Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Время жизни электрона в возбужденном состоянии т=-10 ' сек. Вероятность перехода эчектрона в нижнее состояние в 1сек будет 1/т. Вероятность туннельного эффекта 1ионизацни) будет равна 1так же, как и при расчете радиоактивного распада) числу ударов электрона о внутреннюьо стенку потенциального барьера в 1 сек, умноженному на коэффициент прозрачности Р.
Число ударов о барьер по порядку величины равно О)2г„где Π— скоРость электРона, а га — РадиУс баРьеРа, пРимеРно равный радиусу орбиты а. Скорость равна, опять-таки по порядку величины, О= аь —, где ~Е) — энергия электрона, а р — его Г2~Е ( ьь масса. Следовательно, — "='1à — ". =1014 1101.2) 2га я ььое I ~так как Е = — †, а = †.,). Следовательно, вероятность авто2а ' рек 7' нонизации равна 10" Р сек-'. Чтобы преобладала автоионизация 1условие исчезновения спектральной линии), нужно, чтобы 1)т( -Р !О", т.
е. Р) 10 '. Количественная теория автоионизацни находится в хорошем согласии с опытом '). ') См. Г. Бете, Э. Соли итер, Квантовая механика систем с одним и двумя электронами, Фиаматгнз, 1960, стр. 370. Г л а в а ХЧ11 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ й 102. Общие замечания о задаче многих тел Квантовая механика одной частицы ва внешнем поле может быть обобщена на случай движения многих частиц. Для этого так же, как и в классической механике, достаточно рассматривать систему из У частиц как одну частицу с ЗУ степенями свободы (если не считать спина частиц; с учетом спина будем иметь 4У степеней свободы). Все общие положения квантовой механики, имеющие силу для системы с несколькими степенями свободы, могут быть сразу же перенесены па систему, состоящую из У частиц.
Тем не менее существуют некоторые специфические моменты, свойственные системам из многих частиц и заслуживающие специального рассмотрения. Среди этих специфических моментов особо важные выясняются для систем, состоящих из одинаковых частиц. В дальнейшем нам придется подробно остановиться на нпх. Свойства систем из одинаковых частиц образуют одну из наиболее замечательных глав квантовой механики.
Однако пока мы оставим в стороне этп особенности систем с одинаковыми частицами и обратимся к некоторым вопросам, общим для систем любых частиц. Всегда ли можно рассматривать совокупность частиц как механическую систему с соответственно большим числом степеней свободы? Ответ должен быть отрицательный. Рассмотрение системы частиц с координатами к,у,г„хзу.,г„..., кмумгм как механической системы с ЗУ степенямп свободы возможно лишь при условии, что между частицами пе действуют запаздывающие силы (нлн при приближенном рассмотрении таких сил).
Иначе говоря, все силы взаимодействия должны зависеть лишь от мгновенных значений механических величин, относящихся к нашим частицам (например, от их координат и скоростей в данный момент времени), а не от их значений в прошлом, как это бывает при действии запаздывающих сил. Это условие не является особенностью квантовой механики, Оно таково же и в классической механике. !ГЛ. ХУП ЗАДАНА мнОГих тел 440 Поясним это условие на примере электромагнитных сил. Пусть РаССтОЯНИЕ МЕЖДУ ЧаетИЦЕй НОМЕРа ) И ЧаСтИЦЕЙ НОМЕРа й ЕСТЬ Гутя Тогда время, в течение которого распространится электромагнитное возмущение от одной частицы к другой, равно т= ггьус, где с— скорость света. Лля того чтобы можно было считать силы мгновенными, необходимо, чтобы за время т расстояние между частицами мало изменилось.
Если относительная скорость частиц вдоль ом гуь г,ь есть пуа, то изменение г,ь за время т есть Ьгуа=иуьт= с и наше условие принимает вид уь тд — <'=гуты т. е. отьм-"с. Следовательно, относительные скорости частиц должны быть гораздо меньше скорости света с, Короче говоря, это всегда можно сделать, если мы ограничиваемся пер ел яти вистской областью скоростей. Если о с, то сверх того, что мы должны будем учитывать и релятивистские, и квантовые эффекты, мы должны будем вместе с механическими уравнениями для частиц рассматривать еще и уравнения электромагнитного поля, которые управляют распространением взаимодействия от одной частицы к другой.
Относящиеся сюда вопросы выходят за рамки этой книги и вообще они еще не разрешены полностью современной теорией '). Поскольку же о ~~;с,мы можем рассматривать квантовую механику системы частиц как механику одной частицы с многими степенями свободы. Если у нас имеется Лг' частиц с координатами хауагь (й = 1, 2, 3, ..., Лг) и с массами ть, то волновая функция тР в этом случае будет, как всегда, функцией координат всех степеней свободы нашей системы и времени г, т. е. функция ЗЛ)+1 аргументов'): ар =тр(х„у„г„..., хы у», г„..., хл, улг, гл, !).
(102.1) Она определяется, таким образом, в пространстве Зйг' измерений, в так называемом и рост ра н стае ко нфи г ура ци и системы. Название этого фиктивного пространства проистекает от того, что задание координат точки в этом пространстве есть задание трехмерных координат (хь, уы г,) для всех частиц (А=1, 2, 3, ... „Ж) нашей системы и, следовательно, определяет расположение (кон- ') В. Га й т л ер. Кваитовая теория излучения, ИЛ, )956; П. Л.
М. Л и- р а к, Принципы квантовой механики, Физматгяз, )960; Г. В е и т ц е л ь, Введение в кваитовую теорию волновых полей, Гостехиздат, )947. Особенна: А. И. Л х и с з с р, В. Б. Б е рес те цк и й, !йваитовая злектродииамика, «Наукаы !969, е) Чтобы ие усложнять вопроса, мы ие рассматриваем сейчас спина ча- стиц. $ !02) ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ 44) фигурацию) всех частиц системы в трехмерном пространстве. Поэтому точку пространства конфигураций с ЗУ координатами (х„дм г„..., ХА ум ХА) называют изображающей (систему) точкой.
Обозначим бесконечно малый элемент объема в пространстве конфигураций через Г)(л Г)11 = !1х, к)д, !)г,... Нх» дд» к)г»... Г(ХА г(дмг)гх. (1022) Тогда величина и!(Х„д„, гм хм д», гм ., Хд, д~, гА„!)»)1» =Кр'фк)11 (102,3) есть вероятность того, что изображающая точка лежит в элементе объема к)12 пространства конфигураций в момент времени 1, т.
е. вероятность конфигурации системы, при которой в момент 1 координаты первой частицы лежат между х„ х! + »)хм д,, д! + Г)д», Ем г»+Г)г„..., й-й частицы — между х», х»+2)х», д», д»+Г)д», г„ г»+!)2» и т. д. Наряду с элементом объема (102.2) рассмотрим элементы объема в подпространствах типа Г)»»», к)»»»2Ч ... и т. д., определенные по формулам к) 11 = к(х» Г(д» к(е» Г(г)» (102.4) Г(1» = к)х» Г)д» Г)г» дх) Г)д; Г(г, Г)г)») и т. п. (102.4') Интегрируя (102.3) по координатам всех частиц кроме й-й, т.
е. по Г(й», мы найдем вероятность тога, что координаты Ьй частицы лежат между х„х»+к(х», д„, д»+!)д», г», г»+Г)г» при любом положении других, ннымн словами, мы найдем вероятность того, что й-я частица находится в данном л!есте пространства. Обозначая эту вероятность через ц2(х», дм гм 1), мы получаем и! (Х», ды гм 1) дх» !)д» дг» = к(х» Г)д» Г(г» ') Ч)'ф <И». (102.5) Подобным же образом величина ц2 (х», д», е», ху, дп ей 1) с)к» Г)д» )(з» к(х! Г(д! Г)22 = = )(х» !)д» !)2» Г(х! Г)д! Г(г, ~ ф»ф Г(1»») (102.5') есть вероятность того, что й-я частица находится около точки х„д»гы )ея частица одновременно около точки х,д,г~.
Таким образом, зная волновую функцию ф, заданную в пространстве конфигураций, можно определить вероятность данной конфигурации системы (!02.3), вероятность положения любой из частиц (102.5) и, наконец, вероятность того или иного положения пары частиц (102.5') и т. п. Равным образом по общим формулам квантовой механики, Разлагая Ч2 по собственным функциям какого-либо из интересую- !гл. хрл! злдлчл многих тел 442 щих нас операторов, можно вычислить и вероятности того или иного значения любой механической величины.
Л)ы будем считать, что волновая функция зр(х„..., гх, 1) так же, как и волновая функция одной частнцы, подчиняется уран- нению Шредингера (102.6) причем Й означает здесь гамильтониан для системы частиц. По- следний, в полной аналогии с классической гамильтоновой функ- цией для системы ЛГ частиц с массаьп т„..., и»,..., т,у Н= т 1„— +У~(х„у», гы ()~+ х Н»;(х„ую г», ху, у,, г,), »=1 »'з=! где У»(х», у», г», !) силовая функция й-й частицы во внешнем поле, а У»у(х„..., гу) — энергия взаимодействия й-й и )хй частиц, напишется в виде Н =,~~ ~ — 2 7»»+ У» (Х», ь», х»»»)) + » 1 + ~~ У»у(х», туы хы хп уп гу), (102.6') »»е ! = ! где У д д' у»= —.+ —., + —,, ° дх! ду»» да» ' Полагая 2л!» (Р ч»1 т ч»'Р) ° (102.7) !) Мо»кно было бы выписать тамильтониан при наличии магнитного поля н с учетом спина.
Оп равен сумме гамилыоннанов отдельных частиц плюс члены, онределяюцие взаимодействие частиц между собой. Очевидно, что этот гамильтониан представляет собой простое обобщение гаыильтониаиа для одной частицы '). Из уравнения (!02.6) следует уравнение непрерывности для вероятности Гн в пространстве конфигураций. Чтобы получить его, умножим (102.6) на зР» и вычтем сопряженную величину. Имея в виду значение гамильтониапа (102.6'), мы получим зй — (зрезр) = — - У -- (Фе 7»т)) — тр у»зре) »=1 ОБщие ЗАмеч»низ О БАДАче мнОГих тел 443 4 3023 д д д где 7» — оператор с проекциями —, — —, —, мы можем написать дг»' дк»' дг» ' полученную формулу в виде — + йч»3» = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
