Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 86
Текст из файла (страница 86)
В квантовой механике все процессы обратимы ']. Поэтому операции Т должно соответствовать некоторое унитарное преобразование волновой функции и операторов, отображающее свойство обратимости. Рассмотрим уравнение Шредингера сначала в отсутствие электромагнитных полей !й = Йт(7, Й = з-( — !8~7) +(7. (107.12) При замене Г на — 1 мы получим — (й -аг- = Йр', д7Р' (107.12') где ф' = ф (хт, ..., хь) — () = 3гф. Сравнивая (107.12') с уравнением Шредингера для комплексно- сопряженной функции — !й+ = Йтр*, (107.12") ') Это утверждение не относится к нроиессу измерения, который может быть и необратимым.
где М-оператор момента импульса системы, В силу нзотропностп пространства и однородности времени операторы Я и З„а следовательно, М и Н коммутируют между собой, т. е. 1МЙ1=0. Поэтому (107.11) зАдАчА Аи1огнх тсл !Гл. хми 462 мы видим, что Ф' =- Втф = ф*, (107.18) т. е. функция, описывающая обращенное во времени движение, совпадает с комплексно-сопряженной. В случае заряженных частиц, движущихся во внешнем электромагнитном поле, прп обращении времени нужно одновременно переменить знак магнитного поля н знак спиноз: ЗтА = — АБт Бра=- — еуБ . (107. 14) (107.15) Действительно, при таком преобразовании уравнение Паули (51.5) И вЂ” = -- ~~ — (%+ — А~ — е)т+ — (пН)]ф (107.16) ел д~ 2еп 11 С 2те ' Д.
Закон сохранения четности Рассмотрим теперь преобразование инверсии Р: х — ~ — х, у- — у, г — ~ — г. Это преобразование соответствует переходу от правои системы координат к левой. В нашем пространстве нет различия между правыми и левыми винтамн. Поэтому теория должна быть инвариантна по отношению к преобразованию инверсии Р. Это требование налагает условие на возможные гамильтонианы, именно, РЙ= ЙР. (107.1?) Соответствующее унитарное преобразование волновой функции будет ф' = Ф ( — х, — у, — г, () = Рф (х, у, г, е). (107.18) Равенство (107.!7) означает, что оператор инверсии есть интеграл движения ~~ =О.
( 1'07. 19) Далее, очевидно, что Р'ф=+ф. Отсюда следует, что собствен- ные значения оператора инверсии равны -+ 1. Волновые функции (или состояния), принадлежащие Р=+1, называют четными (+), а принадлежащие Р= — 1, — нечетными ( — ). '1 Ср. по этому поводу 4 44 н сноску нв стр. !74. прн замене ( †» — (, А-+ - А, ст-~ — а, Н = — го! А -»- — Н перейдет в уравнение для комплексно-сопряженной функции ф*, т. е. сохранит силу равенство ') (!07.13). СИММЕТРИЯ ПРОСТРЛНСТВЛ И ВРЕМЕНИ 463 % мп Если состояние в какой-то момент времени обладает определенной четностью, то в силу (197.19) эта четность не может измениться. Поэтому четность является одним из признаков, которым характеризуется квантовая система.
В частности, для частицы в состоянии с орбитальным моментом 1 четность равна ( — 1)' (9 25), Для системы частиц, обладаюгцих моментами 1„..., (м, четность состояния будет определяться четностью произведения У'г „,,..., Уг,,„, что дает ( — 1) 1+ ~"'+ ". В заключение заметим, что если квантовая система находится не в пустом пространстве, а в какой-то среде, во внешнем поле или внутри кристалла, то свойства симметрии среды будут также отображаться в существовании некоторых интегралов движения. Например, если атом вкраплен в кристалл такой, что он обладает осью симметрии и-го порядка, то 'при повороте на угол 2п(п среда будет переходить в саму себя.
Операция поворота на угол ~р= 2п/а будет интегралом движения, а волновая функция атома $ будет подвергаться прн этом определенному унитарному преобразованию. Глава ХЪ'111 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ й 108. Учет движения ядра в атоме При рассмотрении движения оптического электрона в атоме мы предполагали ядро атома неподвижным, рассматривая его как источник центральных снл. Такое приближение тем лучше, чем больше масса ядра п1.
Пользуясь доказанной выше теоремой о центре тяжести, легко учесть поправки, обусловленные конечностью массы ядра. Уравнение для определения энергии Е н собственных функций 111в будет, с учетом движения ядра, писаться в виде + (У (г) Ч" = Е2Р, (108,1) (108.2) Вводя координаты Якоби, согласно (104.3) получим $1==х,— хх= — х, $2= ' '+ '=Л', (108.3) 221к1 + 122у2 2)1=-р — И2=р, Ч = =У, 2221+т2 (108.3') так что 2„111, С1 в этом случае суть просто относительные координаты ядра н электрона, Х, )', Л вЂ” координаты центра тя>кссти электрона н ядра.
В этих координатах гамильтоннан уравне- где т1 — масса ядра, х1, у„г1 — его координаты, и2 — масса электрона, х„у2, гз — его координаты, г есть расстояние между ядром н электроном Г = (Х1 — Х2) + (р1 Ц2) + (21 22) ° учет дщ!жсння ядел в Атоме з им пня (108,1) перепшцется согласно (104.10) в виде и !'д-'Ч' д-'12 ШЧ'1 И 'д'-7 д'-"т" д-'Т~ 2М ~дЛ'-' ду~ дЛ-') 2р ~ дх-' ду'" дг'-',' + (I (г) Ч' = ЕЧ1, (108.1') где ! ! ! М е П!,+Л!„— =- — + (!08.4) и пч и,,' Разделил! перемснпыс Х, г', 2 н х, д, г так ж, как это делалось в % 104 (см.
(!0815)): Чг(Х, г', 2, х, у, г)е е " " " ' ф(х, у, г). (108.5) Это решение означает свободное движение центра тяжести атома с импульсом р, р„, р,. Для функции ф!(х, у, г), описывающей относительное движение, получим 2н (, дхд + 'д,-'+ д~!) + Я2!д-.ф дч) д24Я (!08.6) где '=Š— ~м- Е= +-'м-. (108.7) Уравнение (108.6) совершенно одинаково с уравнением для движения частицы с массой р в заданном силовом поле (у(г). е имеет смысл внутренней энергии атома (энергин относитсльного движения), а полная энергия Е складывается из энергии относительгй ного движения е и энергии движения центра тяжести атома — -.
!(огда мы решали задачу о движении элсктрона в атоме, то мы имели дело с таким же уравнением, как и (108.6), но вместо приведенной массы р стояла масса электрона, Поэтому нам нет надобности заново решать задачу о движении электрона в атоме с учетом движения ядра. Чтобь< теперь найти е и ф(х, у, г), достаточно заменить во всех прежних формулах массу электрона на приведенную массу р.
Так как масса ядра и, во много раз больше массы электрона и,, то нз (108.4) следует, что р — лг„ так что вызываемые движением ядра поправки к е н ф будут малы. Если считать массу ядра бесконечно большой, то !!=-и!з (масса электрона). При этом условии в 2 51 нами было найдено значение постоянной Ридберга Р (мы обозначим ее теперь через Й и массу электрона через иь), равное )~- =-.!.,:!'.
(108. 8) Мы видим, что для того, чтобы получить истинное значение постоянной Рндбсрга, опредсля!ошей оптические частоты элек- 466 ПРПМЮ1ЕНР1Я ТЕОРИИ ДВПХСЕИПЯ МПОГИХ ТЕЛ (ГЛ. ХЛП ! 4 ис н Ни — Ин 7 =' ти ин (!08.9) где рн, и ри суть приведенные массы иона гелия и водорода, Согласно (108 4) имеем ри т т, (108.10) где Рлн — масса ЯдРа водоРода, а шн,— масса ЯЕРа гелиЯ. Под- ставляя это в предыдущую формулу, мы получим т11,— тн т. 7= тн +тн гйн (108.9') Отсюда видно, что, определив спектроскопически у и зная атомные веса Н и Не, мы можем вычислить отношение ---", т.
е. тн ' <атомный вес» электрона. Указанным путем Хаустоп нашел --'- = 0,000548, -'-' = 1838,2 -+. 1,8. (108.11) П1и Л1 Этот же эффект является средством для определения масс изотопов. В самом деле, линии, соответствующие одинаковым квантовым переходам,' у разных изотопов пссколы<о различны из-за различия в приведенных массах. Таким путем была установлена масса тяжелого водорода (дейтерия): п1,=2тн, трона, движущегося в кулоновском поле, нужно заменить т, на приведенную массу р.
Так как р для различных атомов различно, то это обстоятельство позволяет определить из спектральных наблюдений массу электрона. Это было сделано Хаустоном с помощью точных измерений линий Н и На водорода и сравнения их с соответствующими лиииямп иона Не~. Так, например, для Н частота тм для водорода равна (1 !! з л Рн (23 33) за~11 где )ти — постоянная Ридберга для водорода. Зля иона гелия и для того же квантового перехода имеем 1! !! ЕС тие '= 4РНе1В З' )' = З Т(нт где )сн,— постоянная Ридберга для Не'".
!'1иожитель 4 появляется по той причине, что величина термов атома (см. 8 51) пропорциональна квадрату заряда ядра 2т. Заряд же ядра Не вдвое больше заряда ядра Н. Из предылущих формул следует, что 2 1ш! ш1стсмА м!1кРОчАс!11ц, совгРшлющих мхлыс колеьАния 457 9 109. Система микрочастиц, совершающих малые колебания Рассмотрнь1 сначала систему из двух одинаковых частиц, совершающих малые колебания. Обозначим отклонение первой частш!ы от положения равновесия через х„а второй — через хе Потенциальная энергия (/(х„х2) для малых отклонений может быть разложена в ряд (/(Х„Х ) = — "" Х,"+ — "- Х1+ ) Х Х2+... (! 09.1) Здесь р — масса частиц (одинаковая для обеих), 1о,— частота колебаний частиц в отсутствие взаимодействия между ними, ) х1хз— энергия взаимодействия частиц (для малых х, и хх). Оператор полной энергии частиц, имеющих потенциальную энергию (109.1), имеет вид ПА!22 .
Р У !221' Н =- — — —., + —" Х,- '— — —, + —" Х,'-, -1- )1Х2Х2 (109.2) 2и дх( 2 2и дх! 2 Из классической механики известно, что для системы частиц, совершающих малые колебания, можно ввести так называемые «нормальные координаты» 17„172, в которых потенциальная энергия (/ выразится в виде суммы квадратоэ 1/„1/2, а кинетическая энергия — в виде суммы квадратов соответствующих импульсов, так что мы будем иметь дело с двумя независимыми нормальными колебаниями. В рассматриваемом частном случае эти нормальные координаты связаны с х, и х, формулами ! ! Х2 = ~ Й1+ 172)~ Х2 = = (171 72)' 172 1' 2 (109.3) Эта особенность нормальных координат сохраняется и в квантовой механике.
Введем в (109.1) вместо х, и хх нормальные координаты 1/„и 172. Для этого заметии, что дф дф дх2 дф дх, 1 !дф д~(! дд1 дх, д41 дх, дд, )7 2 (,дх1 дх2 ~ ' д2ф ! /д2ф д2ф Уф дч! 2 1,дх! дх12 дхгдх„/1 подобным же образом д2ф 1 /д2ф Уф д2ф д422 2 !дх' дх1 дх1 дх2/' Следовательно д2ф Уф дэф д1ф дх' дх) дд дч'1 ' На основании этого равенства получаем (109.4) пгнмсненпя твомш двпжгнпя многих тел !гл хшп где ра! —— !~и;, + )ь рга.; =- РоэΠ— Х.
(109.5) ф() )э) =% ((г) Ч'з Иэ) Е=Ег+Е,. (109.7) (109.8) Подставляя (109.7) и (109.8) в 1109.6), деля результат на фг(д)ф,(д,) и приравнивая порознь постоянным Е, и Е, члены в левой части, зависящие от д, н да соответственно, получим ~ф + аэ д2Ф, М (109.9) 2и дч; м ди!ь рю) — — „' + —." е'„'~(ъ, =- Емфэ 2и дч! 2 (109.9') Первое из этих уравнений есть уравнение для осциллятора с частотой га„ а второе — для осцнллятора с частотой в,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
