Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 91
Текст из файла (страница 91)
В самом деле, такая перестановка обозначает просто перестановку слагаемых в суммах, входящих в гамильтониан Й(Ч, Чз, ..., Ч, ..., Чр, Чн, () = =О(Чт Чм ° Чу . Чю ° ", Чн, () (114.2) для всех пар (~, й) У частиц, образующих систему. Если бы среди У частиц была бы хоть одна отличная, то это равенство не имело бы места как раз для перестановки этой отличной частицы с любой другой. Таким образом, равенство (!14.2) и выражает самое общее свойство гамильтониана, относящегося к совокупности одинаковых частиц. Коротко это свойство может быть сформулировано так: гамилыпониан системы одинаковых настиг( инвариантен (силглгетричен) относительно перестановки координат любой пары части 1(. Ввиду того, что пам в дальнейшем придется часто встречаться с перестановками, нам удобно ввести новый оператор— г) Написав гамнльтоннан Й в форме (114.!), мы исключилн непотенцпаль.
ные поля (напрнмер, магнитное поле), также исключили взаимодействие, могущее зависеть от скоростей частиц (магнитные силы). Все зто могло бы быть учтено и нисколько не изменило бы хода дальнейших рассуждений. 490 с!!стемы из одн!!Аковых»п!к!'очлсзпц !Гз!, х!х оператор перестановки частиц Р»р Под этим оператором мы будем подразумевать символ, указывающий на то, что координаты й-й и !чи частиц должны быть переставлен ы. Например, если мы имеем функцию ((..., д», ..., д,, ...), то Р ((..., !)»,,„, а, ...)=)(..., Ч;, ..., а», ...).
(!!4.З) Зтот оператор, очещ!дио, принадлежит к числу линейнь!х операасорое, так как для того, чтобы переставить координаты в сумме двух функций, нужно переставить их в каждой пз функций. С помощью оператора Р,, равенство (114.2) можно написать в виде Р»уН(4», ", 4» " ~Ь ", цн, ()= = Н (д», Чм 4 * Чм !)Р»з (114 4) для всех пар й, ). Таким образом, оператор Р», коммун!пруст с галшльтонианом системы одинаковых частиц. Действительно, л если мы применим к некоторой функции Ч! оператор РН, то в силу (114.2) это все равно, что применить к Ч! оператор ЙР, ибо оператор Р оставляет неизменным, согласно !114.2), гамильтониан Й.
Опираясь на это свойство гамильтониана, докажем важную вспомогательную теорему относительно волновых функций, описывающих состояние систем из одинаковых частиц. Пусть волновая функция системы Ж частиц есть Ч'(д„..., !)», ..., ам ... ..., д„, !); она должна удовлетворять уравнению Шредингера дт(во ..., Ем ..., Ч,, ..., Чн, !) д! =Н(дм ..., д„..., дм ..., дн, () Х Х Ч'(дм . с)», . ду..., с)н, (). (114.5) Переставим в этол! уравнении координаты й-й и /-й частиц. Для этого подействуем на обе его части оператором Рмр !д! ( (114.5') В силу того, что гамильтоииан Н для одинаковых частиц симметричен относительно перестановки частиц, мы можем на основании (114.4) переставить в (114.5') операторы Р», и Й.
Тогда мы получим (» ) — Н(Рцтг'), (114.6) Из сопоставления (!14.б) с исходным уравнением (114.5) следует, что если Ч" (а„..., а», ..., !!у ', !!н, г) есть решение пщшцип тождественности мнкгочхстнц $ нн 49! уравнения Шредингера (114.5), то н Ч" =Ф Ч =Ч'(о, ..., 49, ..., Ч, ..., д~, () (114.7) есть также решение этого уравнения, и, следовательно, Ч' наряду с Ч" представляет одно из возможных состояний системы. Оно отличается от прежнего Ч' тем, что й-я частица находится теперь в состоян:ш, ранее занимавшемся ~-й частицей, и 1-я занимает теперь состояние й-й. Продолжая перестановки, мы можем получить новые возможяые состояния системы Ч"", Ч""', ..., отличающиеся друг от друга распределением частиц по состояниям. Утверждая, что первая частица находится в состоянии а (первое место в волновой функции), вторая частица — в состоянии Ь (второе место) и т.
д., мы встречаемся с одной характерной трудностью. Дело в том, что, становясь на атомистическую точку зрения, считая разные экземпляры частиц одного рода одинаковыми, мы можем различать частицы только по нх состоянию — например, по их положению в пространстве, по величине их импульса, энергии и т. д. Разумеется, что с течением времени состояние частиц может измениться, и они могут обменяться своими состояниями.
Поскольку в классической механике принципиально возможно проследить за траекторией частиц, постольку, отметив частицы, например, по нх положению в момент времени г'=О, мы можем в любой момент сказать, находится ли в данном месте та частица, которую мы назвали первой, нли та, которую назвали второй. Между тем в квантовой области этого сделать нельзя. Если бы мы отметили частицы по их положению в момент 1=0, то волновые пакеты, относящиеся к различным частицам, быстро бы растеклись и перекрылнсь, так что, обнаружив в момент () 0 где-либо какую-нибудь из частиц, мы уже никак не могли бы сказать, какая же это из частиц — первая илн вторая. Эти рассуждения иллюстрируются рие.
85. На рис. 85, а изображены положения частиц х, н х, в момент (=О и дальнейшие движения их по классическим траекториям. На рис. 85, б изображены волновыс пакеты частиц в момент 1=0 около х, и хз (заштрихованные области) н нх дальнейшее рассеяние. Следует отметить, что заштрихованы только те области, где ! Чг ~' имеет большую величину, так что в незаштрихованных областях пакеты также перекрываются, только значение ~Чг~' там мало. Найдя частицу в области пространства, где волновые пакеты перекрываются, мы уже не можем решить, с какой из двух частиц мы имеем дело.
Приведем еще другой пример. Пусть частицы находятся в ящике, разделенном перегородкой (рис. 86). Непрозрачные стенки ящика означают, что по мере приближения к стенкам потенциальная энергия частиц возрастает. В частности, перегородка 492 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ )ГЛ. Х)Х есть не что иное, как потенциальный барьер. Этот барьер изображен на рис. 86 снизу, под ящиком.
Если энергия частиц ау Рис. 8о. Нумерация частиц по их положениям в простран- стве. а) В классической механике; б) в квантовой. В области, зацприхо- ваннай дважды, нумерация спуталзсь. меньше высоты барьера, то, согласно классической механике, частицы неспособны проникнуть через него — перегородка для них непрозрачна.
Поэтому мы можем различать части- оЬ цы по их положению в левой ил и правой половине ящика, Согласно же квантовой механике для всякого барьера конечной высоты есть вероятность, что частица проникает через него благодаря туннельному эффекту. Если первоначально волновые функции частиц суть Ч', и Чгй (рис. 86), то по истечеРис. 88.
Две частицы в антике, разделен- нии некоторого ВРемени оии ном перегородкой. превратятся в Ч"; и Ч"о (пункВиизу изображен ход потенциала вблизи сте- тиРные кРиВые), так что чанок и валнавме функции частиц. птица о может быть наидена справа, а частица Ь вЂ” слева. При 1 — ьоо волновые функции Ч"; и Что станут одинаковыми и будут иметь симметрично расположенные максимумы в обеих половинах ящика. Вероятность найти частицу а в одном из отделений ящика будет равна той же вероятности для частицы Ь, так что всякий след исходной несимметрии будет утерян. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИМК!ЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ 493 $ !Б! Аналогичные рассуждения можно провести и в тех случаях, когда частицы отмечаются не по пх положению в пространстве, как в приведенных примерах, а по каким-либо другим признакам, характеризующим нх состояние. Пусть, например, в момент времени 1= О частица а имеет импульс р„а частица Ь вЂ” импульс рь Так как состояния с заданным импульсом занимают все пространство, то всегда существует некоторая вероятность столкновения частиц, в результате которого частицы обменяются импульсами так, что частица а будет иметь импульс рь а частица Ь вЂ” импульс р,.
Таким образом, в квантовой области единственный способ, по которому можно различать одинаковые частицы — различие по состояниям, отказывается служить. В этой связи мыслимо предположение, что встречающиеся в природе систсмы устроены так, что вообще проблема различения одинаковых частиц является надуманной, т. е.
что состояния совокупности одинаковых частиц всегда таковы, что можно говорить лишь о состоянии всей совокупности в целом, а ие о распределении частиц по состояниям. Это предположение оправдывается на самом деле. Его мы формулируем в форме принципа тождественности: в совокупности одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при обмене одинаковых частиц.
Это означает, что вероятность найти при измерении какой-либо механической величины Ь, относящейся к системе одинаковых частиц или к ее части, значение, равное 1.', не меняется прн обмене частиц их состояниями. Высказанный принцип не вытекает из изложенных ранее положений квантовой механики, но, как мы увидим, он вполне подходит к ней и обязателен, если мы хотим получить из квантовой механики выводы, согласующиеся с опытом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
