Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 83
Текст из файла (страница 83)
й» дг (102.8) Это уравнение показывает, что изменение вероятности конфигурации иг обусловливается потоком этой вероятности. Л» есть функция координат всех частиц (и времени) и ямеет смысл плотности тока, обусловленного движением Й-й частицы при заданных координатах всех остальных ()У вЂ” 1) частиц. Чтобы получить плотность тока й-й частицы 1» при любом положении остальных, следует интегрировать (102.7) по всем координатам, кроме координат )г-й частицы: )» (х», у», е», () = ~ г» (х„..., х», у», г», ..., ЗА () Ю».
(102.9) Этот ток также удовлетворяет уравнению непрерывности, но уже в трехмерном пространстве. Именно, интегрируя (102.8) по г(12», мы получаем — (х„ ..., ~~, ()г(й» вЂ вЂ д д Г о — д = дг ~ (Хм > г»г~ ) ~ »= Зг (Х»1 У» ~»~ ). Далее, ~бге»,)» Г(»1» = ~ йч» )»Ю»+ У, '')йч».)» г(11», »=1 »' ~» ~ йч»1» Г(11» = йч» ~ 1» Г(11» = йч»)». Таким образом, мы получаем закон сохранения для каждой из частиц ...,) 0 (10 Д0) сформулированный уже в трехмерном пространстве (х», у», г»). Так как Г(»1» (см.
(102.4)) как раз содержит координаты всех частиц кроме (г-й, то интегралы вида ~йч» 5» г(11» можно преобразовать в поверхностные, и если 2Р исчезает в б сконечностн, то они равны нулю. Так как, напротив, в интеграле ~ бгт» 3»Ю дифференцирование и интегрирование идут по различным переменным, то ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ 1Гл, хчи й 103. Закон сохранения полного импульса системы микрочастиц В классической механике, как известно, полный импульс системы частиц, находящихся под действием лишь внутренних сил, остается постоянным.
При этом центр тяжести системы движется по инерции прямолинейно и равномерно. Если же имеются внешние силы, то изменение полного импульса в единицу времени равно результирующей всех внешних снл, действующих на частицы системы. Мы покажем, что эти положения классической механики сохраняют свою силу и в квантовой области. Определим для этой цели оператор полного импульса всех мнкрочастиц системы Р. Под оператором полного импульса всей системы частиц мы будем подразумевать сумму операторов импульса Р, всех частиц й=1, 2, ..., Ф: »1 У Р= ~ч~ Р„= — 1й ~ р». (103,1) Наконец, вычислим перестановку оператора ~ у» и взаимной »-1 энергии частиц У, с1»,. При этом мы сделаем предположение, что »И1 силы между частицами зависят лишь от взаимных расстояний между частицами г„так, что У»1 —— У»1(г»~).
Тогда на У», дейст- Вычислим оператор производной импульса Р по времени. Согласно общим формулам квантовой механики (НР РЙ) (103.2) Подставляя сюда Й из (102.6') и замечая, что Р коммутнрует и и а»ът ! с оператором кинетической энергии частиц Т= — — ~ — 'р», мы 2 .ы1 »1 »=1 получим, что Ф-~(х" х ')(х — '1У т 1'1Х и +»~ и;.~ 110321 Далее, замечаем, что и,1Х ч)-(К и) и.= — и,и,. (103.3) 1»=1 1 11» =1 ДВИЖЕН11Е ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 445 ф 104! вуют только те операторы ч1А из суммы ~ уь, для которых А =! я'=я или я'=1, т.
е. Иа ()А~ действует пара: !7А+ ум Имеем У!й (Ч + Ч,) — (Ч + р!) и, = — !7 (у„, — Чую, (103.4) но ли„~ ~и,, геу алию= „~ т7дгь,— Д,' .— „', Следовательно, Л~„ ~и,, г„ 7~(!Аг= — „„ ГАТ ЧА(!ю+ 'Р! УА! = О. (103.5) Зто есть выражение закона о действии и противодействии. Из него следует, что перестановка операторов (103.4) равна нулю. Такиы образом, получается и ар с1 с „, А=! — =0 ЙР а! (103.7) т.
е, полный импульс системы части!4, взаимодействующих между собой, в оп!сутствие внешних сил сохраняется. Напомним, что операторное равенство (103.7) означает, что: 1) среднее значение полного импульса не меняется с течением времени, 2) вероятности ш(Р') того или иного значения Р' также остаются неизменными. $104.
Движение центра тяжести системы микрочастиц Дока!кех! важную для приложений теорему о независимости движения центра тяжести системы от относительных движений частиц, образующих эту систему. Для зтого преобразуем гамильтониан системы частиц Н, подверженных действию лишь внутренних т. е. оператор производной полного импульса по времени равен оператору результируюшей силы, действующей со стороны внешних полей на нашу систему. Зта теорема является полным аналогом классической теоремы о движении центра тяжести системы.
Различие заключается лишь атом, что в квантовой механике она формулируется не для самих механических величин, а для изображающих эти величины операторов и, следовательно, для средних значений величин. Если внешние силы отсутствуют (БА=С), то из (103.6) следует, что ЗАдАчА мнОГих тел !ГЛ. ХЧП сил: йе * О==5+)р, 2 (104.1) 0 = ~ — иге И Ф =- У ОА;(ГА~), (104.2) А ! А-.у=! к новым координатам: координатам центра тяжести системы Х, )х, 2 и ЗФ вЂ” 3 относительным координатам. Удобно взять так называемые координаты Я коби, которые определяются следующим образом: и!,х, яг= — — к, = х,-х„ пе, т,х, +т,хе е ги,, те н (104.3) т,х,+...+т хг т, -,'- т: -';... + тт т х +...лот х тг+...+то Совершенно такие же формулы имеют место для осей ОУ и ОЕ: м — ! (104.4) ГДЕ 7г=.= —., + —,+ — „, = —,+ —, + —,, (104.5) д- де д! д д'"„~ дп,', д")! дХ' дУ' ' дЛ~ ' де де У- ой! дя! ' дй! ' (104,6) !) Се!.
дополнение Х!К т,д, +... + тлд. пе,+.„+т рт!' пе,+...+т, т,г,+...+т г! — г,„, ьм=~. Эти формулы представляют собой обобщение обычных формул для координат центра тяжести и относительных координат двух частиц. Координаты Якоби являются ортогональными. С помощью обычных правил перехода от дифференцирования па одним переменным к дп!рфереицированию по друсим переменным можно доказать, что') З !ОН ДЕ! 1ЖЕН11Е ЦЕПТРЛ ТЯЖЕСТ11 С1!СТЕ21Ы М1ИЕРО2!ЛСТ!Щ 447 М есть масса всей системы, а 1!7 — приведенная масса центра тя- жесты 1 первых частиц и (1+1)-й: и М= ~;тз, (104.7) 1 ! 1 !!7 ! !л/+1 тл л=! (104 э8) н д д д , д1, д.
дХ' 2=-1 (104.9) причем оператор аз «2 ° дз дз са ! т= — — — У = — — ! —,+ —., + — ) (104.11) 2М 2М !дХ2 йУ2 дх! есть оператор кинетической энергии центра тяжести всей систелзы, а оператор и — 1 (104.12) 2!21. 1=1 есть оператор кинетической энергии о;пносительного движения частиц. Существенно, что в эиерги1о. взаимодействия 11' координаты центра тяжести не входят.
Преобразуя 8„..., Ь 2, Ч1, ... к любым новым относительным координатам, 27„272, ..., 2)зн „мы не изменим оператора Т. Поэтому вообще вместо (102.6') можно написать аз О = — 2— ,!4 ~'+Н! (2722 272, ", 2)зн-з), где Н! есть гамильтониан для относип!ельного движения, который не содержит координат центра тяжести. Далее, на основании (104,9) и (103.1) получаем новое выражение для оператора полного импульса .„д,! 1й .
(104.14) (104. 18) Из этих формул следует, что гампльтониан (104.1) может быть написан в виде Н-1 т 2 ч~ т о = — — 1 — ~~ — т!+ 2М 2' 2нт /=! + 1Р (61,, Ь-2, Ч1,, Чн-1, ь2, ". СФ-!), (104 10) !Гл, хчн 448 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ Волновую функцию Ч' будем рассматривать как фупкцшо координат центра тяжести Х, Г', 2 и относительных координат дн у„... ..., двн А. УРавнение ШРедингеРа с гамильтонианом (104.13) допускает разделение переменных, если положить (Х, 1, ~ у1 у2 ° ° ° > уьн-3 0 =Ф(Х, )', Е ()ф(до д ", дьн-в, Г) (104 15) Подставляя (104.15) в уравнение Шредингера, получим (й — ф+ (ЛФ вЂ” = — 'ф 244 Т'Ф+ ФНГф. (104. 16) Разделив это иа Фф и приравнивая порознь члены, зависящие от Х, 1', У и уо о„ „., д,н „ мы найдем два уравнения: дф А1 1)à — - = — — 74Ф, дг 284 (104.17) (й ду = Йгт'. дф (104.18) Первое из уравнений относится к движению центра тяжести, второе — к относительному движению.
Как мы видим, первое есть уравнение движения свободной частицы с массой М: центр тяжести в отсутствие внешних сил движется как свободная материальная точка. Простейшее, частное, решение уравнения (104.17) есть волна де Бройля Ф(Х, г, с, Г)= . е" ( " " ' . (104.19) (2лл) и Она же, как следует из (104.14), есть собственная функция оператора полного импульса Р„, Р„, Р„принадлежащая собственным значениям Р,, Р„, Р,.
Е есть собственное значение кинетической энергии движения центра тяжести системы Е = щ (Р", + Р„"+ Р,). Длина волны Х этих воли, как это следует из (104.19), так же как и для элементарной частицы, равна )~ = р — —,и1„Р = Р' Р"; +Рд+Рг, (104.20) где У вЂ” групповая скорость движения центра тяжести. Вывод этот важен, так как особенно подчеркивает, что волны де Бройля не являются какими-то колебаниями, связанными с природой (например, структурой) частиц, а выражают в квантовой области общий закон движения свободных частиц илн закон движения центра тяжести системы, не подверженной действию внешних сил. ЗЛКОН СОХРАНГННЯ МОМИ1ТЛ НЛ1ПУЛЬСЛ % 105! в 105.
Закон сохранения момента импульса системы микрочастиц / д д ! М, = — 1Д (ул - — — гл — 1, дг1, дул)' "! ° / д д1 М =- — 1й (гл — — — хл — )~, дхл дгл)' Л . / д д ! Мл = — !" (хл — — ул — ) дУУ дкл )' где х„, ум гл — координаты А-й частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
