Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Действительно, если Е ( 1/, то показатель преломления гг является чисто мнимой величиной (см. (90А)). Поэтому мы положим пя, = 1, п„,1= 1 1/ Г 1/и — Е (96.20) Внося это выражение для па, в (96,14), вычислим теперь 1а1а. Тогда считая е' » '=. 1, получаем Ы а (96.21) Обозна шя первый дробный множитель через О, (он не очень отличается от 1) н имея в виду значение /ге, получаем я О=О (96.22) Таким образом, при Е(У, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта '), Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда О не слишком мал, т. е. когда — „- )/2р (У вЂ” Е) 1 1. 2 (96.23) Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для У вЂ” Е 10г м эрг (аколо десяти электрон-вольт), р 10-" г (масса электрона) н 1"-1О-' см, нз (96.22) получим О же-т. На если мы возьмем, например, 1=-1 см, то из той же формулы получим О е'".
Увеличение массы частицы и превышение У,„ над Е еще более уменьшат О. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы — квантовая механика переходит в классическую. Формулу (96.22) для коэгЬфициента прозрачности О, выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Мы произведем сейчас это обобщение простым, хотя и не вполне строгим путем. Пусть мы имеем потенциальный барьер 1/(х), изображенный на рис, 76. Представим его приближенно в виде совокупности ') Впервые ато явление было рассмотрено Л.
И. Манделывтамом и М. А. Леонтовичем в связи с квантовой теорией аигармоинческого осциллятора (ср. конец 4 67). 4 ат] кАжущАяся пАРАдОксАльнОсть туннельнОГО эФФектА» 421 прямоугольных барьеров с шириной г]х и высотой (7(х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х= х, и покидает его в точке х=ха. Согласно (96.22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен а , — =тгап]тт(х) е]<х 0' = г)ае (потенциальная энергия (7(х) должна быть достаточно плавной, чтобы с]х можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для 1.]' сложатся, и мы получим" ) «т — — ~ тг»и ]и м]- и] г» 2 а г) — (у е к, (96.24) 9 97.
Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта» Прохождение частиц через потенциальные барьеры представляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера (7,„, должна иметь отрицательную кинетическую энергию Т= —, 2н ' ибо полная энергия, как это имеет место в классической механике, является суммой энергий кинетической и потенциальной; Е= — +(7(х).
ра 2р ра В области, где (7(х))Е, — (О, это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз зти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой <запретной» области. Таким образом, получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кинетическая энергия частицы люжет быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннельного эффекта».
На самом деле здесь иет никакого парадокса, а сам вывод неверен, Дело в том, что, поскольку туннельный эффект есть ') Эта формула может быть получена более строго методом каааикласси» ческого приближения (4 37). Сп. также В, П а у л и, Общие принципы аолноаой механики, Го«техн»дат, 1947, $12. 422 пРОхОждение микРОчАстнц чеРез потенциАльныя БАРьеР !Гл, хтл явление квантовое (при й-ь О коэффициент прозрачности В (96.24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рам- ках квантовой механики.
Полную же энергию частицы можно рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий ра только на основе классической механики. Формула Е= — +(у(к) 2р предполагает, что мы одноврелгенно знаелт велияинр как кинетиче- ской энергии Т, тал и т>онтенциодоной сl (х). Иными словами, мы приписываем одновременно определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха- нике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоя- телен и парадокс, основанный па возможности представить пол- ную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция им- пульса) и потенциальной энергии (функция координат). Нам остается лишь посмотреть, ие может лп все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энер- гия меньше высоты барьера.
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если Е(Ум; однако коль скоро фиксируется координата частицы к, при этом создается, согласно соотношению неопреде- ленности, дополнительная дисперсия в импульсе (Лр)я, так что уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е (ср. Я 14, 15). Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину 1, опре- деляемую равенством (96.23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью Ьк~й Но тогда неизбежно возннкаетдисперсия импульса(Ьр)") де зп> ) = = —. Подставляя сюда !я из (96.23), находим 4 (бх)в 4!в —,„=- и.
— Е, ((дар!а (97.!) т. е. Изменение кинетической энергии частицы, вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, кото. рой ей недостает до высоты барьера У . Приведем сше пример, пллюстрпруюший зто утвсрждеиие. Пусть мы желаем определить коордипату частицы, иаходяшсйся виутри потеициальиого барьера таким путем, что будем посылать узкий пучок света в направлении, перпеидикуляоиом к >шправлспию двюкеиия частицы.
Если пучок рассеется, то, аиа >ит, иа его отти попалась частица. Как обьясиялось выше, топ>осг> нашего измсрепия должно быть такова, чтобы бх.с >'; с другой с>оропь>, нельзя создать пучок свсш, ширина которого была бы меньше длины световой волны А. Такньт образсоь Ьх ) А, а СлЕдОВа- ХОЛОДНАЯ ЭМНССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НЗ МЕТАЛЛА э эа) тельно, длина волны света должна быль меньше й т. е, )т < Ь 2 1' 2р(Уш — Е) ' (97.2) так как Х=йпс)ш, где ш-частота световых колебаний, а с — скорость света, то отсюда следует, что йтшв 32пт)тот (Уат — Е).
Встречающиеся в нерелятивистской мсхзнике энергии должны быть меньше собственной энергии частицы )ш-', поэтому >и — Е, (97.3) т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больша, нежели разность между высотой потенциалыюго барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости прилтенить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно боль.
шой энергией, чтобы могкпо было локализовать частицу. й 98. Холодная эмиссии электронов из металла Если к металлу приложить большое электрическое поле (порядка 10' в)сж) так, чтобы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны: получается электрический ток. Это явление получило название ехолодной эмиссии».
Опа может быть легко истолковано на основе 'квантовой теории прохождения,~ )о частиц через потенциальный ба- ')) рьер н притом, в общих чертах, в согласии с опытоы. В этом параграфе мы рассмот- Лн рим теорию этого эффекта, пред- "Сх ставляющую одно из наиболее С' простых приложений теории про- у( хз ( хождения через потенциальный .~=)7 l барьер. Обратимся сначала к кар же ~ия электронов в ис. 73. Поле на границе металла. картине движения элект онов в метаЛЛе в ОТСутстВИЕ внешнего сплошная линна — в отсутствие внешнего повн, пуннтнраая линия — прн иванчин электрического поля. внешнего паля у, В последнем случае оа- Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратить некоторую работу.
Следовательно, потенциальная энергия электрона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потенциальную энергшо электрона У (х) внутри металла равной О, а вне металла равной С ) О, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис, 78. Схематизируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. На самом деле, потенциал внутри 424 прохождение микРОчАст!!ц»!ерез потенциАльнып ВАРьеР 1гл.
ху! металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку (? (х) = О, внутри металла нет никаких с!и, действующих на электрон. Здесь мы не можем обсуждать вопрос о степени правильности такого приближения'). Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее болыппнство электронов имеет энергию Е ( С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от Е=О до Š— — е,(С, где е, есть так называемая нулевая энергия; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
