Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Соответственно этому операторы проекций полного момента импульса всей системы частиц М„, Мгн М, определим по фор- мулам (105.2) Л! й,=Ей!, (105.2') Л! и,= у; и',. (105.2") Покажем, что оператор производной по времени от момента импульса равен моменту сил, действующих на систему (точнее, оператору момента сил). Согласно общему определению производной оператора мы имеем ф= '„-(йй.-й„й).
(! 05;3) Гамильтониан Й, согласно (102.6'), равен й= ч ( —,а рл+и„)+ 1! и„,. (105,4) Л=! 1~1=! Для вычисления перестановки операторов в (105.3) мы должны иметь в виду, что каждое слагаемое й» в операторе М„действует лишь на те члены в Й, которые содержат координаты Ф-й частицы. "Л Операторы 7л! коммутируют с оператором М,. Действительно, как мы знаем, оператор кинетической энергии можно представить Пусть мы имеем систему из 1у' частиц. Обозначим операторы проекций момента импульса й-й частиць! на оси координат через МУ МУ~ М! (105.1) ЗАДАЧА Р!ИОГИХ ТЕЛ !Гл. ху!! в виде * (м) — — ~!=т„+, 2»»» "» Ъп»г» ' (105.5) Наконец, найдем еще перестановку (Р»РМ„"— М~О»! —— д!!»Р дь!М1 дс!»! (' 㻠— г! у» — уй =И(у» — — 㻠— ) = И вЂ” у» — 㻠— ) = " дг» ду» ),дг»! 1 г» г» ) ди,у ! = И (г,у; — г,у„) — ' —.
(105.7) дг»; г» Подставляя (105.6) и (105.7) в (105.3), найдем — = — „7, (у» г» ) —,7, (г»уу — у»г;) —— »=! ».г=! Последняя сумма равна нулю, в чем убеждаемся сразу, переме. иив местами индексы й и ). Поэтому получаем дйг С~ ~ ди» ди» вЂ”,г (У» 㻠— ) д! ,~ (, дг» ду» )' (105.8) »=! Стоящее справа выражение есть ие что иное, как оператор проекции па ось ОХ суммы моментов внешних сил, действующих иа систему. Совершенно таким же образом получаем дйу чн, ( ди» и»1 — — г !㻠— — х» — ), д!»~! 1 дк» дг»)' »=! (105.8") »=-! Таким образом, мы получаем теорему, известную из классической механики: изменение момени!и импу,гьса в единицу времени равно (105.8') где 7,» — оператор той части кинетической энергии частицы, кото- рая отвечает движению частицы по радиусу-вектору г„, а (М')»в квадрат момента импульса !г-й частицы.
М, коммутирует и с Т,», -», "» Ьг и с (М )', поэтому М„коммутирует с — — »». 2»!» Вычислим теперь перестановку М» и У». Имеем » "» . ! ! д д! ' д д1 (7,М, — МД,= — гй)и„1у,— —., )! — (,у,— - — г,--)и,~ = дгг, д»») ! дг» ду») = И (у» — — гу,— ). (105.6) ди, дСР,, дг, ду,) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА а илл! 45! (105.10) (105.
11) (! 05.11') (!05.11") (105.12) (105.12') (105.12") ̄̄— М„М;=ИМ, М„М,— М„-МУ вЂ” — ИМ„ М,̄— М,М, = ИМ„. М'М -М„МА=О, М'М, — М УМ' =- О, М'М,— М,М'= О, моменту внешних сил, действующих на систему. Эта теорема в квантовой механике, подобно теореме о полном импульсе, формулируется для операторов. Если момент внешних сил равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется: ем,. иА4у и|, ш и=и (105.9) Следовательно, при отсутствии внешних сил среднее значение момента Импульса М„, М„М, и вероятности ш(М,.), ш(М„), ы~(М,) нахождения определенного значения какой-либо из проекций момента не изменяются с течением времени.
Если учесть спин частиц, то оператор полного момента импульса должен быть определен по формулам и М„= ~ (М", +".). А=! и М,,= ~", (И'„+з„'), (105. 1О') А=! М,= ~ (М.+.„), (105. 10") А=1 где зл, зл, зх — операторы (двухрядные матрицы) проекций собственного механического момента й-й частицы. Теорема о сохранении полного момента импульса остается в силе и в этом случае. Если нет сил, действующих на спины, то доказательство этой теоремы ничем не отличается от приведенного выше, так как прн таком предполомсении гамильтониан системы коммутирует со всеми операторами а". Так как операторы М,-, М„, М„в„, в~у, вл„принадлежащие разным частицам (разные й), коммутируют между собой, то из известных правил перестановки для компонент орбитального момента (25.5) и спинового момента (59.1) одной частицы легко получить правила перестановки для полного момента импульса системы частиц: !гл, хтп злдлчА многих тнл 452 где М' есть оператор квадрата полного момента импульса И~4'=М'-;+ М;;+М'-,'.
(105.13) причем У есть либо целое число О, 1, 2, 3,..., либо полуцелое '/„ (,, ')е, ... в зависимости от числа частиц и их спина. Неравенство !гн!=;=,7 означает, что т=,(, У вЂ” 1, У вЂ” 2, ...— У. Иначе говоря, мы имеем всего 27+1 квантовых ориентаций полного момента относительно любого направления (ОЯ).
Заметим, что так как у электрона спин полуцелый ('/а), то для четного числа электронов 7 всегда целое, а для нечетного — полу- целое. Проекции (105.2), (105.2'), (105.2") полного орбитального мо- мента и и,= ~м' й =-! и полного спинового момента М М,= ~аь ь=! (105.16) (105.! 7) подчиняются тем же правилам перестановки, что и проекции полного момента. Поэтому они квантуются по аналогичным формулам Мь' = ЙЧ. (7. + 1), 7.
= О, 1, 2, 3, ..., (105. 18) М,! =ать, ,'глг' ,-.Ь, (!05.19) М = Ь'Я (о+ 1), Я = О, 1, 2, 3,, или Я = '/,, з/„, '~,, ..., (105. 20) (105.21) При заданном значении полного орбитального момента Ь и заданном значении полного спинового момента 5 возможны различные значения 7 в зависимости от взаимной ориентации векторов Мь и М,. Рис. 48 (стр. 274) может служить иллюстрацией сложения этих моментов. Очевидно, что г может принимать все значения от Е + 5, соответствующего параллельной ориентации М, и М„до ~ Š— Я', соответствующего антипараллельной ориентации этих векторов, Ниже на основании этих правил перестановки доказывается, что полный момент импульса для системы частиц квантуется по формулам М'=УХ (1+ 1) (105.14) М,=да, ~щ)==У, (105.!5) 3АЕОн сохплисю!я моминтл пмпульсл З !оз1 т.
е, ,) = Е+ 5, ~ 1. + 5 — 1 (, ! 1. + 5 — 2 ~, ..., ~ 1. — 5 !. (105,22) Всего (25+ 1) значений. Все состояния с однимн и темп же Т. н 5 образуют один мультиплет — группу уровней, находящихся, ввиду слабости взаимодействия между спином н орбитальным движением (ср. 2 66), в соседстве друг с другом. Кратность (число уровней) в мультнплете равна, как мы видим, 25+1. Полный момент системы У, ее орбитальный момент !'. и спиновый момент 5 служат для обозначения терма атома в целом.
Так же как и для одного электрона (ср. 2 66), термы с 1. = = О, 1, 2, 3, ... обозначают 5, Р, О, Р, ... (па этот раз большимн буквами) соответственно. Справа внизу приписывают значок, указывающий значение полного момента l, а слева вверху значок кратности мультнплета, к которому принадлежит терм, а тем самым указывают и полный спин. Например, 4Рнч означает теРм, длЯ котоРого Ь=-З, l =-з!з, 5=в)з! з5л означает теРм, для которого 1, =О, а'=-аг'„5 =в/з. Формула (!05.!5) доказывается сразу, если заметить, что отделъньге члены в сумме (105.10 ) коммутнруют между собой н, следовательно, могут быть одновременно приведены к диагональному виду, так что собственное значение М равно сумме собственных значений М,+з, Но собственные значения !и последних суть йпза, где та — целое или полуцелое число, смотря по значению спина частиц.
Таким образом, л м М = ~' йлгь=йя, аз= ~ пза. (105.23) е=! и=! Для определения собственных значений М- введем операторы А =Мх-" !Мк, В='Йл — !Ма. Пользуясь (105.12), получаем АМч — МчА= — йл, ВМх — М,В=йВ. (105.24) Аю,ж,Ьп" — йт'Аю = — йА (105.25) илн А, .(пз" — т'+1)=0, Впж-(т"-т' — 1)=О. (105.26) Озсюда следует, что единственные ненсчезаюшне элементы А Аеь м з и Внь м з. Оператор квадрата полного момента Мз можно через операторы А и В двояким образом, именно, М =-АВ -'; Мех — йМ, н В суть выразить (Ю5.27) (105.27') ,(('=-ВА+ Мч+Гмх. Напишем зги равенства в виде пронзпедений матриц, беря представление, в котором Мт диагонально. Тогда получаем (гл.
хин задача многих тил 454 Отсюда АВ=Мэ+ (М, ВА=М + — — (М, + — 21, (АВ)дрд=Аэь~,В~ т, =Ма+-4 — й (пг — 2), (105.29) (Вл)щщ — — ВммнАмеь и — — Мэ+- — М (лт+-.-~ . (105 29) Будем теперь считать величину Мэ заданной. Тогда возмомгные значения ! т) неизбежно ограничены. В самом деле, М' =-Ма+ М„э+М!, собственное значение Мха+Ма не мозкет быть отрицательным. Обозначим нижнее значение лг через гп', а верхнее — через гп".
Тогда из (!05.29) н (105?9') следует (так как А,=-О, В,„,, „я=О и А .+, — -О, В . „+ —— 0) даг,1э Мэ-(- — =йэ1т' — — 1 М'-1- — = М ~пг" + 2/' Отсюда ! яГМэ 1 2 ~г Дй ' 4' (105.30) 1 э/Мэ ! 2 ~7 ду 4 ' (105,30') Разность лг" — гп'+1 есть число целое, равное числу различных возможных Мэ при данном Мэ. Обозначим т" — гп'+1=2/+1. Тогда нз (105.30) н (105.30') получаем -/Мэ 2э'+1 2 рйг — +— Р' М 4' или Ме = йэУ (У+ 1). (! 05.3!) В силу полной равноправности полонппельных н отрицательных значений М мы должны положить гп" = — т'. Вместе с (105.15) это иам дает (пг(~Х, где гп=О, ь 1, .ь2, ..., и э' нли т=й., и —, ..., ч- Х. 1 3 При доказательстве мы пользовались только правнламн перестановки операторов проекций импульса (105.11). Так как таким же правилам перестановки подчиняются порознь проекции операторч полного орбитального момента (105.!6) и полного спинового момента (105 17), то тем самым доказаны н формулы (105.18), (!05.!9) н (105.20), (105.21).
Беря диагональный элемент Оп, и) от этих равенств, получим (105,28) (105.28') 410а! совствинные Функции ОпеРАтОРА момента нэ!пульсА 455 Из этих формул и из (105.14) следует, что оператор скалярного произве. денна 2ММ, = М' — МА+ Мэ имеет собственные значения 2(ММ,)=аз(У(/+1) — У. ((.-1-1)+5(5+1)1, (10532) так что формула (64.!3) для одной частицы является частным случаем (105.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
