Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Согласно общей теории движения в поле центральных сил такие состояния частицы В возможны лишь для Е) О. Обозначая волновую функцию частицы В через тр (х, у, г), мы можем написать для иее уравнение Шредингера в виде — — Чзтр+(1 (г)зр = Еср (?8Л) ((з — масса частицы В). Потенциальную энергию (?(г) мы будем считать достаточно быстро убывающей с возрастанием расстояния г от атома А. Введем волновое число ТЕОЛИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ !Гл. хн! 326 (78. 7) ч) Сьч. (33.3). Остальные компоненты го, У а поле пентральных спл будут равны нулю !А;О) лсйстаительно!).
Заметим енче, что если бы а (73.7) мы оаялн с 'а' вместо е' "', то мы па.чучнли бы сходно!яйся поток. Тогда уравнение (78.1) можно переписать в виде тач(!+йачр= )г (г) ф. (?8.1') Решения этого уравнения, принадлежащие энергии Е, Очень сильно вырождены и имеют весьма разнообразную форму. Мы должны взять такие решения, которые соответствовали бы поставленной физической задаче, т. е. чтобы для больших расстояний от атома Л решения чр были бы совокупностью пло- ской волны, представляющей поток падающих частиц В, и рас- ходящейся волны, представляющей рассеянные частицы (в общем решении уравнения (?8.1') могли бы, например, присутствовать еще и сходящиеся волны). Соответственно этому представим чр в виде суперпозицин „р ро(и (78 А) где чро представляет поток падающих частиц, а и — поток рассе- янных. Считая, что падающие частицы движутся вдоль оси 02, мы возьмем чро в виде = 1.а=! см'.
(78.5) )г!а Выбранная нормировка функции чро означает плотность падающих частиц ,'чро!а=1 см-'1 одну частицу на единицу объема. При этом поток по формуле (29.5) будет равен й7=7,= — )ч(чо)Я=О'!чро',а=о(сек ' см-а)г (78,6) да 1т где О= — =- — есть скорость частиц. Функция и, изображающая 'аа р и и состояние рассеянных частиц, для больших расстояний г от центра атома должна иметь вид расходящейся волны: и(г, О) = Л (О) —, Г сь где А (О) есть амплитуда рассеянной волны, а Π— угол между г и РЯ, т. е. угол рассеяния. Вычислим теперь поток рассеянных частиц на большом рас- стоянии от атома.
Из формулы для потока частиц (99.5) и из (78.7) следует, что поток рассеянных частиц будет равен') ,(г = — ! и — — иа -~ = — ! Л (О) !а — = ' . (78.8) Са I дн" адн' И а 1 о!А(а))а 2р~ дг дг) р ' га га Отсюда поток через площадку т(5 будет АЧ =,7, с(5 = О ! А (О),'Я сИ. (78.9) 4 та) ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ПООНА 327 И, следовательно, из (78.9) и (78.6) находим О(6) г(ьз =--=~ А (В) ~,а гЯ. (78.10) Таким образом, для вычисления эффективного сечения о (В) достаточно знать амплитуду рассеянной волны А (В). Чтобы найти рассеянную волну и, мы будем считать )г(г) в (78.1') возмущением и применим для решения уравнения (78.1') методы теории возмущений').
Подставляя (78.4) в (78.Г) и пренебрегая членом Ъ'и как членом второго порядка малости, мы получим Чаи+ йаи 1гт(зв (78.11) Нам нужно теперь найти решение этого уравнения, имеющее асимптотическую форму (78.7). Вместо разложения и по невозмущенным функциям мы применим для решения (78.11) более прямой метод. Именно, рассмотрим функцию Ф(г, ()=Фв(г)е-™, (78.12) р(г, т) =ро(г) е-'"'г, (78.!3) Из электродинамики известно, что потенциал удовлетворяет уравнению Даламбера (78.14) где с — скорость распространения электромагнитных волн. Решение уравнения (78.14) известно: именно, если брать волны, излучаемые зарядом р (г', () йо' (мы подразумеваем, что с(о' = = с(х' г(у'Йа'), расположенным в точке г', то электрический потенциал в точке г в момент времени г' равен Ф(г, Г)=- ~ ~, — с(О', (78.15) где ) г' — г) есть расстояние от точки г', в которой расположен ') Мы будем, кроме того, предполагать, что )г (г) убывает с расстоянием быстрее, нежели )!г (см.
примечание в 4 46). Матричный элемент )г(г) будем считать конечным, так что из.изложенного в 4 76 следует, что спектр Е останется непрерывным. где г — радиус-вектор точки х, у, г, а Г будем рассматривать как время, соответственно этому от в как некоторую частоту. Будем далее рассматривать Ф как скалярный потенциал, создаваемый электрическими зарядами, распределенными в пространстве, с плот- ностьюю 328 теория столкновгнии 1гл. хан заряд рбЬ', до точки наблюдения г. Подставляя в (78.16) Ф из (78.12) и р из (78.13) и сокращая па е-г"", получаем +Г--,'г' — г1 (78.16) Если мы подставим в уравнение Даламбера Ф (78.12) и р (?8.13) н сократим на е-'"', то получим Ч Фа+ — Фа = — 4пра (78.17) Сравнивая это уравнение с (78.1!), мы видим, что (?8.1!) и (78.17) совпадают, если положить И 1 Фа=и, --=/гг Ра= — — 1/т!га.
с ' я (78.18) Отсюда на основании (78.16) можно сделать вывод, что (78.!9) уг' д г' где О( — ~ означает члены порядка — и выше. г г Подставляя )г' — г~ из (78.20) в (78.!9) и пренебрегая в знаменателе величиной пг' по сравнению с г, мы получаем выраже- есть решение уравнения (78.11). При этом у нас уже автоматически учтено, что и содержит лишь расходящиеся волны, так как решение (78.!5) есть решение для излучаемых, а не «всасы- ваемых» зарядами волн. ггйдуг/ Найдем теперь вид и(г) вдали от атома Л.
Для этого обозначим 1:." единичный вектор в направлении падающего пучка (ось ОЕ) через г? п„а единичный вектор в направ- Ф' Ып~ г' ленин вектора г через и. Пре- „— — — — — --'у образуем сначала ~ г' — г,'. Йз мр й треугольника, приведенного на рис. 61, имеем Рис. 61 Пояснение и выбору век- торов. ! г' — г,' = г'+ Г'в — 2пг'г, г' — радиус-вектор от центра агами к г ! г ! г'ч алектрону. г — радиус вектор от центра ГДЕ Г = ! Г,'г Г = ! Г ~ ° .неюда ДЛЯ атома о точку наблюдения я(я, у, гх Г))Т ПОЛуцаЕМ а- угол рассеяния, и,— едиинчныи «ек.
тор по направлению первичного пучка, г'и' 1 н — тоже по явправлеиию рассеянного ! à — Г! =à — ПГ +О ~- — ), (78.20) пучка. ~г) пРивлнжснныи метод БОРНА О та1 329 ние для и, справедливое для больших расстояний г от атома'): 1 еыог Г и (г) = — — — ~ е — '"""' )т (г') гйо (г') сЬ'. (78.! 9') Подставляя сюда оро(г') из (78.5) и имея в виду, что г'=г'п„ мы получаем 1 е" Мг е Я (г) = — — — — ег" 1пг-и) г' ег (1. ) гЬ (78 21) Сравнивая (78.21) с (78.7), мы видим, что амплитуда рассеянной волны равна Л= .. ~ его(л.-л)г р(г)РЬг 1 4л (78.22) Введем вектор К = А (по — и), К = й ( по — п1 = 2й юп — = — з 1п —. В 4а. В (78.23) ~-,~ = д", ~ (г'(г') — „,, его'г'с(г' о (78.28) При А-~сьэ интеграл справа стремится к О. Поэтому прн доста- точно большой энергии частицы (большое й) метод Бориа будет всегда пригоден. 9 То есть для с ~ а, где а — радиус саперы действия.
Тогда, имея в виду (78,3), получаем Л (В) = — „-„-Щ ~ егк'У(г') сЬ', (78.24) т. е. амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте Фурье в разложении потенциала по плоским волнам еакг. Подставляя это значение Л (В) в (?8.10), находим эффективное сечение: о(В) = —,.
(В"-,) ~ $ егкесг'(г') сЬ'( . (78.25) Эта формула, как следует из ее вывода, приблпженна. В теории столкновений зто приближение (первое приближение теории возмущений) обычно называют борновским. Мы не можем входить подробно в рассмотрение вопроса о точности борновского приближения и пригодности его в тех или иных случаях. Укажем лишь на то, что интенсивность рассеянной волны ! сс (г),' вблизи рассеивающего центра должна быть мала в сравнении с интенсивностью волны падакхцей /гйо(г) 1о. Из формулы (78.19) легко оценить отношение /и1' к 1тро/о, взяв значение этих функций в центре атома (г = 0), Считая, что силы — центральные, так что Ъ'(г') ='Р'(г'), и полагая в (78.19) г=О, до'=г" г(г'з1по' аХВ' гйр', кг'=йг'соэв', после элементарного интегрирования по углам О' и гр' находим ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [Гл. х1п 9 79.
Упругое рассеяние атомами быстрых заряженных микрочастиц <р(г")= ~ ) ., г(о' (79,4) может рассматриваться как потенциал, создаваемый в точке г" электрическими зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р(г') =е'к'. Потенциал гр(г') удовлетворяет уравнению Пуассона тегр (г') =- — 4лр(г') = — 4ле'кг' (79.5) Из этого уравнения сразу находим ср(г'): 4 гКг (г')=)К, ~ ~'=д'+1(г+К~ (79.8) Из сопоставления (79.4) с первым интегралом в (79.3) следует, что Г Кг Г Кг 4 е ' е ) '1 )к~' (79.7) Полученная нами формула для дифференциального эффективного сечения о(В) применима для расчета упругого рассеяния достаточно быстрых частиц. Далее, наш вывод неявно предполагал, что атом и до удара, и после удара покоится. Если скорость падающих частиц велика, а скорость атома до удара есть тепловая скорость, то последней можно пренебречь.
Пренебречь же скоростью после удара можно лишь в том случае, если масса сталкивающейся частицы р много меньше массы атома М. Предполагая, что все эти условия соблюдены, вычислим рассеяние частиц с массой р и зарядом е,. Обозначим через — ер(г") = = — ер (г") плотность электрического заряда, создаваемого роем электронов атома в точке г" (предполагаем сферическую симметрию р, а через 2 — атомный номер.
Тогда электрический потенциал в точке г будет гр(г)= — — е ~ ге Г р(.) Р г ) )г" — г) ' (79.1) а потенциальная энергия частицы в таком поле будет равна (1(г) =е,гр(г) = — '" — ее, $ Р '. (79.2) Подставляя это значение 13(г) в (78.24), получаем А(В) . ~ ~ е(о'+ д ~ егкг'еЬ' (793) 2р Хее, Г ееК", 2И ее, Г, Г р(» ) Еи" ае 4л 3 г' ае 4л 3 3 )г"-г') ' Входящие сюда интегралы рассмотрим порознь.
Для этого заметим, что интеграл з 791 РАссеяние АтОмАми еыстРых зАРяженных микРОЧАстиц 331 Для второго, двойного интеграла получаем 4яе'к' = ~ ОО" р(г") „= —,, ~ йор(г)е'к'. (79.8) Для выполнения интегрирования в (79.8) возьмем сферическую систему координат с полярной осью, параллельной Кг.тогда СЬ = г' дг юп 8 46 дср, Кг =- Кг соз 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
