Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 56
Текст из файла (страница 56)
й 72. Расщепление спектральных линий в электрическол! поле В электрическом поле спектральные линии атомов, как было обнаружено на опыте, расщепляются (так называемый эффект Шт арка). Картина расщепления изображена на рис. 53, где дано расщепление спектральных линий водорода Нр, Н, Нв, Н„ Нс (линии серии Бальмера)'). Опыт показывает, что действие ') Поле возрастает снизу вверх, максимальное значение равно 1,14 миллиона вольт на си, белые линии †лин постоннпого поли.
Одновременно сняты невозмушенные (без поля) водородные линии; они изображаются сред- в тэ) РАсщепление спектРАльных лннип в электРпческом пОле у09 электрического поля на атом водорода и на другие атомы весьма различно. В водороде расщепление спектральных линий пропорционально первой степени электрического поля 6, а во всех остальных атомах оно пропорционально второй степени поля (бе). В сильных полях (порядка 10' в!См) появляется дополнительное расщепление, пропорциональное высшим степеням О.
Кроме того, по мере увеличения поля, как было наблюдено на опыте, спектральные линии уширяются и, наконец, вовсе исчезают. Это последнее явление мы рас-::.:й(фей смотрим позднее в э 101. Сейчас мы будем рассматривать поля, меньшие д(й " !О' в)слп "1 й:, .;,я) Из сравнения величины внутриатомного элек- ! ~л трического поля и и кй и и Жо — — — '. — — 5,13 1О' в/см о ох (а в радиус первой орбиты Рис.
53. Расщепление спектральных линий бальмеровской серии при больших электри. ческих полях. широких пределах действие внешнего поля можно рассматривать как возмущение. Этим мы и воспользуемся для нахождения квантовых уровней и волновых функций атомного электрона при наличии внешнего поля О. Обозначим потенциальную энергию оптического электрона в атоме через (?(г). Если теперь еще имеется внешнее однородное электрическое поле напряженности тз, то электрон будет иметь некоторую добавочную потенциальную энергию Ю'.
Эту энергию легко вычислить. Возьмем ось Ол за направление электрического поля Ж. Тогда потенциальная энергия электрона в поле будет равна 'тн' = еЖЕ =- — Р,гэ, (?2.1) ними линиями каждой картины расщепления, которые на рисунке проходят почти прямолинейно. При сравнении штарковских линий, соседних с несмещенными лнниямн, ясно видно, что линия, лежащая с красной (левой) сго. роны, всегда удалена от несмешешюй линии гораздо дальше, чем соседние фиолетовая линия (квадратичный эффект Штарка). Это особенно хорошо заметно у линии Нр. далее видно, что все линии перестают существовать при определенной критической напряженности поля, притом линия Не раньше, чем На, На раныье, чем Нт и т.
д., красные компоненты каждой линии раньше, чем фиолетовые. Явление исчезновения линий объяснено в й 1О1. з00 пиостс~ шиш пипложсппя тгоипп возмигцгппп ~гл. хп где О, = — ег есть компонента электрического момента па ось Ол '). Полная пог<нцпальная энергия электрона будет равна О' (г) = (I (г) + еЖг. (72.2) Уравнение Шредингера дли стационарных состояний будет иметь внд — У'ф+ Ф ( )+ сб ) ф = ЕФ ь'- (72.3) 2и Возмущение 1Г относится к случаю, рассмотренному в й 6?. Именно, даже как угодно малое поле б меняет асимптотическое поведение потенциальной энергии. Если Е = О, то à — О прп г — иЛсоо, а если б -' О, то (г'-и ьсо прп а — «.-!:оо.
Поэтому мы можем применить теорию возмущений (прн малых й) лишь в смысле, разъясненпом в Ч 67, Таким образом, применяя теоршо возмущений, мы будем находить квантовые значения энерпш Еа, при которых электрон находится вблизи атома достаточно большое время («квазистацио~арпые» состояния). Рассматривая в этом смысле )е' как возмущение, мы будем считать состояния электрона в атоме в отсутствие внешнего поля известными. Рассмотрим сначала водородоподобный атом.
Энергию квантовых уровней атома в отсутствие поля обозначим через Е=Е'„и О":-1(л — 1, л=-1, 2, 3, ..., (72.4) а соответствующие волновые функции через ф'„р =Яки(г) РТ (созО)си в, — Х=т: —.1. (72.6) Каждый уровень Е„'р вырожден 21+1 раз в силу различных возможностей для ориентации орбитального момента Ме.
Поскольку мы рассматриваем определенный уровень и, 1, то мы можем опустить индексы п, 1, сохранив лишь гл. Тогда для краткости функции, принадлежащие уровню Е'„ь обозначим через ф-'и ф'-!+и ", ф'т, ", $1 (72.6) Наиболее общая функция, представляющая состояние с энергией Е„'и будет +т тр=,~~ с,пФл. т=-т Вычислим, каково будет среднее значение проекции электрического момента О, в таком состоянии. Имеем О, = ~ фвО,ейсЬ = ~ч~ ~с„',с ~ча""О,ф,'„и тЬ = м ас = ~ ~ с';:"нс„(О,),„., (72.8) т и ~) Заряд электрона мы считаем Равным — е и начало координат берем в иентре атома. а 7-'! Рзсщеплснпе спсктР!лып !х лпппп В элГ!ГтРпчсскол! пОле 30! где (0,)„Р„= ~ !г"„"10„лр,"„г !(о (?2.9) ссть матричный элемент электрического момента О,. Из (72.1) следует, что матричные элементы энергии возмущения равны 1Р,„„, =- — (0„.)„Р„Ж.
(72.10) Рычпслпм (О„.)„. Подставляя в (72,9) волновые функции !1„"!,„ пз (72.5) и мся в виду, что е =гсоь0, получим (О )„„„= — е '1 Й„"!г' Ь ~ Р7Р!" соз В з|п!) !(9 ~ г!!"' — "г!ч а!р. (72.11) о о о Если гл =,'!и', то этот интеграл равен нулю, так как е!!'" — "'!ч есть периодическая функция <р. Если же га=-!л', то второй интеграл в (72.11) есть четная функция сокО и поэтому равен пулю. Таким образом, (0,)„„Р =О. Вместе с тем в любом состоянии, принадлежащем уровню Е,'!, среднее значение электрического мол!епта О, (72,8) равно нулю, Согласно (72.10) равна также нулю и энергия возмущения. Отсюда следует, что в водородопадобпых атомах пе может быть расщепления уровней в электрическом поле, пропорционального палю, так как средин!! электрический момент равен'нулю.
Расщепление, пропорциональное высшим степеням поля, конечно, будет иметь место. В самом деле, функции электрона в поле будут отличны от ф!,„(!Г",!„,— нулевое приближение!). В первом приближении мы можем положить Ч „и„= — !р„'с„+ и„р„, +..., (72.12) что соответствует работе поляризации ИР = — ~ Ь!!'(О,) О при увеличении поля от нуля до б. где и„ь„— некоторый добавочный ч.лен, пропорциональный первой степени поля О. Расчет показывает, что в этом приближении, когда уже учитывается деформация атома, средний электрический момент О, не равен нул!о, а пропорционален полю в': О,= СХОЧ (72.
13) Этот момент есть результат поляризации атома в поле. Потенциальная энергия этого момента в поле б равна 2 (?2.14) 302 ПРОстег!шие пРиложения теОРип Возх!ушения !гл. хп Вместе с тем смещение квантовых уровней будет пропорционально квадрату поля Оа. В расчет величины а, носяшей название поляризуел!Ости, мы входить ие будем.
Иное положение вещей имеет место в атоме водорода, где помимо вырождения, связанного с различными ориентациями орбитального момента, имеется еще «1»-вырождение. Каждому квантовому уровшо Е„" принадлежит и' функций вида (72.5), различающихся как числом 1((=-0, 1, ..., л — !), так и числом т. Удерживая в памяти помер уровня л, мы можем выписать функции, принадлежашие уровню Е,"„в виде ф!„„1=0, 1, 2, ..., п — 1; и!=О, 1, ..., '+ 1, (72.15) всего пз таких функций. Наиболее общим состоянием, принадле- жащим уровню Е„", теперь будет ср = .~' .~ сге4!н. (72.16) гг а Р=-! Средний электрический момент К, в состоянии <р, ввиду участия в суперпозиции (72.16) функций с различными значениями 1 пе равен нулю (см.
расчет в следуюшем параграфе).. Поэтому н средняя добавочная энергия в поле О в состоянии !р (?2.17) будет; вообще говоря, не равна нулю и пропорциональна полю. В результате смещение уровней будет пропорционально полю, что и наблюдается на самом деле. Таким образом, сушность различия в поведении в электрическом поле атома водорода и водородоподабных атомов заключается в том, что в первом случае в группе состояний, принадлежаших уровню Е,"„имеется электрический момент, а во втором случае в группе состояний атома, относящихся к уровню Е',!, электрический момент отсутствует и появляется только в результате поляризации (деформации) атома. $73. Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле Вывод обшей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах.
Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (п= 2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай. 4 11! глсшвплвнив спвктвлльиых линии атома вологолл 888 Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями: т200 = Р20 (Г) Ъ 00 2Р210 Р21 (Г) )Г10> !2211 = Р21 (Г) у11, 2р21, -1 Р21 (г) у1, — 1 (73.1) р-термы. Согласно (25.16) )'00==, )г10=- [г — созб, )г! ! = р' — з!пбе-''Й', (73.2) 1' 4л 4л 8л Далее, из (50.19) получаем радиальные функции Р„!.' г Р20= —,е ~ (1 — — ), (73.3) г 1 Р е 20 )г ба' 2а 1 1 где а — радиус орбиты Бора, а —, и —..— нормирующие мно)Г200 Р ба' жители. Пользуясь тем, что х=гз(пбсо248, у=гз)п82)п48, г= = г соз 8, мы можем написать функции (73.1) в виде О 4)4200 4)4! ....
Р20 = ! (Г) 1Г 4л !2210 ф2 [/ 46 Р21 ~ (! ) ег -2 Г 3 х-1-2у х 4-4у 42211 фа [/ Р21 = Р (Г) 8л г )Г2 -2/ 3 х — 4у х — 4у ф2ь 1=2р4= 2à — Рм — г Е(г) —. 8л Г )г2 (?3.4) Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню Е"„будет 4 4Р= Я с„К. (73.5) а — — 1 Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии внешнего электрического поля Ж согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (66.10), которые в нашем случае имеют вид [Е; — Е+%'881са+ ~ В'у„с„=0, а, р=1, 2, 3, 4, (?3.6) аЛ8 Ф'аа = ~ 4У80ЕЖЕфа 4(О. (73.?) ЗО4 пРостспшнв пРиложсния тсоР!и! Возмушшп!и !Гл. х!! Из представления функций в форме (73.4) легка видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно, Ю'га = 'гк'е! = еБ ~ ) (г) Е (г) ге г(о, (73.8) в силу нечетности подынтегралыюй функции относительно г, равны нулю.
Интеграл же (?3.8) легко вычисляется в сферических координатах, На основании (73.3) и (73.4) имеем ч! л ап Г 'гегта —— —,= — т т т е ае(! — . ) — - -гегав!п Ог(гпгвг(гр. 4:! ) !2аа ..! .! (, 2а) г 2а ооо Имеем и ап л аг! (~ г'з!п 0!(0г(гр=г' ~ ~ сова йз!п 0г(0г(гр=- ' га. 3 а о о о Вводя переменную $= г/а, получаем окончательно м ге ! !2 ~ ~ 2 0 г(Э= Зейн. (73.8') о Напишем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде.
На основании сказанного о матричных элементах ггт„р, получаем (Е.', — Е) с! + В'теса =- О, (Е.", — Е) с, + Уетст =- О, (Е,", — Е) с, =- О, (Е.",— Е)с, =О. (73.6') Определитель этой системы Ла (Е) должен равняться нулю (см. 2 68): Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень распдеилястся лишь иа три разных'). Картина этого расщепления приведена иа рис. 54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
