Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 79
Текст из файла (страница 79)
2 120). Поток электронов металла, падающий изнутри металла иа его поверхность, обозначим через з'е. Так как электроны имеют энергию Е(С, то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум. Представим теперь себе, что наложено электрическое поле Ж, направленное к поверхности металла.
Тогда к потенциальной энергии электрона (?(х) (рис. ?8) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном поле О, равная — еех (заряд электрона равен — е), Полная потенциальная энергия электрона будет теперь равна У' (х) = У (х) — емх = С вЂ” еЖх (х ) 0), У' (х) =0 (х(0). (98.1) Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. ?8 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение У(х) произойдет лишь вне металла. Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е)С.
Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при наложении поля получиться не должно. Однако, если поле О достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким изменением потенциальной энергии н классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциальный барьер'). ') См., например, А.
А. Абрикосов, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», 1972. э) Если поле понизит высоту барьера, так что она станет меньше е„то же самое будет иметь место и по классической механике. Но это будет колоссальный т"»к: электроны хлынут лавиной через барьер. На самом деле имеет место постепенное нарастание тока с ростом поля. 4 ая ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА 425 Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Е„. Согласно (96.24) дело сводится к вычислению интеграла к = 1 у 22к к~к' (е — ее ы~, и где хл и х,— координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (см. рис.
78), очевидно, х, = О, так как для всякой энергии Е (С горизонтальная прямая Е„, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х= О. Вторая точка поворота хг получится, как видно из чертежа, при Е„= С вЂ” еох; отсюда С вЂ” Ек г ек ° следовательно, с-е .к ео З= ~ )' 2р [С вЂ” еЖх — Е„) Дх.
о (98.2) Введем переменную интегрирования $= х. Тогда л1ы ЕО получим ч В=У'2 'С Е"* 1У"Г:~ (~=-'~/'2 (С "' (98.8) о Таким образом, коэффициент прозрачности О для электронов, обладающих энергией движения по оси ОХ, равной Е, равен Е Лкео (С вЂ” Е )Ч- 0(Е„) =0 е (98 А) (98.5) Коэффициент этот несколько различен для разных Ек, но так как С) Ек, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь вид Ь~ .0 =Ьое 42б прохождение зтнкрочлстнц чеРез потенш!Лльньп! Барьер !Гл, ху! где Ве н Ов — константы, зависящие от рода металлов.
Ток холод. ной эмиссии будет равен о« Х(8) =1,0=Аа О (98.6) Эта завнсилтость тока от поля вполне подтверждается экспериментами '). 9 99. Трехмерный потенциальный барьер. Квазистационарные состояния Рассмотрение в Я 97 и 98 задачи о прохождении через потенциальный барьер отличалось той особенностью, что в них речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория радиоактивного распада, автононизацпя атомов) нам встретятся такие случаи, когда речь (У будет идти о потоке ча- стиц, выходящих из неко- 0 торой ограниченной облаи.и„ц,„ / ' арчь сти пространства (ядро р=и„ атома, атом), окруженной потенциальным барьером. ' ют Пусть сфера с центром и) в 0 и радиусом т, (рнс.
Рис. 79. потенциальный барьер. ограни«и. 79, и) есть та поверхность, ваюший замкнутую область (г ~ г,), на которой потенциаль- ная энергия 0(г) принимает максимальное значение, так что для г =г„У(У и для г)г,, У(У, Соответствукщпй пример графика У(г) дан на рис. 79, б. Допустим, что нас интересует прохок<депие через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутству!от (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны (99.!) ф=с —,, Уг)0, Это условие мы будем называть условием и злу чен и я. Ясно, что уравнение Шредингера '" -д - = - -'- ''ф+(7(г) ф дФ (99.2) д! 2р в этом случае может иметь лишь нестайионарлыс решения. Действ!Оельно, применим закон сохранения числа частиц к сфере ') Они были выполнены П.
И. Лукирским, трехмернып погснцплльнып влрье 427 радиуса и: ГФ Ф,Ь 11 Дз акга,(а ! ь Из (99,1) имеем И 7 аФ аР,! ЛЛ!С!в уг — (гр — — т(т ) = —., 2р ~ дг дг ) ргз (99.3) (99,4) н, стало бьгть, — „,- ~ тр тргЬ= — — ' ~ ',С!Ойг(0, аГ „лег (99.5) Е=ЕΠ— —. гя)ь О 2 (99.7) Тогда среднее число частиц в объеме )го, заключенном внутри барьера, согласно (99.6) и (99.7), будет й( (!) = ~ айвтР сЬ = е ы ) ей в (г) ф (г) г(о, ') Из (99.6) и (99.7) видно, что если взять Х вЂ”.-О, то мы получили бы стационарные состояния, что противоречит, согласно [99.8), условию излучения. т.
е. среднее число частиц в объеме сферы гг убывает, так что тр не может гармонически зависеть от времени. Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (99.2) с начальным условием таким, что функция тр(г, О) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот г! факт, что при 7=0 частица нахо- ~а дилась внутри барьера). Можно, од- Гр нако, исходить нз другого условия, до некоторой степени протпвополож- Ре ного, именно считать, что истечение г частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится )7 вне барьера. Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее, Он Рис.
80, потенциалы!ыг! сзрьер, удобен тем, что допушгает разделе„ограннчиваюшпй замииут)ю об- (99.2). Положим сразу Потенциальная нрнввя О, г, У , ег соответствует потепцнвльнов яме, получвюпгеаея нв баРьеРа ОтоРви- уровпп впергпя в тонов яме. При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как энергию частиц (см. об этом ниже). Мы положим') 428 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР !ГЛ. ХУ! т. е. й((() = е — й((О).
(99.8) Величину А будем называть константой распада. Подстановка (99.6) в (99.2) дает а2 Г ГЛА '1 — — 2~'ф+и ( ) ф=Р,— — 2) Ф (99,9) 2и Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера У(г), изображенную на рис. 80. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: 1=0.
Тогда, полагая ф(г) = —, и (г) мы получим нз (99.9) — — — +У(г)и~ Š— — 2 — )и гн сии I !Мт (99.!1) Согласно нашему предположению о виде У(г) уравнение (99.11) разобьется на три: и" +йеи=О (0<гег,), и" — узи=О (г,(г(г,), и" +лен=О (г,(г), (99.12) (99.!2') (99.!2") где (99.!З) (99.16) (99.16') (99.17) (99,17') А ей и йг, =. иеч' + ре-чп, йА созйг,=-д(ие»' — ()е-ч') для г=г„ явило ( ~е-до — испо д(иечо — ()е-чо) = йае'АО для г=г,. Решения этих уравнений имеют вид и1 =А'е 'м+Веи' (0( г(гт), (99.14) ип = ае" + ()е-" (г, С г С г,), (99.14') и1п = ае"'+ Ье-'А' (ге ( г). (99.14") Из условия конечности ф в пуле следует, что А' = — В, и| = А з!Пйг.
(99,15) Кроме того, условие излучения дает Ь=О (только уходящие волны). Краевые условия па границах г=г, и г=гги как мы установили в 9 96, сводятся к равенству функций и их первых производных ТРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНШ1АЛЬНЫП БАРЬЕР 429 На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех комРфициентов А, се, р, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель Л системы уравнений (99.16) и (99.!7) обращался в нуль.
Несложные вычисления дают б (е) =е" (-чй- 1я Ь, — 1) ',д+~-1- е" (д (е'лг,+1) = О, (99.18) где ! означает ширину барьера г,— г,. (99.!8) есть трансцендентное уравнение для й, Определим его корни приближенно, считая гУ1 )) !. Тогда в нулевом приближении можно отбросить член с е ЕУ, и мы получаем А~ 1дйг,+1=0. (99.19) Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (О, г„(7 ), изображенной на рис. 80 и получаемой из потенциального барьера рис.
80 при у,=со. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для Е ((/м). Если корни уравнения (99.19) обозначить через )тот, /гм, ..., пол, ..., то энергия этих уровней будет (согласно (99.13)) равна яа, 1 Е,„= — й1 + — !йЛ, я=1, 2, 3, ... (99.20) Оа 2(т Корни действительны'), если А=О, и по порядку величины 1 равны —. В этом случае мы имеем стационарные состояния. Прн Ут конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что (7 (У), ( Е, и вместо дискретного спектра (99.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает нз непрерывного спектра уровни, близкие к Е„, но они не будут теперь стационарными (А„=,л 0).
При малых А„ они будут почти стационарными. Это — к в а з и с т а ц и о н а р н ы е уровни, упоминавшиеся в 9 87. Определим величину 7„, считая ее малой. Для этого разложим член с е"' в (99.!8) по степеням Аутам — уг„где ее — один пз корней уравнения (99.19) для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с е м подставим /г=ла1 замечаЯ, что УЦ 1 Ь., йа получим 2е-ер ('".~ ',1 + ее' "~.~" (1+У)огт) о)е+ =0 Отсюда находим Лй. ') для достаточно глубокой ямы ((У',„-> со) 9„, -+ооУ вместо (99.19) имеем (а Ага=0, а„та=пи, л=1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
