ее энергия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном 41б пРОхожденне м||кРочАстнц через потенцпАлънъп1 БАРьеР |гл.
хч1 порядке: х, есть точка поворота. Поэтому при Е(У„, частица, движущаяся слева, не пройдет через область максимума потенциала (х=-х,) и не проникнет во вторую область х) х,. Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея Е(У, то она не проникнет в область за второй точкой поворота ха, в которой У (х,) = Е 17 (рис, 76). Таким образом, пох тенциальный барьер является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которых меньше У (напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е ) У„,). Этим и разъясняется название«потенциальный барьер».
Совсем иначе протекают явления вблизи потенциальных хт Лх ад хх Х Рис. 76. Потенциальный барьер в од нои измерении. (96.3) барьеров, если речь идет о движениях микроскопических ча- СЗИЦ В МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ПОЛЯХ, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать квантовые эффекты.
В этом случае, как мы сейчас увидим, в противоположность выводам классической механики, частицы с энергией Е, большей высоты барьера У»о частично отражаются от барьера, а частицы с энергией, меньшей У , частично проникают через барьер. | Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай барьера, изображенный на рис. '77. Именно, мы будем считать, что потенциальная энергия частицы У(х) всюду равна нулю, кроме области О~х(1, где она имеет постоян- |7 1 Х ное значение, равное У .
Такой барьер р 77 6 о й представляет собой, конечно, идеализа потенциальный барьер. цию, но на нем особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной деформации плавного барьера, изображенного на рис.
76. Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через У(х), мы получим уравнение Шредингера в виде ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕИШПЕ СЛУЧАИ 4!7 Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптические обозначения й;= — „',, Ле (Š— (l(х)) =йене(х), (96.4) где п(х) — показатель преломления (см.
9 36), мы перепишем уравнение (96.3) в виде ф" + й„-"пе (х) ф = О. (96.5) Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для туех областей пространства: ф" +й„."ф= О, х(0, (7(х) =О, (96.5') ф" + й„'п~е(х) ф = О, 0 ( х ( 1, (7 (х) = (7, (96. 5") ф" +й„'ф=О, х»(, У(х)=0, (96.5"') Решения в этих областях могут быть записаны сразу: Ф (х) = ф~ (х) =Аем '+Ве — и ", (96.6) ф(х) =фи (х)=сее'"е" "+ре (96.6') ф (х) =ф~1(к) =-ае'А "+ бе — 'А" (96.6") где А, В, се, р, а и Ь вЂ” произвольные постоянные. Однако это— общие решения трех независимых уравнений (96.5), (96.5'), (96.5") н оии, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в силовом поле с7(к). Для того чтобы они давали действительно одну функцию ф(х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим. Для этого будем рассмагривать У(х) и, следовательно, п(х) как плавную функцию х.
Интегрируя тогда уравнение (96.5) около точки х=О, получим +Ь +Ь 1 Ф" е(х+й,' 1 п'(х)фаях=о. -А — Ь Отсюда +А ф' (+ Ь) — ф' ( — 5) = — Йо' ~ и' (х) ф (х) е(х. (96.7) — А Переходя к пределу АА -РО, получаем краевое условие') ф' (+ 0) = ф' ( — 0). (96.7') Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие лр(+ 0) =-ф( — 0). (96.7") Точка х=О ничем не выделена, поэтому условия (96.7') и (96.7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и прн х= (.
') Ср. дополнение Ъ'Ш. 4(а пеохожден!!е мпкеочостиц чвавз потснцилльнып ахеьве ЕЕео (А — В) = йоп,„(а — р), ЕЕеопо(аемо"" — бе " т)=Ейо(аеаЕŠ— Ье "о'). (96.9) Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа, Если мы, например, возьмем А, В е О, Ь= О, то Ае'оое может рассматриваться как падающая волна, Ве-'о' — как отраженная, а ае"е — как проходящая. Если бы мы взяли Ь ~ О, то это означало бы, что есть еще пада!ощая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.
Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда мы должны взять Ь= О. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А =1. Уравнения (96.9) принимают тогда вид 1+В=а+р, 1 — В =п,„(а — р), п (ае'~о "я ()е ' о~ло ) — ае'оо . (96.10) Из этих алгебраических уравнений находим а, р, В и а: 2е 'и (!+л ) 'е -мл ! о ео (! ! л р о гл (! л р М и ! о е ~ о~и (! ! р, о оо (! л р ( -мл ! мп В— е о™ вЂ” е ооо)(! — л„)о ае'"'— 4л т е " оо (1-(-л,„)' — е о ео (! — л„,)о (96.
11) (96.12) (96.13) (96.14) Чтобы решение (96.6) трех уравнений (96.5) можно было рас- сматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения (l(к) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках к=О и к=1 удовлетворяли краевым условиям (96.7') и (96.7"), т. е. ф,(о)= Рп(О), Р;(О)=ф!,(О), 'фп (Е) = ф и ! (Е), оР!! (Е) = ф( и (Е). (96.8) Подставляя сюда значение функций из (96.6), получаем А+В=а+р, $ %1 постановка пеовлвмы и пеостепшнв слтчхн 419 Если энергия частицы Е больше высоты барьера У, то показатель преломления и„, действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны ~В,' равна 4 (1 — и,'-'„)2 Мп' (Ь„п,„1) (!+и )ч+(1 — и )4 — 2 (! — п-' )с сов(2й л 1) ' а интенсивность проходящей волны 1вп-" (1+и )4+(1 — л )4 — 2 (! — и-' )з ссв (2Ф л„,1) Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне ((,), отраженной ((,) н проходящей ((г), Из (29.6) имеем дьь ~ йч «О~ ( аьь ~В~в ( явь ~ 1с (96 16) н ' Р н Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих — "= —,'=~Ва=я !2 ! !Н1ь (96.
П) называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих (96.18) называют коэффициентом прозрачности барьера. Из закона сохранения числа частиц (уравненне непрерывности для тока) следует, что )с+О=! (96.19) (приведенные выше выражения для )с н .0 позволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства). По классической механике, если Е ) У , должно иметь место Р = О, 0 = 1: барьер совершенно прозрачен. Из (96.15) следует, что (В 1~ ~ О, поэтому в квантовой механике Я ) О, 0 ( 1.
Часписцы частью отражаюп ся так же, как отражоются свепювые волны на границе двух сред. Если энергия частицы Е меньше высоты барьера У . то по классической механике имеет место полное отражение Р = О, В = 1. Прн этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.
Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле прн полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отраже- 42а прохаждвние микрачястиц чарва потвнцпяльньш варвар ние, и если эта среда представляет собой очень топкую пластинку, то свет частична проходит через нее. Квантовая механика в случае Е(У (случай отражения) приводит к выводу, аналопшному выводу волновой оптики (см. аналапш 9 36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
