Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Поэтому собственными функциями уравнений (109.9) будут 'Ф „(Ч)=~ — „' е 'Н„Я) (Ь = ~у '— „'Чг! (109.10) а собственнымп значениями 1~ Ел,=Ы1(пг+ 2), п,=О, 1, 2, Подобным жс образом для уравнения (109.9') имеем ф„,(д,)=)/ ' — "„" е -'Н„,ЯД (сз = ~/ ~„.' д.), (109.10') Е„,=-йа.,(пэ+ -), п,=-О, 1, 2, 3, ... (109.11') 1~ (109.11) Из (109.4) следует, что гампльтонпап двух связанных осцилляторов в нормальных координатах представляется в виде суммы гамильтонианов для двух независимых осцилляторов, одного с частотой ы, и другого с частотой ыэ (тот же результат, что н в классической механике). Найдем квантовые уровни и соответствующие пм собственные функции системы связанных осцилляторов.
Оператор содержит координаты 7, и д, и, следовательно, волновая функция ф должна рассматриваться как функция д, н дз Уравнение Шредингера для стационарных состояний нашей системы имеет вид — .: + — ' д1ф — -- -; + — -"- п)ф =- Еф (109.8) л'- д-'ф им! ., а' -д'-'4> поп 2а д41 2 ' 2И дч1 2 Это уравнение легко решается разделением переменных. Для этого положим а !021 систгмл микРОИАстиц, сОпеРШМО!цик мАлыс колеБАиия 499 (! 09.14) Вероятность найти нормальные координаты, лежащими в интервалах !7„д2+е(п! и да. да+!(па, равна (109.15) 76 (уь !72) г(у! 4(уа =Чй„, (!72, !7 ) е(!7! 4(!72. Если мы желаем определить вероятность того, что координаты частиц лежат в интервалах х„х2+г(х, и ха.
ха+4(ха, то для этого достаточно заметить, что г(!7! и(!72 (Х1 (ха и выразить в (109.15) о, и !72 через хл и х,. Тогда получим и! (х„х,) 4(хл 4(ха = /1 1 =2)!йп, (- = (Ха+Ха) = (Хл — Ха) 14(Х! 4(ха. (109,1б) ' '(!Р2 У2 / Сходные результаты получаются для системы с любым числом степеней свободы. Пусть мы имеем й7 частиц, соверщающих малые колебания около положения равновесия. Обозначим отклонения й-й частицы от положения равновесия через ха, у„, га, Тогда потенциальная энергия равна У= —, 7 (А!ах,х +Вму;у„+С!Аг!а~+ Р,ах;у -1- са=! + Е7ахгаа+Г!Ау!22)+..., (109.17) причем величины Ам, Вм, См, Р;а, Ем, Е;а суть вторые производные потенциальной энергии по смещениям.
Так, например, А! дх! дха Из классической механики известно'), что в этом случае можно ввести нормальные координаты !7„2=1, 2, ..., ЗУ, такие, что ') См, например, Л. Д, Л а к и а у, Е. М. Л аф шип, Мехаппка, «Наука», 1973, 9 23. Отсюда следует, что собственные функции исходного уравнения (109.6) имеют вид Ф Ч . (У ° Уа) = ф., (У!) ф.а (Уа), (!09.!2) а соответствующие собственные значения оператора энергии равны еплп* = йееа !оп!+ 2 )+ й!Оаа (па+ -). (109,13) Нулевая энергия системы равна Л42, Йма Еее = — -+ —. ее 2' 470 пнимвнвипя твоюш двпжсния многих тсл 1гл, хчш = ЕЧ'(д„!7», ..., г(зм). (109.21) Очевидно, что зто уравнение распадается на ЗЖ уравнений для 3»»! независимых осцилляторов, если представить Ч" в виде произведения функций от !7„!7», ..., »)з!з.
Уравнение для осциллятора, представляющего з-е нормальное колебание, будет лз д»!(! (4,) п»»1 — — з ., ' + з !71ф(!7») =Е»ф(!7»). (109.22) Отсюда Е, =Л%,(а,+--), 1,=0, 1, 2, ... ! ! Собственные же функции и собственные значения всей осцилляторов определяются выражениями ф»»„...п ...»зз! Й! Ж> ' '~ !7»~ ° ° ° г)зи) =~л! Й!) Фи (!)3) .фл (!7!) ° ° фпз»! Из»») 1 '! / 1! Еп»п....л ...лз!з=»!»4»(п»+ц+" + г!"Ь~п»+» )+ 1 " ° + г!"»зл' ~пзл -й ) (109.23) (! 09. 24) системы (109.25) (109.26) гамильтонова функция распадается на сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов. Нормальные координаты»7,.
и декартовы х», р», г» связаны ортогональным преобразованием д,=~" (а„х»+(3,»у»+у!»г»), з=-1; 2, ..., Зй», (109.18) где а!», (3,», у,.» суть коэффициенты преобразования. В нормальных координатах !7,.— гамильтониан нашей системы О= ~~ ~ — з — !'»)+ з ~~' (А!»%х»+ ° .+г!»у»г») (109.19) »=! с»=1 преобразуется к виду зл * »( " 1»5 2 " + !))' (! 09.20) 5= ! где р — некоторая эффективнач масса, а зз,— частоты нормальных колебаний. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид 47! ДПГОКСНИС ЛТОЬ!ОВ ВО ВНСШЮ;М ПОЛС 4 ыо) где и„лв, ..., а„..., гьад — целые положительные числа, вклю- чая нуль.
Нулевая же энергия системы равна Ео=- й (азт +оза + +озз+ .+азам). (109 27) Перебирая всевозможныс значения чисел и, в (109.26), мы получим все квантовые уровни системы колеблющихся часпщ, Из (109.26) следует, что ддя определения этих уровней достаточно знать частоты нормальных колебаний гоз. Примером систем, имеющих квантовые уровни вида (109.26), могут служить молекулы и твердые тела.
И в тех, и в других атомы совершают малые колебанля около положений равновесия '), Заметим, что при больших амплитудах колебаний следует учесть вь|сшие члешд в разломсении потенциальной энергии, именно, члены жи вила -ЗГ а,, Л хдаД+ ... и т. и. КолебаниЯ тогла бУДУт не- ЗГ дх; кадаг линейнымн, н наши результаты будут иметь лишь приближенное значение. В частности, формула (109.26) будет справедлива лишь для малых квантовых чисел и,.
9 110. Движение атомов во внешнем поле Рассмотрим движение системы частиц (атома, молекулы) во внешнем поле сил. В целях большей конкретности мы ограиичнмса системой из двУх частиц с массами лзт и пь и кооРдинатами х,, у„г, хз, (уз, гз. Обобщение на случай большего числа совершенно тривиально. Обозначим энергию взаимодействия частиц через )Р'(х,— хм дт — уз, г,— г,), энергию первой частицы во внешнем поле через (у,(х,,рог„), а энергию второй — через (тз(хз,уз.ге). уравнение Шредингера для волновой функции системы зр(хы гтт, г, та,уз га, () будет иметь вид тй — — — — — 7, Р— — ттЛ'+(У,ту+(У тР+В')г. (110.!) Введем в это уравнение вместо координат частиц х,,у„, г, и х.„уе, г, координаты центра тяжести Х, 1', 2 и относительные координаты х, у, г (см.
(108.3)). Переходя в (! !0.1) к этим новым т) Квантование энергии колебаний атомов в твердом теле находит свое выражение в квантовом характере теплоемкосги твердого тела, которая при достаточно низких температурах меньше той, 'которая полагалась бы по классической теории (Зц где и — постоянная Больцмана), именно, теплосмкость твердого тела убывает с уменьшением температуры пропорционально Та Расчет теплоемкости твердого тела на основе квантовой теории изложен почти во всех курсах по статистической физике. пяшмснсння тсоннн движения многих тсл 472 !гл. хшн (108.з) х»=-Х вЂ” у,х, д,:= У вЂ” 1х,д, г. — Я вЂ” у,г, координатам и замечая, что по х, == Х + у,х, д»=~ +ж/ ;,=г+уу, (110.
) ин л- а! ж~ ьч+ж» (110.3) мы получим »// --= — — 7х»1« — — У «Ч'+(/,(Х+у„х, У+у,д, г +у,г) Ч'+ +(/» (Х вЂ” у,х, 1' — у»д, г — у»г) Ч'+ (р' (х, д, г) Ч', (110. Г) где д» д» д» » д» д» д» т/х = —. (- — -!- —, ~;" = —.» + —, -). — „. дХ» ду» дЛ' ' » дх» ду» дг» ' Пусть в отсутствие внешнего поля собственные функции для внутреннего движения будут»р," (х, д, г), а собственные значения Переменные Х, У, Е и х, д, г в этом уравнении ввиду наличия поля ((/» и (/») не разделяются. Поэтому в общем случае исследование этого уравнения весьма затруднительно. 'Предположим, однако, что размеры системы малы. Это означает, что мы ограничиваемся рассмотрением таких систем и таких состояний, когда волновая функция Ч' достаточно быстро убывает с увеличением относительного расстояния г =1 х'+д»+ г' двух частиц. Пусть это убывание таково, что вероятность найти частицы на расстоянии г а друг от друга практически равна нулю.
Тогда а можно рассматривать как размер нашей системы (например, «радиус» атома, «длина» молекулы и т. п.). В этом случае в уравнении (!!О.!') играет роль лишь такие области х, д, г, для которых г(а. Прн таком предположении мы можем разложить (/, и (./» по степеням х, д, г (еслн (/, и (/»вЂ” достаточно гладкие функции). Это разложение мы напишем в виде (/,(Х+у,х, У+у,д, 2+у,г)+(/»(Х вЂ” у»х, У вЂ” у,д, 2 — у,г) = =(/,(Х, У, 2)+(/» (Х, У, г.)+ — „' х+ ...
+ — »г+ ... = = — У (Х, У, Е) 4- ш (Х, У, Е, х, д, г) + ..., (! 10.4) где У(Х, У, 2) есть потенциальная энергия центра тяжести системы, а через ш обозначены члены, содержащие х, д, г. Этот член связывает движение центра тяжести с относительным движением. Уравнение Шредингера (!10.1') теперь можно записать в виде »// д/ [ 2М ~х+У(Х, У, 2/1Ч'+! — 2, 7„"+(" (х,д, г)|Ч'+ + ш (Х, У, 2, х, д, г) Ч'. (1! 0.5) э ~ьп движсш>е АтОмОВ Во нпс>ппсм поле 473 энергии Е„".
Очевидно, что >)>'„' есть решение уравнения — — т!;'Ы+ % (х, д, -) >(>~, — Е~4",. (1! 0,6) Если мы учтем влияние внешнего поля, то к этому уравнению добавится член ш(Х, У, У, х, д, г), и мы получим уравнение — — 7,'ф+ (Г (х, д, г)ф+ ш (Х, У, 2, х, д, г) ф = Еф. (110. 7) В это уравнение координаты центра тяжести Х, 1', Я входят как параметрьг, н от пих будут зависеть как волновые фуи>сцни, так и собственные значения этого уравнения. Во многих случаях н>(Х, У, 2, х, д, г) можно рассматривать как возмущение.
Это обстоятельство позволяет решить уравнение, если известны решения уравнения (!!0.6). Обозначим собственные функции уравнения (1!0.7) н его собственные значения через ф„ =>Р„(х, д, г, Х, У, 2), Е„ = Е„(Х, У, Е). (!10.8) где ат > =- ~ Фа7х>ри г(х г(д г(з Ьиа — — ~ Фап'лфп «х г(д дх (1!0.10) (110.!О ) Эти два последш>х члена отличны от нуля лишь в том случае, если функции >(>„ зависят от координат центра тяжести Х, Г, 2 н приводят к возмо>кности переходоп системы из одного состояния в другое. Действительно, если при ! =О все Ф„ = О, кроме Ф„г ~ О, то при ! - 0 Ф„ =,- О, и с течением времени пз состоянии Ф„ будет возникать суперпозиция (1!0.9).
Если ф„ не зависят от Х, У, Я, то а,„„ и Ь „ равны О. Если эта независимость имеет место, хотя бы приближенно, то мы Разложим теперь Ч'(х, д, г, Х, У, х„!) по собственным функциям ф„. Тогда получается Ч'(х, д, г, Х, 1', х„() = 2',Ф„(Х, У, Е, 1)>(>„(х, д, г, Х, г', х.). (1!0.9) Подставляя это разложение в уравнение (!! 0,5), умножая на ф'(х, д, г, Х, У, Я) и интегрируя по х, д, г, получим (в силу ортогоиальности функций ф„) уравнения для функций Ф„: !Ь вЂ” '" = — — 7"хФ,„+[Ъ'(Х, К, 2)+ Е„,(Х, г', 2)) Ԅ— — — „;х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
