Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Например, резонанс в поглощении Хе",,а тепловых нейтронов имеет сечение, площадь которого в 100000 раз превосходит площадь геометрического сечения ядра Хе,',"', Этот резонанс имеет большое практическое значение в эксплуатации ядерных реакторов. $82. Рассеяние заряженной частицы в кулоновском поле В 2 50 было изучено движение заряженной частицы в кулоновском поле. Однако тогда мы интересовались связанными состояниями (Е(0) и не рассматривали случая (Е )О), который осуществляется при рассеянии частиц.
Следуя методике Э 50, мы могли бы также найти радиальные функции )та(р) (р= —, 1 — орбитальное число) и для случая а ' Е) О. Однако в случае рассеяния нам пришлось бы искать сложную линейную комбинацию этих функций, чтобы получить асимптотическое решение типа (80.5). Поэтому в задаче рассеяния более целесообразно избрать более прямой и более адекватный задаче метод. а вз) РАссеяние ЗАРяженнон чАст!щы В кулоновском поле 355 Для этого мы будем исходить из уравнения (49.2) с нераздеетлзлз ленными переменными и положим там «1(г) = — '', где елт и г еХз — заряды частиц, а г — расстояние между ними. 2РЕ 2ре«2«2« Обозначим теперь лз = — „,, р = „,', перепишем уравненяе (49.2) в виде (82,1) Будем искать решение зр в виде тр = е'"' Р (г — г).
(82.2) Тогда легко убедиться, что для функции Р получится уравнение ь —, + — „(1 — 1)ть) — -- рР = О, «ГЧ' «)Е (82.3) где 9=» — г. Представляя Р(Ь) в виде ряда Р(ь) =-ьт(1+ать+азьв+ ...), (82.4) ие ! ее ( ~г ,.) хРз( — $, 1, йь)= . !1 — —.. )ен!а "1— ! лз Ге з е'аз е-Еыес 1 Г (1 — !Е) )«г (82.8) Здесь Г(г) есть гамма-функция. Выбирая теперь «Р(г, 8) в виде ! )р(г, 6) =е ' Г(1+«Е) е™зРх( — ге, 1, Щ), (82.8) где езг,г, ~=г,=г(1 созе) (82.7) з) Ом Э Т. У и т т е к е р и Г«ж Н.
В а т с о и, Курс современного анализа Физматгнз, !963, т. 11, гл. !6. з) Н. Мотт, Г. Меос и, Теория атомных столнновений, «Мнрн 1969, стр. 59. мы убедимся, обычным путем, что уз=О и, следовательно, Р(Ь) регулярна в нуле. Далее, можно с помошью рекуррентных формул вычислить коэффициенты ряда (82.4). Оказывается, что Р (ь) = зР, ( — !9, 1, Щ) ($=р)2)т) есть функция, связанная с так называемой конфлюэнтной гипергеометрической функцией Уиттекера ').
Асимптотическое разложение этой функции известно') и имеет вид ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИП [Гл хи'. Зьв где 7=(1 — . В -1- .. 4»ем»+44 41 — 1 й (» — г) (82.9) 8 = — ем' — ц мы 1 г (82.9') А(В)= ',,"- созесг — е — 4ц "и — »4441-»»-гч), (82.9") егх 24 В 2иое 2 где е"ч = . Сравнение этих формул с обычными форму- Г (1+1$) '= Г(1 — а' лами теории рассеяния показывает, что и падающая волна ееее и е4Ы рассеянная волна — искажены логарифмическими множителями г сц1ее 1» — 41 14 е — 4е же», Это Особенность кулоновского пОлЯ, которое медленно убывает с расстоянием, и поэтому при сколь угодно больших расстояниях искажает волны.
Поэтому решений в виде плоских или обыкновенных сферических волн в кулоновском поле вообще не существует. Эффективное дифференциальное сечение а(В) на угол В равно 1А (В),". е'2',21 6 О (В) = ' ." соэес4— 4)ци4 2 (82.10) совпадает с ранее вычисленным методом Бориа (ср. (79.19)). Однако амплитуды А (В) (79.12) и (82.9") отличаются фазой. Отличие будет невелико, если $= 4 ((1. Это есть условие ее2,24 применимости метода Бориа в рассматриваемой задаче.
Таким образом, мы доказали, что классическая формула Резерфорда для рассеяния частиц в кулоновском поле строго следует из квантовой механики, без каких-либо поправок. Однако следует отметить, что для рассеяния тождественных частиц, например, а-частиц на ядрах гелия или протонов иа ядре водорода и т. п., наступают существенные отклонения от классической формулы Резерфорда, связанные с особыми квантовомеханическими требованиями к симметрии волновой. функции для тождественных частиц.
Теория рассеяния тождественных частиц изложена в 2 134. В заключение этого раздела приведем выражение для матрицы рассеяния 5 (44, 1) в случае кулоновского рассеяния. Для этого нужно представить Л (В) (82.9") в виде и о= р114 — скорость частицы, получим из (82.6) с помощью (82 8) дл я г, ь -~ ох ф (г, В), т = 1+ Л (В) 5, (82.8) зад Рассеяние зАРяженнон чАстицы В кулоновском пОле 357 ряда по полиномам Лежандра (80.15). Пользуясь ортогональностыо этих полиномов, будем иметь емч'~ ' — 1 = й $ А (6) Р, (соз 6) з)п 6 с(6. о (82.11) 8(з 1) емч~м~ (+ +~6) (82.12) Г ((+1-!$)' где à — гамма-функция.
Чтобы перейти к случаю притяжения У(г)= — —, во е~х,л~ т всех полученных выше формулах следует заменить $ на -$. Весьма громоздкое вычисление, которое мы опускаем, приводит к результату Глава Х1Ч ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ $ 83. Постановка вопроса Одной из важнейших задач квантовой механики является вычисление вероятности перехода из одного квантового состояния в другое. Эта задача может быть обрисована следующим образом. Пусть в момент времени )=0 мы имеем чистый ансамбль систем, характеризуемый тем, что какая-либо механическая величина Е имеет определенное значение Е=-Е„. Такой ансамбль будет описываться волновой функцией тр„(х), являющейся собственной функцией оператора Е и принадлежащей собственному значению Е = = Е„т).
Про системы такого ансамбля говорят, что они находятся в квантовом состоянии и. С течением времени, благодаря действию внешних полей или в силу внутренних причин, состояние систем может измениться. В результате к моменту времени т наш ансамбль будет описываться уже некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через ар„(х, ~). Этот новый ансамбль, возникший из прежнего, вообще говоря, будет ансамблем с неопределенным значением величины Е'). Если теперь подвергнуть системы, принадлежащие этому ансамблю сортировке по величине Е, т. е.
выполнить спектральное разложение по признаку Е, то получится новый ансамбль (смешанный, ср. 5 Г7). При этом часть систем будет иметь Е=Е и образовывать чистый ансамбль, описываемый волновой функцией тр (х) [Езр (х) =Е тр (х)], другая часть систем будет иметь Е=Е„и будет образовывать чистый ансамбль ф,„(х) и т. д. ') В общем случае состояние может характеризоваться не одной, а несколькими механическими величинами ь, М, йг, ...
Соответственно атому число индексов у волновой функции будет больше ф, „, т... ') Исключение представляет случай, когда Ь есть нвтеграл движения. нлг Тогда ф» (х, т) =фа (х) е и в состоянии фа (х, Г) опять имеется едииствеии ное значение Ь=йа. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА О системах, которые оказались принадлежащими ансамблю с Е = 1.м (т-,г и), говорят, что они совершили квантовый переход из квантового состояния и в квантовое состояние пт, Сказанное может быть иллюстрировано схемой; 1=0 ------ — з(>„(х), Е = Е »Р=3~»(х)-э«Р'=«Р»(х, 1)=-.~;сел(1)фл(х) ----- — Фп (х)* Е=Еы --------ф -(х), Е=Е .
Е=Е Е неопределенно На этой схеме сплошной стрелкой показано изменение ансамбля, происходящее само по себе, без вмешательства измерения, т. е. без осуществления спектрального разложения по признаку Е. Это изменение ансамбля может быть найдено из уравнения Шредингера. На схеме показано, что это новое состояние ансамбля представляет собой суперпозицию состояний с различными значениями Е (сумма по т). Пунктирными стрелками показаны изменения ансамбля, возникающие при реализации спектрального разложения ансамбля в момент Е Как мы знаем (ср. Э 17) такое разложение происходит, в частности, при измерении.
Иными словами, пунктирной стрелкой изображена «редукцня пакета» (ср. й 17), прн которой суперпозиция ф„(х, 1) превращается в одно из частных состояний т(> (х). Только после этой редукции и можно говорить о квантовом переходе из состояния Е=Е„в состояние, скажем, Е=7„. Таким образом понятие о квантовом переходе обязательно предполагает помимо фиксирования началыюго состояния (и) также фиксирование и окончательного состояния (т). Мы подчеркиваем последнее обстоятельство по той причине, что это фиксирование меняет состояние систем ансамбля. Такое фиксирование будет происходить при всех взаимодействиях, селективных по отношению к признаку Е, т. е.
производящих спектральное разложение ансамбля з)>, (х, 1) по т)>„(х), в частности, при измерениях величины Е. Обращаемся теперь к разъяснению понятия вероятности перехода из состояния п в состояние т, Согласно общей теории (Э 22) величина Р,(1)=-',с,(>)>з есть вероятность найти Е=Е в состоянии тр,(х, г) (см. схему) '). Так как при 1=0 Р „(О) равно нулю, если т ~ и (для т=п, Р „(О) 1), то вероятность Р „(1) (т эь >г) называют веро ят постыл перехода из состояния ф„(х) с Е=Е„в состояние зу (х) с Е=Е за время Е Действительно, при >и оь п Р „(1) дает вероятность найти в момент г значение Е=Е, которого при 1=0 в нашем ансамбле не существовало, ибо Р„„(0) =О. Наиболее ') Дополнительный значок л у с „указывает на начальное состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
