Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 70
Текст из файла (страница 70)
пес»»! (88.! 1) 7 В" =)„В„'", Величина А"„определяет продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии. Если к моменту времени 7 мы имеем У атомов, находящихся в возбужденном состоянии Е , то среднее число атомов, спонтанно переходящих в нижнее состояние Е„, будет за время Ю равно с(У = — А,"„У Ж, откуда т У =У" е '" =-У'е 'м», (88.12) где 1 т и»вЂ” м (88.13) Из этих формул следует, что т „есть средняя продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии Е . Из (88.9) получаем Зс'Ь т~»» 4ы~ ч (() )3 (88,!4) где (,„-степень вырождения уровня Е .
Пользуясь свойствами Ь",„, Ь~„и а" „, легко доказать, что ЗТВ ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. ХН [[Е Мил 81 я,а ! !утл ! ° (88. 16) Как распределение излучаемой энергии по углам (88.15), так и полная энергия, излучаемая в 1 сек, совпадают с соответствующими формулами для классического осциллятора, обладающего собственной частотой [но=о) „и средним электрическим моментом: (О„„) =2[О..!а. (88. 17) Кроме того, и поляризация света такая же, как у классического осциллятора (именно, излучается свет лишь с поляризацией [„см. рис.
66). Формула (88.12) для числа переходов в нижнее состояние должна быть изменена в том случае, когда возбужденный атом находится в поле излучения, когерентного с его спонтанным излучением. Действительно, согласно теории квантового излучения Эйнштейна (см. 9 5), в этом случае будет иметь место дополнительное, индуцированное излучение. В соответствии с форл[улой (5.3) следует написать вместо (88.12) [[И = — ~Л„"+В,"„р(4Р7.г[(, (88.18) где р(оз) есть плотность внешнего излучения частоты о)=от„. Пользуясь (88.11), получим Ро [м)1 (88.!9) амз где ре([о) = —.
Из (88.19) видно, что число излучений сущестлтст ' венно возрастает, если р(о)))) ре(от). Этот эффект усиления света используется в современных лазерах. 1) Именно это обстоятельстзо позволяет рассматривать позбужленнме состояния атома как стационарпме [по крайней мере приближенно).
Ср. 4 113. Оценим эту величину для. видимого света оэ„„=4 1О"; 0 „по порядку величины равно — еа, где а — размеры атома, так что )О „)-2 10-'а. Отсюда находим т „АЙ!0 'сек, т. е. т РТ „= = — "АЙ!0-та сек'). отея Вычислим теперь среднюю энергию, излучаемую в 1 сек в элемент телесного угла [!л! при переходе т-~-и. Так как при каждом переходе излучается энергия л[о „=-Š— Е„, то средняя энергия, [Ел[1 излучаемая в угол с[!1, будет за ! сек (обозначим ее через с[( — )1 мт [((„--) = [[[[Р;))оля„= — Я'",„! Р„„," з!и'В„„Ж), (88.15) а полное излучение за 1 сек получим, интегрируя по всем углам [2: ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 9 89.
Принцип соответствия 379 -Р СО х(1)= ~ х»е "», (89.1) ໠— — а»А, й=+1, +2, ..., х»=х" »', а, будет основной частотой, а ໠— частотами обертонов. Полагая х»=! х» ~е'"», (89.2) мы можем записать (89.1) в форме х (1) = ~ , '2 ( х» , 'соз (а»1 + гр»), »=! Электрический момент частицы Р равен ех(1), т. е. + Со Р (1) = 5, 'Р»е'"»'= ~ 2 ~Р»! сов (а»1+гр»), (89.3) (89.1') где Р» =- ех,. Интенсивность излучения частоты аа его распределение в пространстве н его поляризация определяются членом Р„» = 21Р» ~ сох (а 1+ а»).
(89.4) Средняя энергия, излучаемая таким диполем в телесный угол й(2, равна 7»Е' 1 н„'— а полное излучение равно НЕ 2а4 (89.5) (89.6) где (Р„„)' = 4 ~ Р» асов (а»1 + В))» = 2 ~ Р» ~». Таким образом, мы получаем вместо (89.5) и (89.6) 7НЕ~ ай а Я = — 1Р» ~» з(п 9 (а, (,йу) 2лсэ »Е 4а» ~у = ~т~Р» 1». (89.7) (89.5') (89.6') Рассмотрим излучение заряженной частицы (заряд — е), движущейся согласно законам классической механики.
Для простоты ограничимся случаем одного измерения. Период движения пусть 2л будет т» = —. Обозначая координату частицы через х(1), мы раза» ложим ее в ряд Фурье зао ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩГНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. ХУ Из сопоставления этих формул с (88.15) и (88.16) следует, что матричный элемент электрического момента 0 „является полным аналогом классических компонент Фурье. Эту аналогию мы можем продолжить, если рассмотрим изменение по времени электрических моментов 0 „„взяв их в гайзенберговском представлении. Мы считали 0 л не зависящим от времени и зависимость от времени переносили на волновые функции.
Напротив, можно считать волновые функции не зависящими от времени, а зависимость от времени перенести на операторы (матрицы), как это было в общем виде для любой механической величины пояс. неио в 9 42. Тогда мы имеем 0тл (1) — 0тл (0)е тл = 0тпе (89.8) Соответствующее представление в классической теории означает, что временные множители е[те' в (89[8) мы включаем в Р„: Р,Я=Р,(0)ете'=Рее' и'.
(89.8') Таким образом, классически движущаяся частица в отношении излучаемого ею поля может быть характеризовапа однорядной последовательностью гармонически колеблющихся диполей (89.8'): (89.9) с частотами в,=ы„[В,=2[«„..., а«=[па«, ..., (89.9') р р и .. р "иле 11 не " |ле р"" р р тпл е,е 23 еле 0([) = (89.10) атее р пе лле т1е ' тгп .. тле с частотами бт — Ел ~«л = (89.10') также образующими матрицу е>!е " ьил о (89. 1О") Мтп [Етп °" [птп представляющими основной тон н обертоны системы, Квантовая же система характеризуется в отношении излучения также совокупностью гармонически колеблющихся диполей, но образующих гораздо более богатое многообразие. Именно, всю совокупность этих осцилляторов можно представить матрицей электрического момента 38! принцип соотвстствня й ш) Диагональные элементы Р,„(() матрицы Р(() не зависят.
от времени, так как ш„„= О, н представляют собой средний электрический момент атома в л-м квантовом состоянии. Неднагональные элементы определяют излучение атома н колеблются с боровскими частотами. Таким образом, мы приходим к комбинационному принципу Рнтца, выраженному в (89.10"), согласно которому частоты атомов выражаются как разности термов — —, в проЕж д тнвоположность выводу классической теории о кратности всех частот ш» некоторой основной частоте шв. Еше задолго до квантовой механики Н. Бор высказал предполо>кенис, согласно которому амплитуды классических осцилляторов 0 могут служить для определения интенсивностей и поляризации излучения квантовых систем.
3то предположение носило название п р и н ци п а с о от нет стаи я. Однако до создания квантовой механики применение этого принципа было весьма неоднозначно и, по меньшей мере, двусмысленно. В самом деле, в теории Бора квантовые движения представлялись как движения по квантоваиным орбитам. Классические амплитуды О„оп>осятся и движению по какой-либо одной определенной орбите. Они будут получены, если мы разложим в ряд Фурье радиус-вектор г (Г) частицы, движущейся по л-й орбите. Излучение >ке происходит при переходе нз одного квантового состояния в другое, говоря на языке с>арой боровской теории, при переходе с одной орбиты (и) яа др>тую (ш).
Какое из двух движений следует разложить в ряд Фурье, чтобы получить коэффициенты Фурье (>», опрсделяюшие излучение,— на это нельзя было дать отлета. Однако применение принципа соотпетствия к переходам между уровнями с большимн квантовыми числами (я' 1), сопровождаюшнмися малыми изме. пениями квантового числа (' и — >я ~ =)»> ~ и), было вполне рационально. При больших квантовых числах л квантовые орбиты лежат очень близко друг к другу, образуя практически почти непрерывную последовательность классических неквантованных орбит. Лля переходов между такими орбитами, поскольку изменение числа и мало, мшкно было однозначно пользоваться принципом соответствия, считая, что интенсивность излучения определяется классическими компонентамн Фурье Пю поскольку ввиду малого различия и и-й и >и-й орбите безразлично, какос из этих двух движений подвергнуть разложению иа гармонические составляю>цие для определения амплитуд отдельных тонов н обертонов, т.
е. величин (>». Сушествеинь>м затр>лнеиием для теории Бора являлась невозможность вычислить интенсивность излучения для малых квантовых чисел и для больших их изменений. В этой типично квантовой области переходов принцип соответствия отказывался служить, н попытки распространить его и на малые зна >ения л вели к двусмысленным результатам, в лучшем случае позволявшим сделать не количественные, а лишь качесгвеиныс выасазывання о характере излучения.
Ранее мы, исходя нз теории Эйнштейна, пришли к заключению, что квантовая система поглощает н излучает, как совокупность классических гармонических осцилляторов с компонентами ФУРье электРического момента, Равными Р яегтв г. Счедовательно, для вычнслення поглощения нлн излучения света квантовой системой нужно вычислить поглощенне нлн излучение классических за ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА !ГЛ.ХУ осцилляторов с моментами О„,„е~" ~.
Вычислив энергию, поглощаемую или излучаемую в 1 сек, и разделив ее на величину поглощаемого или излучаемого кванта света Йы=Š— Ел, мы получим вероятность соответствующего квантового перехода в 1 сек. Это утверждение может рассматриваться как современная форма принципа соответствия между квантовой и классической теорией излучения. 9 90. Правила отбора для днпольного излучения А. Правила отбора для осциллятора Пусть мы имеем осциллятор с массой р, собственной частотой ьзл и зарядом е. Квантовые уровни Е„такого осциллятора определяются формулой Е =йыа(л+,, ), 1! л— л=0, 1,2,3, Элементы матрицы электрического момента должны равняться ~'),лл = ЕАлле " = ек~лле' ' ! (90.2) где хл, суть элементы матрицы координаты. В 9 48 мы вычислили матрицу координаты и нашли, что элементы ее отличны от нуля лишь для т=л-~ 1. Поэтому мы получаем правило отбора () „~0 лишь при т=л +'1, (90.3) а соответствующие частоты будут равны ы „=мейл — л)=не„ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
